郁得環(huán)

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了直線和圓的位置關(guān)系后的一節(jié)習(xí)題課，旨在鞏固和提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法和通過(guò)轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題的能力.

例1.（2010江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓x +y =4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線l：12x-5y+c=0的距離為1，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)了直線和圓的位置關(guān)系后，更深一層次地解決問(wèn)題.本題的關(guān)鍵是讓直線動(dòng)起來(lái)，在動(dòng)態(tài)過(guò)程中尋找滿足題意的位置.通過(guò)數(shù)形結(jié)合解決這個(gè)問(wèn)題，同時(shí)也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中有三個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)和一個(gè)點(diǎn)時(shí)的c的取值范圍，讓學(xué)生自己動(dòng)手動(dòng)腦解決這個(gè)問(wèn)題，以利于以后解本類題型的變式.

解析：由于圓上的點(diǎn)到直線的距離1恰好是半徑2的一半，當(dāng)直線l介于直線l 與l 之間時(shí)，在直線l的兩側(cè)各有一條與l平行的直線l到的距離為1，故而有四個(gè)點(diǎn). <1，即-13

通過(guò)這道題提高學(xué)生的識(shí)圖及分析問(wèn)題的能力.

變式1.圓x +2x+y +4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為 的點(diǎn)有幾個(gè)？

解析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程（x+1） +（y+2） =8，圓心（-1，-2）到直線x+y+1=0的距離d= = ，則與直線x+y+1=0的距離為 的兩條平行線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為所求.由于圓的半徑為2 ，因此與直線x+y+1=0的距離為 的平行線一條過(guò)圓心，另一條與圓相切，故這兩條直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn).

變式2.設(shè)圓C：（x-3） +（y+5） =r （r>0），直線l：4x-3y-2=0：

①圓C上有且僅有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍；

②圓C上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍；

③圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍；

④圓C上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍.

例2.如果x，y實(shí)數(shù)滿足方程（x-3） +（y-3） =6，求：

（1） 的最值；

（2）x+y的最值；

（3） 的最值；

（4）|3x+4y-36|的最值.

設(shè)計(jì)意圖：類比在線性規(guī)劃中解決此類問(wèn)題的方法，先將所求的代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求此幾何量的最值問(wèn)題，再?gòu)膸缀沃庇^出發(fā)，根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)觀察最值出現(xiàn)的時(shí)機(jī)和位置，從而解決代數(shù)表達(dá)式的最值問(wèn)題.

解析：（1）設(shè)P（x，y），則P點(diǎn)的軌跡是已知圓C：（x-3） +（y-3） =6.而 的幾何意義就是直線OP的斜率k，依題可知當(dāng)OP與圓C相切時(shí)斜率取得最值.

（2）設(shè)x+y=b，則y=-x+b，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的縱截距的最值，依題可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)b取最值.

（3） 的幾何意義是圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)（2，0）的距離，圓心到（2，0）的距離加半徑、減半徑即為最大和最小值.

（4）|3x+4y-36|的幾何意義是圓上的點(diǎn)到直線3x+4y-36=0的距離的5倍的最值.根據(jù)題意圓心到直線的距離加減半徑再乘5即為所求最值.

變式：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x +y =9（y≥0），試求m= 與b=2x+y的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上道例題，很多學(xué)生認(rèn)為都是在直線與圓相切時(shí)取得最值，故而做錯(cuò)了.設(shè)計(jì)這道題讓學(xué)生明白在解決問(wèn)題時(shí)要注意看圖及直線的運(yùn)動(dòng)情況再結(jié)合幾何意義給出結(jié)論，要真正地理解此類題的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想.

解析：這道題是易錯(cuò)題.此題的圓是一半圓，根據(jù)圓上動(dòng)點(diǎn)及m，b的幾何意義可知m的取值范圍是（-∞， ）∪[ ，+∞），b∈[-6，3 ].

通過(guò)這節(jié)課讓學(xué)生充分理解數(shù)形結(jié)合的重要性，以及由一個(gè)知識(shí)點(diǎn)引申出的一類題型的做法.