洪三球
1.引言
初中數(shù)學(xué)中的“探索發(fā)現(xiàn)”型試題是需要經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的命題,它不像傳統(tǒng)的解答題或證明題,定型于“條件—演繹—結(jié)論”這樣一個(gè)封閉的模式中。由于命題中缺少一定的題設(shè)或未給出明確的結(jié)論,因此必須利用題設(shè)大膽猜想、分析、比較、歸納、推理,由條件去探索不明確的結(jié)論;或由結(jié)論去探索未給予的條件;也或者去探索存在的各種可能性及發(fā)現(xiàn)所形成的客觀規(guī)律.
在近幾年的中考試題中,探索性問題屢屢出現(xiàn),出題的角度越來(lái)越新穎,考察的能力要求越來(lái)越高,深受關(guān)注.但是,數(shù)學(xué)探索性問題的出現(xiàn)在一定程度上給學(xué)生的解題帶來(lái)了諸多困難,也給教師的教學(xué)提出了新的挑戰(zhàn),為此,筆者現(xiàn)就數(shù)學(xué)探索性問題的解題策略作探討.
2.“探索發(fā)現(xiàn)”型問題的解題方法
此類問題由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等,一般并無(wú)固定解題思路模式,但是可以從以下幾個(gè)角度考慮.
2.1利用特殊值(特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等)進(jìn)行歸納、概括,從特殊到一般,從而得出規(guī)律.
2.2反演推理法,即先假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致.
2.3分類討論法.當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一,難以統(tǒng)一解答時(shí),則需要按可能出現(xiàn)的情況,分門別類加以討論求解.
2.4類比猜想法,即由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法,并加以嚴(yán)密論證.
以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略,因而具體操作時(shí),應(yīng)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用.
3.“探索發(fā)現(xiàn)”型問題的分類及知識(shí)運(yùn)用舉例
3.1條件探索型:這類題結(jié)論明確,需要去探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件.
對(duì)應(yīng)的解題策略有:
(1)模仿分析法.將原的題設(shè)和結(jié)論視為已知條件,分別進(jìn)行演繹再有機(jī)地結(jié)合起來(lái),推導(dǎo)出所需尋求的條件.
(2)設(shè)出題目中指定的探索條件,將此假設(shè)為已知,結(jié)合題設(shè)條件列出滿足結(jié)論的等量或不等量關(guān)系,通過解方程或不等式,求出所需尋找的條件.
例1:已知,如圖△ABC內(nèi)接于⊙O,(1)當(dāng)點(diǎn)O與AB有怎樣的位置關(guān)系時(shí),∠ACB是直角?(2)在滿足(1)的條件下,過點(diǎn)C作直線交AB于D,當(dāng)CD與AB有什么樣的關(guān)系時(shí),△ABC∽△CBD∽△ACD?(3)畫出符合(1)、(2)題意的兩種圖形,使圖形的CD=2cm.
解析:(1)當(dāng)點(diǎn)O在AB上(即O為AB的中點(diǎn))時(shí),∠ACB是直角;
(2)∵∠ACB是直角,∴當(dāng)CD⊥AB時(shí),△ABC∽△CBD∽△ACD;
(3)作直徑AB為5的⊙O,在AB上取一點(diǎn)D,使AD=1,BD=4,過D點(diǎn)作CD⊥AB交⊙O于C點(diǎn),連接AC、BC,即為所求(如圖所示).
評(píng)注:本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何條件探索題,它突破了過去“假設(shè)—求證”的封閉式論證,而是給出問題的結(jié)論,逆求結(jié)論成立的條件,強(qiáng)化了對(duì)學(xué)生通過觀察、分析、猜想、推理、判斷等探索活動(dòng)的要求.看似平常,實(shí)際上非常精彩.
3.2結(jié)論探索型:這類題條件已知但無(wú)明確結(jié)論或結(jié)論不唯一,需要探索與條件相對(duì)應(yīng)的結(jié)論.
對(duì)應(yīng)的解題策略有:
(1)運(yùn)用定義或定理直接導(dǎo)出結(jié)論;(2)通過具體到抽象,特殊到一般的歸納獲得結(jié)論,再給出嚴(yán)格證明;(3)通過類比,聯(lián)想,猜測(cè)出結(jié)論,再加以證明.
例2:(2007北京市改編)我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地,我們定義:至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形.
(1)請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱;
(2)在△ABC中,如果∠A是不等于60°的銳角,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上,且∠DCB=∠EBC=∠A.探究:滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形,并證明你的結(jié)論.
解:(1)回答正確的給1分(如平行四邊形、等腰梯形等).
(2)答:此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形,是四邊形DBCE.
如圖1,作CG⊥BE于G點(diǎn),作BF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn).
因?yàn)椤螪CB=∠EBC=∠A,BC為公共邊,
所以△BCF≌△CBG.所以BF=CG.
因?yàn)椤螧DF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,∠BEC=∠ABE+∠A,所以∠BDF=∠BEC.
可證△BDF≌△CEG.所以BD=CE.
所以四邊形DBCE是等邊四邊形.
評(píng)注:這是一道以探索結(jié)論為目的的開放型試題,它不限結(jié)論,而是讓考生根據(jù)條件去探索結(jié)論.因此,這類考題對(duì)開闊視野、啟迪智慧、培養(yǎng)發(fā)散思維能力大有好處。
3.3存在探索型:這類問題是指在某種題設(shè)條件下,判斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在.
解題的策略與方法:先假設(shè)數(shù)學(xué)對(duì)象存在,以此為條件進(jìn)行運(yùn)算或推理.若無(wú)矛盾,說(shuō)明假設(shè)正確,由此得出符合條件的數(shù)學(xué)對(duì)象存在;否則,說(shuō)明不存在.
例3:(2005年湖北省黃岡改編)如圖在直角坐標(biāo)系中,O是原點(diǎn),A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(18,0)、B(18,6)、C(8,6),四邊形OABC是梯形.點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā),分別做勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位,點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).
(1)求出直線OC的解析式.
(2)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了t秒,當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和恰好等于梯形OABC的周長(zhǎng)的一半時(shí),直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分?如有可能,請(qǐng)求出的值;如不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析與解答:(1)設(shè)OC的解析式為y=kx,將C(8,6)代入,得k=,∴yx.
(2)易得梯形的周長(zhǎng)為44.
①如圖當(dāng)Q點(diǎn)在OC上時(shí),P運(yùn)動(dòng)的路程為,則Q運(yùn)動(dòng)的路程為(22-t).
過Q作QM⊥OA于M,則QM=(22-t)×.
∴S(18+10)×6=84.
假設(shè)存在t值,使得P、Q兩點(diǎn)同時(shí)平分梯形的周長(zhǎng)和面積,
則有t(22-t)×=84×,即t-22t+140=0.
∵△=22-4×140<0,∴這樣的t不存在.
②如圖,當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時(shí),Q走過的路程為(22-t),故CQ的長(zhǎng)為:22-t-10=12-t.
∴S=(CQ+OP)AB=×(12-t+t)×6=36≠84×,
∴這樣的t也不存在.
綜上所述,不存在這樣的值,使得P、Q兩點(diǎn)同時(shí)平分梯形的周長(zhǎng)和面積.
3.4規(guī)律探索型:是指在一定的條件下,探索有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的題目.
解題的策略與方法:根據(jù)已知條件或所提供的若干個(gè)特例,通過觀察、類比、歸納,提示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律與特征.
例4.(2007四川樂山)如圖(15),在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),將線段OP按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP的2倍,得到線段OP;又將線段OP按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為O的2倍,得到線段OP;如此下去,得到線段OP,OP,…,OP(n為正整數(shù)).(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)求△POP的面積;(3)我們規(guī)定:把點(diǎn)P(x,y)(n=0,1,2,3…)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)(|x|,|y|)稱之為點(diǎn)P的“絕對(duì)坐標(biāo)”.根據(jù)圖中點(diǎn)P的分布規(guī)律,請(qǐng)你猜想點(diǎn)P的“絕對(duì)坐標(biāo)”,并寫出來(lái).
解:(1)(2)略.
(3)由題意知,OP旋轉(zhuǎn)8次之后回到x軸正半軸,在這8次中,點(diǎn)P分別落在坐標(biāo)象限的平分線上或x軸或y軸上,但各點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù),因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)可分三類情況:令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n,
①當(dāng)n=8k或n=8k+4時(shí)(其中k為自然數(shù)),點(diǎn)P落在x軸上,此時(shí),點(diǎn)P的絕對(duì)坐標(biāo)為(2,0);
②當(dāng)n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時(shí)(其中k為自然數(shù)),點(diǎn)P落在各象限的平分線上,此時(shí),點(diǎn)P的絕對(duì)坐標(biāo)為(2,2;
③當(dāng)n=8k+2或n=8k+6時(shí)(其中k為自然數(shù)),點(diǎn)P落在y軸上,此時(shí),點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)為(0,2).
評(píng)注:本題從特殊情形入手,通過圖形的變換,尋找數(shù)量上的內(nèi)在規(guī)律,頗具新意.
以上四個(gè)方面舉例,較全面地討論了開放性與探索性問題求解的基本思路與方法,但由于這類問題的條件或結(jié)論的不確定性,使我們解答過程中不能僅從一個(gè)思維層面上思考,應(yīng)該運(yùn)用發(fā)散思維思考問題,探索要從特殊到一般,從感性到理性角度看問題,猜測(cè)要大膽,在確定解題思路方向的前提下,敢于采用所學(xué)習(xí)過的各種數(shù)學(xué)方法去嘗試,只要這樣訓(xùn)練,才能適應(yīng)新中考命題中不斷創(chuàng)新的試題的考試要求.