李文學(xué)　袁宜斌

摘 要： 本文主要研究概論教學(xué)的教學(xué)方法，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞： 概率論 條件概率 教學(xué)方法

概率論雖是數(shù)學(xué)學(xué)科的一門(mén)分支，但與其他數(shù)學(xué)學(xué)科有很大的區(qū)別，即概率論的研究對(duì)象是不確定現(xiàn)象.這一差異導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概率論課程中的一些概念和結(jié)論一知半解，存在許多疑惑.學(xué)生在概論學(xué)習(xí)過(guò)程中比較吃力，覺(jué)得概念非常抽象，學(xué)習(xí)效果差.筆者根據(jù)這幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出概率論教學(xué)中的一些措施.

一、結(jié)合例子引入定義

概率論中有許多相似的定義和概念，學(xué)生對(duì)此容易混淆.老師可以通過(guò)幾個(gè)例子同時(shí)引入這些相似的概念，以便學(xué)生通過(guò)例子理解概念.例如在講解三個(gè)事件相互獨(dú)立和兩兩獨(dú)立時(shí)，可以引入以下兩個(gè)例子.

例1. 設(shè)樣本空間為S=（0，1），事件域?yàn)镾的所有Borel子集構(gòu)成， P為L(zhǎng)ebsgue測(cè)度，設(shè)A= （0，1/2），B=（1/4，3/4），C=（1/16，5/16）∪（1/16，5/16）. 試討論三個(gè)事件A， B， C中的任意2個(gè)事件是否獨(dú)立.

例2 （續(xù)例1）. 設(shè)D=（3/8，7/8）， 試討論三個(gè)事件A， B， D中的任意2個(gè)事件是否獨(dú)立并考察等式P（ABD）=P（A） P（B）P（C）是否成立.

第一個(gè)例子給出了事件A， B， C兩兩獨(dú)立的定義，而第二個(gè)例子給出了事件A， B， C相互獨(dú)立的定義.接著學(xué)生自然會(huì)問(wèn)：為什么不把第一個(gè)例子作為事件A， B， C相互獨(dú)立的定義？?jī)蓚€(gè)事件獨(dú)立指的是條件概率與無(wú)條件概率相等.自然地，事件A， B， C相互獨(dú)立定義為條件概率與無(wú)條件概率相等.因此P（A|B，C）=P（A），即第二個(gè)例子中的等式必須成立.

二、激發(fā)學(xué)生的興趣

激發(fā)學(xué)生的興趣可以大幅增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.在教學(xué)中，老師可以設(shè)計(jì)一些學(xué)生感興趣的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生逐步解決有趣的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步學(xué)習(xí)和理解概率論課程的定義、性質(zhì)、基本方法和基本理論等.例如在講授條件概率和Bayes公式時(shí)，使用經(jīng)典的Monty Hall Problem問(wèn)題.

例3（Monty Hall Problem問(wèn)題）. 三扇門(mén)的后面只有一扇門(mén)藏著汽車(chē)，而其他兩扇門(mén)藏著山羊.主持人事先知道汽車(chē)所在的位置.參賽者可以選擇其中一扇門(mén)，但參賽者自己不能開(kāi)啟.在參賽者選擇了某扇門(mén)后，主持人開(kāi)啟其他兩扇門(mén)中有山羊的一扇門(mén).此后參賽者還有一次機(jī)會(huì)從未開(kāi)啟的兩扇門(mén)中選擇其中的一扇門(mén).若選擇的門(mén)后面是汽車(chē)，參賽者將得到這輛汽車(chē)；若選擇的門(mén)后面是山羊，參賽者將一無(wú)所得.若你是參賽者，你會(huì)選擇另一扇門(mén)嗎？

有的學(xué)生可能覺(jué)得堅(jiān)持原來(lái)的選擇和選擇另一扇門(mén)的概率都是一樣的，甚至當(dāng)時(shí)的許多數(shù)學(xué)家和概率論專(zhuān)家也是這樣認(rèn)為的.Savant利用條件概率計(jì)算得選擇另一扇門(mén)得到汽車(chē)的概率為2/3，而堅(jiān)持原來(lái)的選擇的概率為1/3. 因此，為了提高獲得汽車(chē)的概率，必須選擇另一扇門(mén).這一結(jié)論與直覺(jué)不符，所以至今仍有人覺(jué)得，堅(jiān)持原來(lái)的選擇和選擇另一扇門(mén)的概率都是一樣的.最后，Savant利用隨機(jī)模擬支持了他的結(jié)論.這個(gè)實(shí)際問(wèn)題使得學(xué)生對(duì)條件概率理解得非常透徹， 極大地激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)性.另外，老師可以設(shè)計(jì)一個(gè)程序，驗(yàn)證Savant的結(jié)論.基于R軟件，筆者編寫(xiě)了一個(gè)選擇另一扇門(mén)得到汽車(chē)的概率的模擬結(jié)果，每次模擬的頻率都接近于2/3. 現(xiàn)附源代碼如下：

#########X=1，2，3；X=k：表示參賽者選擇第k扇門(mén).

#########X=1：表示參賽者選擇第1扇門(mén)

#########Y=k-1，k=1，2，3：汽車(chē)在第k扇門(mén).

v=0：#####計(jì)數(shù)：用于計(jì)算參賽者選擇另一扇門(mén)

####得到汽車(chē)的累計(jì)頻數(shù)，##

n=100000；

for （m in 1：n）

{X=1：####X=2####X=3

Y=floor（runif（1，1，4））；

if（Y==X） {c=0}

if（Y！=X） {c=1；}

v=v+c；}

v； ####得到汽車(chē)的累計(jì)頻數(shù)

v/n；####得到汽車(chē)的累計(jì)頻率

三、提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力

概率論可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題.設(shè)概率論在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)乃至我們生活中的小問(wèn)題都有著廣泛的應(yīng)用，老師在選取例子時(shí)，可以選擇一些生活中常見(jiàn)的例子.例如在超市排隊(duì)結(jié)賬時(shí)，為什么感覺(jué)別人的隊(duì)伍比自己所在隊(duì)伍的結(jié)賬速度快？簡(jiǎn)單的概率知識(shí)就可以解決這一問(wèn)題.設(shè)有10條隊(duì)伍在排隊(duì)結(jié)賬，大致能做到每個(gè)隊(duì)伍的人員數(shù)大致相同，此時(shí)別人的隊(duì)伍比自己所在隊(duì)伍的結(jié)賬速度快的概率即為0.9，而自己的隊(duì)伍比別人快的概率僅為0.1.所以我們的感覺(jué)是對(duì)的.理由很簡(jiǎn)單，我們習(xí)慣于拿最快的那一個(gè)作為參照對(duì)象.而所有隊(duì)伍中，自己隊(duì)伍不是最慢的概率也是0.9，因此比上不足，比下有余.

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