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        股市中的數(shù)學(xué)

        2015-09-10 07:22:44童昕
        科學(xué)Fans 2015年7期
        關(guān)鍵詞:二叉樹夏普支票

        童昕

        時隔8年,一波接一波的牛市讓中國股市再一次成為街頭巷尾人們熱議的話題。看著滿屏紅紅綠綠、瞬息萬變的數(shù)字,你可曾思考過這里面所蘊含的數(shù)學(xué)?

        當(dāng)我們談?wù)撌找鏁r,我們該怎樣談?

        說收益是整個股市的核心也毫不為過,所以當(dāng)我們談?wù)撌找鏁r,往往只關(guān)注了收益這么一個數(shù)字,卻忽略了背后的很多東西。

        風(fēng)險

        我們聽了太多“隔壁王叔叔昨天又有5個股票漲停,又掙了5萬塊錢,這個禮拜的收益已經(jīng)足夠在北京三環(huán)買一個5平方米的衛(wèi)生間了”之類的話。但如果我們把時鐘撥回2008年,這話可能就變成了“隔壁王叔叔昨天又有5個股票跌停,又虧了5萬塊錢,這個禮拜虧的錢已經(jīng)足夠在北京三環(huán)買一個30平方米的臥室了(畢竟08年房價還沒那么貴)”。

        這說明,明天你既有可能再賺一筆,也有可能把之前賺的都倒虧回去,而且賺多少虧多少你也猜不到。這就是風(fēng)險??梢赃@樣認為,風(fēng)險越大的股票,你就越難預(yù)測明天的走勢,因為它波動的幅度會更大。

        你是會喜歡風(fēng)平浪靜預(yù)期賺10%的那只,還是喜歡大起大落預(yù)期賺15%的那只?

        有人會說,我當(dāng)然喜歡大起大落的那只,因為這說明它有潛力漲得很高啊。(很多人也就忽略了反面——它有可能跌得傾家蕩產(chǎn)?。?/p>

        所以問題來了,我們到底該怎么衡量一只股票或者說是一個投資的組合是好是壞。威廉·夏普就提出了一個夏普比例(Sharpe Ratio)的概念,以此來衡量一個投資的收益,是否與它所帶來的風(fēng)險相適應(yīng):

        夏普比例=投資收益率-無風(fēng)險收益率/風(fēng)險

        在這里,對于一般投資者而言,無風(fēng)險收益率約等于是一年定期存款的利率,而風(fēng)險,我們往往會使用收益率的標(biāo)準差。當(dāng)然,也有一些使用其他的衡量風(fēng)險的方法,感興趣的讀者可以參考特雷諾比例(Treynor Ratio)和詹森比例(JensenRatio)。

        一個投資的夏普比例越高,則表示這個投資在承擔(dān)單位風(fēng)險的情況下,獲得的回報越高,這個投資也就越好。相反,夏普比例越低,則表明這個投資的風(fēng)險并未給投資者帶來可觀的回報,反而是暴露在了過大的風(fēng)險之中。因此,當(dāng)我們討論著股市的收益時,還應(yīng)該思考,這一份的收益背后,我們承擔(dān)的風(fēng)險是否和我們預(yù)期的收益相適應(yīng)。

        時間價值

        假設(shè)小明和小紅的股票都實行了股息分紅,小明的股息是7萬塊錢的現(xiàn)金,小紅的股息是7萬塊錢的支票,而這張支票有點奇怪——1午后才能兌現(xiàn)。請問他們兩個的股票分紅價值是否相等?

        既然我都這樣發(fā)問了,這個問題的答案肯定是“不相等”。為什么?

        試想一下,如果小明拿到這筆錢以后,立刻存進銀行,定期一年(假設(shè)年利率是3.5%),到了明年這個時候,他和小紅一起去銀行,小紅用支票換來了1萬塊整,而小明除了取出來1萬塊的本金,還有350塊錢的利息。這350塊的差距,就是資金的時間價值。

        如果我們再修改一下題目,允許小紅提前用支票拿到稍微少量的現(xiàn)金,考慮到時間價值,那么這個稍微少量的現(xiàn)金數(shù)目應(yīng)該是多少,才會和一年后的1萬塊相等呢?

        不妨假設(shè)這個數(shù)是x,小紅把這x元存入銀行,一年后取出來1萬塊,我們就會有這么一條方程:x(1+3.5%)=10000。

        也就是說,一年后的1萬元,在現(xiàn)在只值9661.84元。這樣的一個把未來的現(xiàn)金除以無風(fēng)險收益率,轉(zhuǎn)換成當(dāng)下的價值的過程,我們稱為折現(xiàn)。而通過這個過程,可以看得出,同樣數(shù)目的金錢,實現(xiàn)的時間越晚,其價值也就越低。

        我們在用怎樣的數(shù)學(xué)描述股市?真的有用嗎?

        值得慶幸的是,數(shù)學(xué)里面有專門用來描述這些不確定性的東西——概率、隨機。

        二叉樹

        這是一個很基本的模型:

        假設(shè)一個股票現(xiàn)在的價格是100塊,每一分鐘,它都有50%的可能漲5%,也有50%的可能跌5%,一天下來,這個股票的走勢可能會是這樣的:

        我們不妨把把這個模型用表格表示出來,更加直觀:

        稍微解釋一下這張表,格子里的數(shù)字表示在第n分鐘時股票的股價,而括號里面的分數(shù),則表示出現(xiàn)這個股價的概率大小。

        從第0分鐘開始,到第1分鐘,股票有50%可能來到105,也有50%的可能來到95。

        在這個基礎(chǔ)上,從第1分鐘到第2分鐘,如果股票價格是105,則它有可能漲到110.25,也可能跌到99.75。而如果股票價格是95,則它有可能反彈漲回99.75,也有可能進一步跌到90.25

        以此類推,我們就十分“全面”地模擬出了股票走勢的所有可能性。

        更進一步,我們還可以縮短時間的間距,變?yōu)槊恳徊绞?0秒,甚至更短,而不是1分鐘。也可以增加每一步的可能性——從二叉樹,變?yōu)槿鏄渖踔潦歉喾N可能的情況。

        當(dāng)然,這個模型簡單,但也存在一些不足:一是時間的連續(xù)性在這里被破壞了,但我們可以通過縮短時間間距來模擬幾乎連續(xù)的時間。更為重要的是,股價的連續(xù)性被破壞了——現(xiàn)實情況下,股價有可能漲跌4%,4.9%,4.99%,4.999%,而不是簡單的一個±5%。

        布朗運動

        針對二叉樹模型的不足,人們發(fā)展出布朗運動這么一個理想化的模型。布朗運動使用了連續(xù)的時間和連續(xù)的收益率,即收益率服從正態(tài)分布,覆蓋了全體實數(shù),不再是簡單地分為有限種可能性。

        在此理想模型下,人們可以更為精準地模擬股價的運動。

        但是理想的模型,它的假設(shè)里面就包含了它最致命的不足——股票的收益真的服從正態(tài)分布嗎?這就引來了最大的爭議。說它不服從吧,但其實也差不多;說它服從吧,偏偏有差距的就是極端情況(也就是大漲大跌)出現(xiàn)的概率,你又不能視而不見。如下圖所示,這樣的特性人們稱之為“厚尾性”,即兩端出現(xiàn)的概率比正態(tài)分布情況下出現(xiàn)的概率更高。

        這個爭議至今仍未完結(jié),而目正反雙方不僅拿出了十分有說服力的實例以證明己方的觀點,更在自己觀點的基礎(chǔ)上發(fā)展出了數(shù)不勝數(shù)的更加高深復(fù)雜的模型。這也正印證了統(tǒng)計學(xué)中最經(jīng)典的一句“所有模型都是錯的,但總有一些是有用的”。

        有心急的讀者要問了,前面介紹了兩個模型,有用嗎?怎么預(yù)測股市?能賺多煳

        那么不如再把前面的介紹再仔細地讀一遍,你會發(fā)現(xiàn),自始至終,我完全沒有提過“預(yù)測”這茬。這兩個模型準確地描述了股票市場的不可預(yù)測性(很諷刺吧,既準確,又不可預(yù)測),在此基礎(chǔ)上,才有了衍生品市場前所未有的繁榮,才有了各種金融產(chǎn)品的百花齊放。

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