童昕

時隔8年，一波接一波的牛市讓中國股市再一次成為街頭巷尾人們熱議的話題。看著滿屏紅紅綠綠、瞬息萬變的數(shù)字，你可曾思考過這里面所蘊含的數(shù)學(xué)？

當(dāng)我們談?wù)撌找鏁r，我們該怎樣談？

說收益是整個股市的核心也毫不為過，所以當(dāng)我們談?wù)撌找鏁r，往往只關(guān)注了收益這么一個數(shù)字，卻忽略了背后的很多東西。

風(fēng)險

我們聽了太多“隔壁王叔叔昨天又有5個股票漲停，又掙了5萬塊錢，這個禮拜的收益已經(jīng)足夠在北京三環(huán)買一個5平方米的衛(wèi)生間了”之類的話。但如果我們把時鐘撥回2008年，這話可能就變成了“隔壁王叔叔昨天又有5個股票跌停，又虧了5萬塊錢，這個禮拜虧的錢已經(jīng)足夠在北京三環(huán)買一個30平方米的臥室了（畢竟08年房價還沒那么貴）”。

這說明，明天你既有可能再賺一筆，也有可能把之前賺的都倒虧回去，而且賺多少虧多少你也猜不到。這就是風(fēng)險?？梢赃@樣認為，風(fēng)險越大的股票，你就越難預(yù)測明天的走勢，因為它波動的幅度會更大。

你是會喜歡風(fēng)平浪靜預(yù)期賺10%的那只，還是喜歡大起大落預(yù)期賺15%的那只？

有人會說，我當(dāng)然喜歡大起大落的那只，因為這說明它有潛力漲得很高啊。（很多人也就忽略了反面——它有可能跌得傾家蕩產(chǎn)?。?/p>

所以問題來了，我們到底該怎么衡量一只股票或者說是一個投資的組合是好是壞。威廉·夏普就提出了一個夏普比例（Sharpe Ratio）的概念，以此來衡量一個投資的收益，是否與它所帶來的風(fēng)險相適應(yīng)：

夏普比例=投資收益率-無風(fēng)險收益率/風(fēng)險

在這里，對于一般投資者而言，無風(fēng)險收益率約等于是一年定期存款的利率，而風(fēng)險，我們往往會使用收益率的標(biāo)準差。當(dāng)然，也有一些使用其他的衡量風(fēng)險的方法，感興趣的讀者可以參考特雷諾比例（Treynor Ratio）和詹森比例（JensenRatio）。

一個投資的夏普比例越高，則表示這個投資在承擔(dān)單位風(fēng)險的情況下，獲得的回報越高，這個投資也就越好。相反，夏普比例越低，則表明這個投資的風(fēng)險并未給投資者帶來可觀的回報，反而是暴露在了過大的風(fēng)險之中。因此，當(dāng)我們討論著股市的收益時，還應(yīng)該思考，這一份的收益背后，我們承擔(dān)的風(fēng)險是否和我們預(yù)期的收益相適應(yīng)。

時間價值

假設(shè)小明和小紅的股票都實行了股息分紅，小明的股息是7萬塊錢的現(xiàn)金，小紅的股息是7萬塊錢的支票，而這張支票有點奇怪——1午后才能兌現(xiàn)。請問他們兩個的股票分紅價值是否相等？

既然我都這樣發(fā)問了，這個問題的答案肯定是“不相等”。為什么？

試想一下，如果小明拿到這筆錢以后，立刻存進銀行，定期一年（假設(shè)年利率是3.5%），到了明年這個時候，他和小紅一起去銀行，小紅用支票換來了1萬塊整，而小明除了取出來1萬塊的本金，還有350塊錢的利息。這350塊的差距，就是資金的時間價值。

如果我們再修改一下題目，允許小紅提前用支票拿到稍微少量的現(xiàn)金，考慮到時間價值，那么這個稍微少量的現(xiàn)金數(shù)目應(yīng)該是多少，才會和一年后的1萬塊相等呢？

不妨假設(shè)這個數(shù)是x，小紅把這x元存入銀行，一年后取出來1萬塊，我們就會有這么一條方程：x（1+3.5%）=10000。

也就是說，一年后的1萬元，在現(xiàn)在只值9661.84元。這樣的一個把未來的現(xiàn)金除以無風(fēng)險收益率，轉(zhuǎn)換成當(dāng)下的價值的過程，我們稱為折現(xiàn)。而通過這個過程，可以看得出，同樣數(shù)目的金錢，實現(xiàn)的時間越晚，其價值也就越低。

我們在用怎樣的數(shù)學(xué)描述股市？真的有用嗎？

值得慶幸的是，數(shù)學(xué)里面有專門用來描述這些不確定性的東西——概率、隨機。

二叉樹

這是一個很基本的模型：

假設(shè)一個股票現(xiàn)在的價格是100塊，每一分鐘，它都有50%的可能漲5%，也有50%的可能跌5%，一天下來，這個股票的走勢可能會是這樣的：

我們不妨把把這個模型用表格表示出來，更加直觀：

稍微解釋一下這張表，格子里的數(shù)字表示在第n分鐘時股票的股價，而括號里面的分數(shù)，則表示出現(xiàn)這個股價的概率大小。

從第0分鐘開始，到第1分鐘，股票有50%可能來到105，也有50%的可能來到95。

在這個基礎(chǔ)上，從第1分鐘到第2分鐘，如果股票價格是105，則它有可能漲到110.25，也可能跌到99.75。而如果股票價格是95，則它有可能反彈漲回99.75，也有可能進一步跌到90.25

以此類推，我們就十分“全面”地模擬出了股票走勢的所有可能性。

更進一步，我們還可以縮短時間的間距，變?yōu)槊恳徊绞?0秒，甚至更短，而不是1分鐘。也可以增加每一步的可能性——從二叉樹，變?yōu)槿鏄渖踔潦歉喾N可能的情況。

當(dāng)然，這個模型簡單，但也存在一些不足：一是時間的連續(xù)性在這里被破壞了，但我們可以通過縮短時間間距來模擬幾乎連續(xù)的時間。更為重要的是，股價的連續(xù)性被破壞了——現(xiàn)實情況下，股價有可能漲跌4%，4.9%，4.99%，4.999%，而不是簡單的一個±5%。

布朗運動

針對二叉樹模型的不足，人們發(fā)展出布朗運動這么一個理想化的模型。布朗運動使用了連續(xù)的時間和連續(xù)的收益率，即收益率服從正態(tài)分布，覆蓋了全體實數(shù)，不再是簡單地分為有限種可能性。

在此理想模型下，人們可以更為精準地模擬股價的運動。

但是理想的模型，它的假設(shè)里面就包含了它最致命的不足——股票的收益真的服從正態(tài)分布嗎？這就引來了最大的爭議。說它不服從吧，但其實也差不多；說它服從吧，偏偏有差距的就是極端情況（也就是大漲大跌）出現(xiàn)的概率，你又不能視而不見。如下圖所示，這樣的特性人們稱之為“厚尾性”，即兩端出現(xiàn)的概率比正態(tài)分布情況下出現(xiàn)的概率更高。

這個爭議至今仍未完結(jié)，而目正反雙方不僅拿出了十分有說服力的實例以證明己方的觀點，更在自己觀點的基礎(chǔ)上發(fā)展出了數(shù)不勝數(shù)的更加高深復(fù)雜的模型。這也正印證了統(tǒng)計學(xué)中最經(jīng)典的一句“所有模型都是錯的，但總有一些是有用的”。

有心急的讀者要問了，前面介紹了兩個模型，有用嗎？怎么預(yù)測股市？能賺多煳

那么不如再把前面的介紹再仔細地讀一遍，你會發(fā)現(xiàn)，自始至終，我完全沒有提過“預(yù)測”這茬。這兩個模型準確地描述了股票市場的不可預(yù)測性（很諷刺吧，既準確，又不可預(yù)測），在此基礎(chǔ)上，才有了衍生品市場前所未有的繁榮，才有了各種金融產(chǎn)品的百花齊放。