趙雪茹，丁 亮，牛 蕾

(東北林業(yè)大學(xué))

0 引言

給出這樣一個(gè)由N個(gè)相同節(jié)點(diǎn)構(gòu)造成的具有連續(xù)時(shí)間耗散耦合星型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，由于各節(jié)點(diǎn)在信息傳輸?shù)倪^(guò)程中存在阻力、慣性等，就出現(xiàn)了一個(gè)時(shí)間滯后的現(xiàn)象，不妨假設(shè)這些內(nèi)耦合函數(shù)都存在時(shí)間延遲τ，那么第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為:

1 星型網(wǎng)絡(luò)模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究

當(dāng)τ=0時(shí)，第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為:

在條件R1:N∈Z+，N≥1;a＞0;η＞0下，特征方程為

下面進(jìn)行零解穩(wěn)定性探究.

對(duì)于方程(1):

方程(2)有N重根:λ3=－a－η.

定理1.1 在條件R1下:當(dāng)時(shí)，那么系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的.

證明 對(duì)于方程(1)要使方程具有兩個(gè)嚴(yán)格負(fù)實(shí)數(shù)的根，則有:

最后可得當(dāng)η＞0，對(duì)任意的a＞,方程(1)的λ1，2＜0，當(dāng)η＞0，如果對(duì)任意的0，那么λ1和λ2中至少有一個(gè)大于0.對(duì)于方程(2)，要使得λ3＜0，得a＞－η，即a＞0，根據(jù)時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，方程(1)和方程(2)的所有根都有負(fù)實(shí)部，聯(lián)立求解方程組，結(jié)論得證.

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的Hopf分支分析

由于各節(jié)點(diǎn)在信息傳輸?shù)倪^(guò)程中存在阻力、慣性等，就出現(xiàn)了一個(gè)時(shí)間滯后的現(xiàn)象，而且這種時(shí)滯行為本身會(huì)影響到系統(tǒng)的現(xiàn)狀，設(shè)這種延遲都為τ＞0，得到延遲網(wǎng)絡(luò)模型的運(yùn)動(dòng)方程為:

延遲模型的特征方程為:

其中:τ≥0;N∈Z+，N≥1;a＞0;η≠0(H1)對(duì)于方程(3)，在條件H1下，從方程可得:

當(dāng)τ＞0時(shí)，令λ=iβ(β＞0)是方程(4)的純虛根，則:

可得到β滿(mǎn)足方程:β8+q1β6+q2β4+q3β2+q4=0

其中 ，q1=4a2－N2η2，q2=6a4－2η4－3N2η2a2－ 2N2η4

那么β2是四次方程的正根.

引理2.1 若方程(8)有一個(gè)正根β2i(βi＞0)，則當(dāng)β=βi時(shí)，方程(7)有實(shí)根因此當(dāng)

其中

方程(4)有一對(duì)純虛根±iβn.

引理 2.2 方程(4)在τ=τj=領(lǐng)域內(nèi)有一對(duì)復(fù)根λ(τ)=α(τ)±iβ(τ)存在且Z，當(dāng)L(β，τ)＜0，因此在τ=τj穿過(guò)虛軸，發(fā)生hopf分支.

對(duì)方程(5)進(jìn)行分析，解得

定理2.1 在條件H1下，且|η|＞a，當(dāng)τ=τ1時(shí)，方程(10)有一對(duì)純虛根λ=±iβ1其中

證明 假設(shè)iβ1(βi＞0)是方程(6)的解，通過(guò)分離實(shí)部和虛部，得

令λ(τ)=α(τ)+iβ(τ)滿(mǎn)足α(τ1)=0，β(τ1)=β1是方程(10)的根，且有τ1=

定理2.2 在條件H1下，有

證明 將λ(τ)=α(τ)+iβ(τ)代入方程(10)，對(duì)τ求導(dǎo)得

將λ=±iβ1代入上述方程，并將β1和τ1替換β和τ，則有

結(jié)論得證.

定理2.3 設(shè)N∈Z+，N≥1;a＞0;η≠0，且|η|＞a，且τ*由式(9)給出，τ1由式(11)給出，記τs=min{τ*，τ1}，則當(dāng)τ∈［0，τs)模型的零解漸近穩(wěn)定的，當(dāng)τ=τs，系統(tǒng)產(chǎn)生小振幅的周期解，當(dāng)τ＞τs時(shí)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型系統(tǒng)零解是不穩(wěn)定的.

3 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型數(shù)值仿真

在這一節(jié)里通過(guò)運(yùn)用Matlab對(duì)星型網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行數(shù)值仿真，通過(guò)數(shù)據(jù)和圖像來(lái)驗(yàn)證其動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

(1)當(dāng)N=4，a=1，η=3時(shí)，通過(guò)求解計(jì)算比較最后取得τs=0.6755，取初值［0，－ 1，2，1，－ 2］'，其結(jié)果如圖1、圖2所示.

圖1 τs=0.1系統(tǒng)的零解穩(wěn)定圖像

圖2 系τs=0.6755統(tǒng)產(chǎn)生周期解的圖像

(2)當(dāng)N=2，a=2，η=3.5時(shí)，最后取得τs=0.9104，初值為［0.1.－1］'，其結(jié)果如圖3、圖4所示.

圖3 τs=0.002時(shí)系統(tǒng)的零解穩(wěn)定圖像

圖4 系統(tǒng)產(chǎn)生周期解的圖像

(3)取N=4，a=2，η=4 時(shí)，得τs=0.5895，取初值［0，0.1，－0.1，0.2，－0.2］'結(jié)果如圖5、圖6所示.

圖5 τs=0.04時(shí)系統(tǒng)的零解穩(wěn)定圖像

圖6 τs=0.5895時(shí)系統(tǒng)周期解的圖像

［1］馬佩杰.集群運(yùn)動(dòng)的同步及其在行人流中的應(yīng)用［D］.合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2001.

［2］魏駿杰，王洪濱，蔣衛(wèi)華.時(shí)滯微分方程的分支理論及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2012.

［3］陸啟韶，彭臨平，楊卓琴.常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2010.

［4］梅鳳祥，吳惠彬.微分方程的分析力學(xué)方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2012.

［5］周義倉(cāng)，秦軍林.常微分方程及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2003.

［6］陳姍姍.時(shí)滯導(dǎo)致反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和Hopf分支［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010.

［7］鐘益林，彭樂(lè)群，劉炳文.MATLAB求解［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2007.

［8］張家莊.非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、分叉理論及其應(yīng)用［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，2010.

［9］Sarika Jalan，Amritkar R F.Self－ organized and driven phase synchronization in coupled maps［M］.2003.

［10］孟憲章，魏俊杰.Stability and bifurcation of mutual system with time delay［M］.2003.

［11］賀小明，彭明書(shū).常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)概論［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，2010.