趙澤福

(昭通學(xué)院)

0 引言

Duffing方程的邊值是解決跨共振和限制共振等問題的重要方法，隨著研究的深入，從上個(gè)世紀(jì)30年代開始，Joseph Liouville和 Charles Srurm開始針對(duì)二階常微分兩點(diǎn)邊值問題進(jìn)行研究，并且將二階線性微分方程表示為式(1)所示的形式:

其中，p(t)＞0，q(t)＞0，他們依據(jù)一系列研究成果最終形成了Srurm－Liouville理論.該文在此基礎(chǔ)上對(duì)如下一般形式的二階非線性微分方程進(jìn)行研究.

其中，t∈［0，T］，p(t)∈C1(［0，T］，R)，并且f∈C1(［0，T］×R，R).

1 方程求解準(zhǔn)備

1.1 假設(shè)條件

在該文的研究中，假設(shè)如下的條件成立:

(A1)存在常數(shù)a和b，對(duì)于所有的(t，x)∈［0，T］×R滿足:

(A2)對(duì)于給定的常數(shù)M2＞M1＞0，滿足M2≥p(t)≥M1.

(A3)存在N∈Z+，使得下式成立:

當(dāng)p(t)=1時(shí)，方程(3)變換為

1.2 相關(guān)引理

在證明過程中，引入如下的標(biāo)記:

γ={u(t)∈L2(0，T):u'(t)在［0，T］上絕對(duì)連續(xù)}

并且對(duì)γ空間的范數(shù)定義如下:

對(duì)γα，β線性子空間的定義如下:

γα，β={u(t)∈t:并且對(duì)于任意的［0，α］∪［β，T］滿足u(t)=0}

其中:［α，β］?［0，T］，對(duì)于任意的u(t)和v(t)∈γα，β，令:

其中，a，b，c0，ck，dk為對(duì)應(yīng)的傅里葉系數(shù)，因此根據(jù)如上的定義可以得到:γα，β=χα，β⊕γα，β.

并且，在空間γα，β中，定義實(shí)雙線性型如下所示:

則對(duì)于u∈γα，β，如果有Hα，β(u，v)=0，則u≡0.

2 線性方程邊值問題求解

其中，q(t)∈C(［0，T］，R).

證明1 假設(shè)(L1):存在常數(shù)a和b，使得對(duì)于所有的t∈［0，T］，有:a≤q(t)≤b.則當(dāng)假設(shè)(A1)、(A3)和(L1)成立時(shí)，方程(10)只有零解

證明 假設(shè)方程(10)，根據(jù)假設(shè)克制，對(duì)于?u∈γα，β，有:

因此，根據(jù)Parseval公式得到:

對(duì)于?x∈χα，β，有

(1) 施做注漿錨桿：由于護(hù)盾上方坍塌體堆積，普通注漿錨桿施做比較困難，可采用3 m長(zhǎng)Φ25自進(jìn)式中空注漿錨桿，在護(hù)盾尾部斜向上前方布設(shè)；此外，由注漿模擬試驗(yàn)成果可知，漿液在以強(qiáng)蝕變圍巖中的擴(kuò)散半徑為0.5 m～0.8 m，結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)蝕變巖賦存環(huán)境，注漿錨桿的間排距取1.0 m。桿體上注漿孔孔徑為6 mm～8 mm，孔間距40 cm，梅花型布設(shè)。

同理:對(duì)于?y∈γα，β，有

假設(shè)v(t)是方程(10)的解，則vα，β(t)∈γα，β，對(duì)于?u(t)∈γα，β，可得:

通過分部積分得到:

再根據(jù)公式(8)可知:對(duì)于t∈［0，T］，有vα，β≡0.即t∈［α，β］時(shí)，有v(t)≡0，得證.

證明2 當(dāng)假設(shè)(A1)、(A3)和(L1)成立時(shí)，方程(9)只有零解

證明 利用反證法，假設(shè)當(dāng)(A1)、(A3)和(L1)成立時(shí)，方程(9)有非零解x*，根據(jù)假設(shè)分成如下三種情況:

(1)如果x*(0)=x*(T)=0，則方程(9)變換為方程(10)的情形，通過如上的證明，方程(10)只有零解，與已知條件矛盾.

(2)x*(0)=x*(T)=η?0

定義:S={t∈［0，T］:x*(t)=0}，a=，則根據(jù)

可知:在集合S中至少有兩個(gè)零點(diǎn)，0＜a＜b＜T，且x*(a)=x*(b)=0.令:

方程(11)只有零解，從而得到t∈［a，b］，x*(t)≡0.由于0＜a＜b＜T，則對(duì)于t∈［0，a)∪(b，T］，有x*(t)＞0，從而得到:

(3)(p(t)x')'+q(t)x=η＜0，這種情況與第二種情況的證明類似.

綜上，證明完畢.

證明3 假設(shè)方程滿足(L1)、(A1)和(A3)的假設(shè)條件，而且h(t)，q(t)，p(t)連續(xù)，則方程(12)有唯一解.

證明 在空間γ中定義一個(gè)如下的線性子空間:

在線性子空間中，將方程(12)依據(jù)通論算法，轉(zhuǎn)換為如下的等價(jià)問題:

根據(jù)μ的定義，以及假設(shè)(A1)成立，則在λ=0時(shí)，則前面的假設(shè)，方程(12)只有零解.因此，根據(jù)Leray－Schauder定理，對(duì)于所有的λ∈［0，1］，如果存在M0＞0，使得方程(12)的解滿足:‖xλ(t)‖＜M0，則可以證明方程(12)有唯一解.如果不成立，那么存在‖xj‖?γ*，{λj}?［0，1］，當(dāng)j→∞時(shí)，‖xj‖→∞ ，其中xj為λ=λj時(shí)，方程(12)的解.

根據(jù)Arzela－Ascoli定義，假設(shè)當(dāng)j→∞時(shí)，λj→λ0，yj→y0，y'j→z0.并且，y0滿足邊值條件.當(dāng).從而得到:

與不存在非零解矛盾，證明方程(12)有非零解.

假設(shè)方程(12)有不止一個(gè)非零解，則令x1(t)和x2(t)是方程(12)的任意兩個(gè)解，則令x(t)=x1(t)－x2(t).

根據(jù)假設(shè)(A2)可知:

然后利用前面證明2的結(jié)論，得到方程(12)解的唯一性，至此方程(12)解的存在性問題和唯一性問題得證.

3 結(jié)束語

微分方程的編制問題是微分方程理論的重要研究問題，并且在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用.一直以來，伯努利、歐拉、牛頓、拉格朗日等科學(xué)家都對(duì)微分方程的邊值問題進(jìn)行了大量的研究，并隨著非線性分析理論的不斷發(fā)展和完善，涌現(xiàn)了大量的新的研究成果.該文在前人研究的基礎(chǔ)上，主要對(duì)二階非線性方程的周期積分編制問題進(jìn)行研究.

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