喻金武

(福建省莆田華僑中學(xué))

含參問(wèn)題一般是把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)成為近幾年高考及高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.含參問(wèn)題的解題方法是多樣的，涉及各種數(shù)學(xué)思想和方法，下面通過(guò)例子來(lái)展示各種解題方法.

一、變量易位

變量易位是含參問(wèn)題的一種重要解題策略.含參問(wèn)題，一般含有兩個(gè)或多個(gè)變?cè)?，我們?cè)诮忸}過(guò)程中可視其中一個(gè)為主元，其余都看作參數(shù)，可將多元問(wèn)題化為一元問(wèn)題，常?？梢越档退季S難度.變量易位可分為兩種：

1.主次元互換

一般的，把已知范圍的變量看作自變量，另一個(gè)看作常量.

例1.對(duì)于0≤p≤4的一切實(shí)數(shù)，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范圍.

分析：解決這個(gè)問(wèn)題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程實(shí)數(shù)根分布原理，這是比較復(fù)雜的.若把x與p互換一下角色，即將p視為變量，x為常量，則上述問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于p的一次函數(shù)在［0，4］內(nèi)大于0恒成立的問(wèn)題.

解：設(shè)f(p)=(x-1)p+x2-4x+3

當(dāng)x=1時(shí)，不滿足題意，

當(dāng)0≤p≤4時(shí)，f(p)>0恒成立，只要f(0)>0且f(4)>0

即x2-4x+3>0且x2-1>0解得x>3或x<-1.

2.多元問(wèn)題確定主元

例2.對(duì)任意a∈［-1，1］，函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值總大于0，求x的取值范圍.

解析：f(x)的表達(dá)式是以x為主元的，若按此思路做下去，就會(huì)被騙了，若以a為主元，則發(fā)現(xiàn)g(a)=f(x)=(x-2)a+x2-4x+4是以a為自變量的一次函數(shù).只要同時(shí)滿足 g(1)>0 及 g(-1)>0 即可，而g(1)=(x-2)+x2-4x+4=x2-3x+2>0，g(-1)=(x-2)(-1)+x2-4x+4=x2-5x+6>0即x>3或 x<1.

二、分段討論

合理分段討論是處理含參問(wèn)題的基本思路，含參問(wèn)題的字母取值范圍的求法通常需要用分段討論的方法來(lái)解決.

1.異元分類

解：令log3x=t，則原方程可化為

故原不等式的解集為：當(dāng) k∈(-1，0)∪(1，+∝)時(shí)3k)，當(dāng) k∈(-1，1)時(shí)，x∈覫

2.同元分類

例4.設(shè)log(x2x+1)

解：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)x進(jìn)行分類：

當(dāng)03x>1解得當(dāng)x>1時(shí)，可得x>1且2x2+1<3x<1，解得x∈覫，

3.轉(zhuǎn)變視角

利用等價(jià)變形、函數(shù)奇偶性及公式的合理選用，變換視角去解題.

例5.設(shè)(fx)是偶函數(shù)，x∈［-2，2］，且x∈［0，2］時(shí)，(fx)為減函數(shù)，解不等式 (f1-a)<(fa).

4.數(shù)形結(jié)合

有些問(wèn)題，僅限于數(shù)方面的考慮，在解決問(wèn)題時(shí)，過(guò)程較為繁瑣，若既能分析數(shù)式特征，又能揭示幾何意義，巧妙結(jié)合，則更有利于問(wèn)題的解決.

例 6.設(shè)關(guān)于 x的方程 lg(ax-1)-lg(x-3)=1 有解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

解：原方程可化為：lg(ax-1)=lg10(x-3)從而 ax-1=10(x-3)(x>3)

設(shè) y1=ax-1，y2=10(x-3)(x>3)，其圖象分別為 l1，l2，

總之，對(duì)于含參問(wèn)題，因其覆蓋的知識(shí)點(diǎn)多，方法多，應(yīng)充分運(yùn)用到各種思維策略和方法.

［1］蘇龍.談主元思想對(duì)參數(shù)問(wèn)題的解題幫助［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2008(11)：35-37.

［2］曾安雄.避免分類討論簡(jiǎn)化含參問(wèn)題［J］.解題技法，2006(3)：24-27.