焦錫華,陸文林,莊 甜,俞曉明
(1.鹽城工學(xué)院 機(jī)械優(yōu)集學(xué)院,江蘇 鹽城 224051; 2.鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,江蘇 鹽城 224051)
旋轉(zhuǎn)矩形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)研究
焦錫華1,陸文林2,莊甜1,俞曉明2
(1.鹽城工學(xué)院 機(jī)械優(yōu)集學(xué)院,江蘇 鹽城224051; 2.鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,江蘇 鹽城224051)
靜矩;慣性矩;關(guān)系系數(shù);旋轉(zhuǎn)矩形;正方形
構(gòu)件的靜矩與慣性矩取決于構(gòu)件本身并決定了構(gòu)件的性能,一般構(gòu)件的靜矩與慣性矩之間并沒有簡單的關(guān)系。研究液體的穩(wěn)定度時,發(fā)現(xiàn)液體的穩(wěn)定度取決于一個無量綱系數(shù),這就是靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)[1],該系數(shù)可將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題。在材料力學(xué)中,研究的桿件其橫截面大多是各種形式的平面圖形(如矩形、圓形、T形、工字形等),研究這些圖形的幾何性質(zhì)時,恰恰都可以不考慮研究對象的物理和力學(xué)因素,而作為純幾何問題加以處理[2]。從理論上研究靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)對解決體系的平衡問題具有重要作用。本文研究的矩形繞其端點在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)及其所具有的性質(zhì),對深刻理解和豐富發(fā)展靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)具有重要意義。
如圖1所示,平面圖形K處于xoy平面內(nèi),在圖形K上(x,y)處取面積微元dA,則平面圖形K繞y軸的靜矩Sy、慣性矩Jy以及繞x軸的靜矩Sx、慣性矩Jx分別為
(1)
(2)
(3)
(4)
圖1 靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)的定義Fig.1 Definition of the relational coefficient between static moment and moment of inertia
定義平面圖形K繞y軸、x軸的靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)分別為
(5)
(6)
式(5)中的xmax和式(6)中的ymax分別為平面圖形K在x軸和y軸方向上的最大長度。
2.1理論推導(dǎo)
如圖2a,設(shè)邊長分別為a、b的矩形ABCD處于坐標(biāo)系xoy。將矩形及坐標(biāo)系xoy繞原點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)θ(逆時針取正,順時針取負(fù)),得矩形A′B′C′D′,如圖2b所示。
圖2 矩形旋轉(zhuǎn)Fig.2 Rotation of a rectangle
如圖2b,矩形A′B′C′D′的質(zhì)心橫坐標(biāo)分別為
(7a)
(7b)
矩形A′B′C′D′的繞軸x、y的靜矩分別為
(8a)
(8b)
根據(jù)慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式[3]得
(9a)
(9b)
(10a)
(10 b)
(11a)
(11b)
式(8a)、(8b)、(9a)、(9b)、(11a)、(11b)表明:盡管矩形繞其頂點在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時,其靜矩、慣性矩都在變化,但給定矩形的長寬比k以及旋轉(zhuǎn)角θ,靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)py、px仍具有標(biāo)度變換不變性。
2.2作圖分析
圖3 k=1/4,1/3,1/2,1,2,3,4時,旋轉(zhuǎn)矩形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)的定義Fig.
2.3公式討論
(12a)
(12b)
(13a)
(13b)
(14)
(15a)
(15b)
從圖4可看出:
(3)圖4是圖3(a)、(b)中,k=1時的兩種特殊情形。
圖4 旋轉(zhuǎn)正方形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)py(θ)、px(θ)圖Fig.4 Relational coefficient of a rotational square x(θ)
[1] 俞曉明.平面對稱圖形靜矩與慣性矩的關(guān)系研究[J].鹽城工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,26(1):5-9.
[2] 周金枝,姜久紅.材料力學(xué)[M].武漢:武漢理工大學(xué)出版社,2013:228.
[3] 孫訓(xùn)方,方孝淑,關(guān)來泰.材料力學(xué)(Ⅰ)[M].北京:高等教育出版社,2002:330.
(責(zé)任編輯:張英健)
ResearchontheRelationalCoefficientofStaticMomentandMomentofInertiaofaRotatingRectangular
JIAOXihua1,LUWenlin2,ZHUANGTian1,YUXiaoming2
1. School of Mechanical Optimal Sets Yancheng Institute of Technology,Yancheng Jiangsu 224051,China,2. Department of Basic Courses,Yancheng Institute of Technology,Yancheng Jiangsu 224051,China
staticmoment;momentofinertia;relationalcoefficientofstaticmomentandmomentofinertia;rotatingrectangular;square
10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201503004
2015-03-10
焦錫華(1995-),男,江蘇常州人,主要研究方向為機(jī)械設(shè)計與自動化。
O312.3
A
1671-5322(2015)03-0017-04