焦錫華,陸文林,莊　甜,俞曉明

(1.鹽城工學(xué)院 機(jī)械優(yōu)集學(xué)院,江蘇 鹽城　224051; 2.鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,江蘇 鹽城　224051)

旋轉(zhuǎn)矩形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)研究

焦錫華1,陸文林2,莊甜1,俞曉明2

(1.鹽城工學(xué)院 機(jī)械優(yōu)集學(xué)院,江蘇 鹽城224051; 2.鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,江蘇 鹽城224051)

靜矩;慣性矩;關(guān)系系數(shù);旋轉(zhuǎn)矩形;正方形

構(gòu)件的靜矩與慣性矩取決于構(gòu)件本身并決定了構(gòu)件的性能，一般構(gòu)件的靜矩與慣性矩之間并沒有簡單的關(guān)系。研究液體的穩(wěn)定度時，發(fā)現(xiàn)液體的穩(wěn)定度取決于一個無量綱系數(shù)，這就是靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)[1]，該系數(shù)可將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題。在材料力學(xué)中，研究的桿件其橫截面大多是各種形式的平面圖形(如矩形、圓形、T形、工字形等)，研究這些圖形的幾何性質(zhì)時，恰恰都可以不考慮研究對象的物理和力學(xué)因素，而作為純幾何問題加以處理[2]。從理論上研究靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)對解決體系的平衡問題具有重要作用。本文研究的矩形繞其端點在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)及其所具有的性質(zhì)，對深刻理解和豐富發(fā)展靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)具有重要意義。

1　靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)的定義

如圖1所示，平面圖形K處于xoy平面內(nèi)，在圖形K上(x,y)處取面積微元dA，則平面圖形K繞y軸的靜矩Sy、慣性矩Jy以及繞x軸的靜矩Sx、慣性矩Jx分別為

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1　靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)的定義Fig.1　Definition of the relational coefficient between static moment and moment of inertia

定義平面圖形K繞y軸、x軸的靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)分別為

(5)

(6)

式(5)中的xmax和式(6)中的ymax分別為平面圖形K在x軸和y軸方向上的最大長度。

2　旋轉(zhuǎn)矩形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)

2.1理論推導(dǎo)

如圖2a，設(shè)邊長分別為a、b的矩形ABCD處于坐標(biāo)系xoy。將矩形及坐標(biāo)系xoy繞原點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)θ(逆時針取正，順時針取負(fù))，得矩形A′B′C′D′,如圖2b所示。

圖2　矩形旋轉(zhuǎn)Fig.2　Rotation of a rectangle

如圖2b,矩形A′B′C′D′的質(zhì)心橫坐標(biāo)分別為

(7a)

(7b)

矩形A′B′C′D′的繞軸x、y的靜矩分別為

(8a)

(8b)

根據(jù)慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式[3]得

(9a)

(9b)

(10a)

(10 b)

(11a)

(11b)

式(8a)、(8b)、(9a)、(9b)、(11a)、(11b)表明：盡管矩形繞其頂點在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，其靜矩、慣性矩都在變化，但給定矩形的長寬比k以及旋轉(zhuǎn)角θ，靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)py、px仍具有標(biāo)度變換不變性。

2.2作圖分析

圖3　k=1/4,1/3,1/2,1,2,3,4時，旋轉(zhuǎn)矩形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)的定義Fig.

2.3公式討論

(12a)

(12b)

(13a)

(13b)

(14)

3　旋轉(zhuǎn)正方形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)

(15a)

(15b)

從圖4可看出：

(3)圖4是圖3(a)、(b)中，k=1時的兩種特殊情形。

圖4　旋轉(zhuǎn)正方形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)py(θ)、px(θ)圖Fig.4　Relational coefficient of a rotational square x(θ)

4　結(jié)束語

[1] 俞曉明.平面對稱圖形靜矩與慣性矩的關(guān)系研究[J].鹽城工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,26(1):5-9.

[2] 周金枝,姜久紅.材料力學(xué)[M].武漢：武漢理工大學(xué)出版社,2013:228.

[3] 孫訓(xùn)方,方孝淑,關(guān)來泰.材料力學(xué)(Ⅰ)[M].北京:高等教育出版社,2002:330.

(責(zé)任編輯：張英健)

ResearchontheRelationalCoefficientofStaticMomentandMomentofInertiaofaRotatingRectangular

JIAOXihua1,LUWenlin2,ZHUANGTian1,YUXiaoming2

1． School of Mechanical Optimal Sets Yancheng Institute of Technology，Yancheng Jiangsu 224051，China，2． Department of Basic Courses，Yancheng Institute of Technology，Yancheng Jiangsu 224051，China

staticmoment;momentofinertia;relationalcoefficientofstaticmomentandmomentofinertia;rotatingrectangular;square

10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201503004

2015-03-10

焦錫華(1995-),男,江蘇常州人,主要研究方向為機(jī)械設(shè)計與自動化。

O312.3

A

1671-5322(2015)03-0017-04