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        旋轉(zhuǎn)矩形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)研究

        2015-09-06 08:54:12焦錫華陸文林俞曉明
        關(guān)鍵詞:慣性矩工學(xué)院鹽城

        焦錫華,陸文林,莊 甜,俞曉明

        (1.鹽城工學(xué)院 機(jī)械優(yōu)集學(xué)院,江蘇 鹽城 224051; 2.鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,江蘇 鹽城 224051)

        旋轉(zhuǎn)矩形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)研究

        焦錫華1,陸文林2,莊甜1,俞曉明2

        (1.鹽城工學(xué)院 機(jī)械優(yōu)集學(xué)院,江蘇 鹽城224051; 2.鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,江蘇 鹽城224051)

        靜矩;慣性矩;關(guān)系系數(shù);旋轉(zhuǎn)矩形;正方形

        構(gòu)件的靜矩與慣性矩取決于構(gòu)件本身并決定了構(gòu)件的性能,一般構(gòu)件的靜矩與慣性矩之間并沒有簡單的關(guān)系。研究液體的穩(wěn)定度時,發(fā)現(xiàn)液體的穩(wěn)定度取決于一個無量綱系數(shù),這就是靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)[1],該系數(shù)可將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題。在材料力學(xué)中,研究的桿件其橫截面大多是各種形式的平面圖形(如矩形、圓形、T形、工字形等),研究這些圖形的幾何性質(zhì)時,恰恰都可以不考慮研究對象的物理和力學(xué)因素,而作為純幾何問題加以處理[2]。從理論上研究靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)對解決體系的平衡問題具有重要作用。本文研究的矩形繞其端點在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)及其所具有的性質(zhì),對深刻理解和豐富發(fā)展靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)具有重要意義。

        1 靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)的定義

        如圖1所示,平面圖形K處于xoy平面內(nèi),在圖形K上(x,y)處取面積微元dA,則平面圖形K繞y軸的靜矩Sy、慣性矩Jy以及繞x軸的靜矩Sx、慣性矩Jx分別為

        (1)

        (2)

        (3)

        (4)

        圖1 靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)的定義Fig.1 Definition of the relational coefficient between static moment and moment of inertia

        定義平面圖形K繞y軸、x軸的靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)分別為

        (5)

        (6)

        式(5)中的xmax和式(6)中的ymax分別為平面圖形K在x軸和y軸方向上的最大長度。

        2 旋轉(zhuǎn)矩形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)

        2.1理論推導(dǎo)

        如圖2a,設(shè)邊長分別為a、b的矩形ABCD處于坐標(biāo)系xoy。將矩形及坐標(biāo)系xoy繞原點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)θ(逆時針取正,順時針取負(fù)),得矩形A′B′C′D′,如圖2b所示。

        圖2 矩形旋轉(zhuǎn)Fig.2 Rotation of a rectangle

        如圖2b,矩形A′B′C′D′的質(zhì)心橫坐標(biāo)分別為

        (7a)

        (7b)

        矩形A′B′C′D′的繞軸x、y的靜矩分別為

        (8a)

        (8b)

        根據(jù)慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式[3]得

        (9a)

        (9b)

        (10a)

        (10 b)

        (11a)

        (11b)

        式(8a)、(8b)、(9a)、(9b)、(11a)、(11b)表明:盡管矩形繞其頂點在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時,其靜矩、慣性矩都在變化,但給定矩形的長寬比k以及旋轉(zhuǎn)角θ,靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)py、px仍具有標(biāo)度變換不變性。

        2.2作圖分析

        圖3 k=1/4,1/3,1/2,1,2,3,4時,旋轉(zhuǎn)矩形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)的定義Fig.

        2.3公式討論

        (12a)

        (12b)

        (13a)

        (13b)

        (14)

        3 旋轉(zhuǎn)正方形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)

        (15a)

        (15b)

        從圖4可看出:

        (3)圖4是圖3(a)、(b)中,k=1時的兩種特殊情形。

        圖4 旋轉(zhuǎn)正方形靜矩與慣性矩關(guān)系系數(shù)py(θ)、px(θ)圖Fig.4 Relational coefficient of a rotational square x(θ)

        4 結(jié)束語

        [1] 俞曉明.平面對稱圖形靜矩與慣性矩的關(guān)系研究[J].鹽城工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,26(1):5-9.

        [2] 周金枝,姜久紅.材料力學(xué)[M].武漢:武漢理工大學(xué)出版社,2013:228.

        [3] 孫訓(xùn)方,方孝淑,關(guān)來泰.材料力學(xué)(Ⅰ)[M].北京:高等教育出版社,2002:330.

        (責(zé)任編輯:張英健)

        ResearchontheRelationalCoefficientofStaticMomentandMomentofInertiaofaRotatingRectangular

        JIAOXihua1,LUWenlin2,ZHUANGTian1,YUXiaoming2

        1. School of Mechanical Optimal Sets Yancheng Institute of Technology,Yancheng Jiangsu 224051,China,2. Department of Basic Courses,Yancheng Institute of Technology,Yancheng Jiangsu 224051,China

        staticmoment;momentofinertia;relationalcoefficientofstaticmomentandmomentofinertia;rotatingrectangular;square

        10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201503004

        2015-03-10

        焦錫華(1995-),男,江蘇常州人,主要研究方向為機(jī)械設(shè)計與自動化。

        O312.3

        A

        1671-5322(2015)03-0017-04

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