孫麗娜 齊玉妍 金學(xué)申

河北省地震局，石家莊市槐中路262號 050021

0 引言

強(qiáng)震的孕育、發(fā)生是極其復(fù)雜的物理過程，離上次發(fā)生強(qiáng)震的時(shí)間越長，離下一次地震的時(shí)間不一定也越長。Garavaglia等(2007)的工作指出，如果考慮強(qiáng)震的發(fā)生只取決于從上一強(qiáng)震之后的若干時(shí)間發(fā)生，那么在某區(qū)域的地震預(yù)測是可能的。

假設(shè)某地區(qū)在某時(shí)間發(fā)生了一次強(qiáng)震，對于如何判斷下一次地震的發(fā)生時(shí)間，許多研究者從不同的角度對不同環(huán)節(jié)提出了各種有益的探索。然而，就地震復(fù)發(fā)模型而言至今仍主要沿用泊松過程的假定。當(dāng)去除余震后，小地震活動符合泊松分布(Gardner et al，1974)，而在一個(gè)較大范圍里的中強(qiáng)地震活動在時(shí)間軸上卻遵從成叢分布(Knopoff et al，1996)。按照這個(gè)假設(shè)，周期性的地震活動遵從有限的成叢性，可以精確地預(yù)測。一般來說，如果有時(shí)間上的聚集性，且在已有地震時(shí)間分布的前提下，那么就可以計(jì)算未來一定時(shí)間間隔的發(fā)震概率。為了定量描述這一性質(zhì)，我們把在給定區(qū)域自上一次強(qiáng)震以來的持續(xù)時(shí)間與在給定時(shí)間間隔范圍內(nèi)的強(qiáng)震發(fā)生的條件概率聯(lián)系起來，計(jì)算強(qiáng)震在給定時(shí)間的發(fā)生概率。

本文從概率論的原理出發(fā)，推導(dǎo)出計(jì)算強(qiáng)震等待時(shí)間的公式，然后依據(jù)各分布模型，得到等待時(shí)間的計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上，計(jì)算了河北省及鄰近地區(qū)的5.0級以上強(qiáng)震等待時(shí)間的概率。

1 下一次地震的等待時(shí)間

假定P(t)是地震時(shí)間間隔的概率密度，而t是自上一次地震以來的時(shí)間，t'是從現(xiàn)在到下一次地震發(fā)生的時(shí)間間隔，即等待時(shí)間(Sornette et al，1997)?，F(xiàn)在的問題是要求得t'的概率密度函數(shù)P(t')。據(jù)貝葉斯條件概率公式

我們假定P(A)=P(t+t')，這就是從現(xiàn)在開始到下一次地震發(fā)生時(shí)的時(shí)間間隔為t'的概率。同時(shí)假定也就是從上一次地震發(fā)生到現(xiàn)在沒有地震發(fā)生的概率。這樣，歸一化的條件概率公式為

建筑施工總包商和分包商的實(shí)際經(jīng)濟(jì)、技術(shù)實(shí)力仍存在著較大差異，針對這一情況，建筑施工單位各部門應(yīng)對此建立合理有效的施工技術(shù)管理體系，對于傳統(tǒng)的建筑施工技術(shù)管理體系進(jìn)行轉(zhuǎn)型，建立和健全施工技術(shù)管理體系，形成專業(yè)部門從而管理施工技術(shù)工作，保證在分包時(shí)，建筑施工單位要落實(shí)管理責(zé)任工作，將責(zé)任落實(shí)到各個(gè)部門。另外，施工企業(yè)在工程施工過程中，應(yīng)做好各部門的協(xié)調(diào)工作，調(diào)整工作人員調(diào)動，發(fā)揮工作人員的自身優(yōu)勢，做到人盡其才，加強(qiáng)各部門在施工過程中的配合工作，使各部門相互協(xié)助完成工作，進(jìn)而在保證工程質(zhì)量的前提下提高施工效率。同時(shí)，施工企業(yè)單位要重視施工人員業(yè)務(wù)素質(zhì)能力，定期對施工人員進(jìn)行職業(yè)素質(zhì)培訓(xùn)。

由(2)式得平均等待時(shí)間為

通過簡單的變量變換u=t+t'，可以得到

由分部積分，得到

為簡單起見，把(5)式寫成

f(t)是p(u)的二重積分，因此有

同樣，設(shè)f(t)=e－g(t)，如果g″(t)＜0，則如果P(t)在t=0時(shí)有限，我們也能發(fā)現(xiàn)(5)式的變換形式，這對等待時(shí)間短的情況十分有用。因?yàn)閷Χ痰牡却龝r(shí)間，有積分結(jié)果可以直接據(jù)(5)式得到:〈t〉是兩地震間的平均重復(fù)時(shí)間，設(shè)其中τ是等待時(shí)間的估計(jì)值，它是根據(jù)上一次地震以來的時(shí)間估計(jì)得到的。我們把它看作為t'的瞬時(shí)估計(jì)。這樣就可以寫成

如果瞬時(shí)估計(jì)τ小于平均的等待時(shí)間，那么，到下一次地震的時(shí)間隨著離逝時(shí)間的增加而增加，這表明平均等待時(shí)間反應(yīng)的是整個(gè)時(shí)間中各部分的貢獻(xiàn)。而如果〈t〉的值大于τ，則表明這是在非零時(shí)刻大于τ的那部分的貢獻(xiàn)。在這種情況下，如果〈t〉小于τ，離下一次地震的時(shí)間隨著離逝時(shí)間的增加而減少。在特殊情況下，如果P(0)=0，則離下一次地震的時(shí)間隨著離逝時(shí)間的增加而減少。如果P(0)=∞，則即離下一次地震的時(shí)間隨著離逝時(shí)間的增加而增加。

2 各種分布的概率密度函數(shù)

假設(shè)上次地震起至現(xiàn)在的時(shí)間為t，其概率密度函數(shù)為p(t)，現(xiàn)在起至下次發(fā)生地震的間隔時(shí)間為t'的概率密度函數(shù)為P(t');現(xiàn)在起至下次發(fā)生地震間隔時(shí)間在u以內(nèi)的概率為Pr(u)。則由(2)式可得

根據(jù)這些分布函數(shù)的定義，結(jié)合(2)式和(11)式用分布函數(shù)來計(jì)算下一次強(qiáng)震的等待時(shí)間概率。

2.1 指數(shù)分布

我們首先考慮指數(shù)分布，因?yàn)樗c泊松分布相似，指數(shù)分布的等待時(shí)間的表達(dá)式為

其中t0是平均間隔時(shí)間。由(2)式，可得

很顯然，下一次地震的發(fā)生時(shí)間不取決于離逝時(shí)間，不管t的值有多大，從現(xiàn)在到下一次地震的平均時(shí)間都為t0。則

2.2 均勻分布

均勻分布的表達(dá)式是

其中2t0是地震間最大的時(shí)間間隔，t0是其平均值。由(2)式，有

P(t')與t'無關(guān)，也就是說，它本身是一個(gè)均勻分布，但其值取決于t，在未來一直到t0的時(shí)間內(nèi)，發(fā)生一次地震的概率隨著離逝時(shí)間的增加而增加，而當(dāng)離逝時(shí)間超過2t0時(shí)，等待時(shí)間就變得不確定了。這實(shí)際上也就告訴我們，下一次地震的發(fā)生時(shí)間在2t0內(nèi)的可能性最大，而這從公式也可以看出。如果是負(fù)的，這表明等待時(shí)間隨著離逝時(shí)間的減少而減少。則

2.3 威布爾分布

威布爾分布的表達(dá)式為

3 t0的確定

在上述計(jì)算中，我們不知道t0，所以要據(jù)有限的地震時(shí)間間隔來估計(jì)。假定我們有(n-1)個(gè)地震時(shí)間間隔，并忽略其不確定性(而這對歷史地震來說是可能的)。假定最后一次地震的離逝時(shí)間為t，那么，在泊松分布的情況下，由最大似然法給出的t0的估值是

t為最后一次地震距今的時(shí)間間隔，tj為n個(gè)地震間的時(shí)間間隔。

這樣，在泊松分布的情況下，得到了隨離逝時(shí)間的增加而增加的下一次地震復(fù)發(fā)的平均時(shí)間間隔。(21)式可以被推廣用于上述其他分布(Sornette et al，1997)。

4 強(qiáng)震的等待時(shí)間預(yù)測方法在河北及周邊地區(qū)的應(yīng)用及回溯性檢驗(yàn)

根據(jù)黃瑋瓊(1994)對我國大陸地震資料的完整性研究成果，按華北地區(qū)(除海域與邊遠(yuǎn)地區(qū)外)的記載能力，對公元1303～1500年有記載的6級以上的地震和公元1500年后有記載的5級以上的地震，用統(tǒng)計(jì)分析方法進(jìn)行檢驗(yàn)，得出華北地區(qū)(除黃海及邊遠(yuǎn)地區(qū)外)M地震自1484年之后基本完整。因此，本文將公元1500年以來的地震目錄(去除余震)用于等待時(shí)間的數(shù)學(xué)模型計(jì)算。

本文將預(yù)測研究區(qū)劃分成:河北南部、晉冀蒙、京津、唐山4個(gè)區(qū)域(表1)，用公元1500～1970年的5級以上的地震目錄計(jì)算了這4個(gè)地區(qū)從1970～2070年這100年內(nèi)各時(shí)段發(fā)生5級及以上地震的概率(圖1)。

表1 研究區(qū)域的劃分

圖1 研究區(qū)域5級以上地震在1970～2070年的發(fā)震概率

本文設(shè)發(fā)震概率為P，當(dāng)P≥0.6時(shí)，認(rèn)為將會發(fā)生5級及以上的地震，則P=0.6是發(fā)生地震的最低閥值，因此對P=0.6、0.7、0.8這3個(gè)分布計(jì)算的發(fā)生5級及以上地震的概率值所對應(yīng)的時(shí)間，進(jìn)行回溯性檢驗(yàn)。結(jié)果如表2～5所示。

據(jù)表2～5可以看出，河北南部和晉冀蒙地區(qū)檢驗(yàn)率比較高，計(jì)算出來的發(fā)震時(shí)間和實(shí)際發(fā)震時(shí)間比較接近甚至一致。京津地區(qū)和唐山地區(qū)檢驗(yàn)率略低一些，分析京津和唐山地區(qū)的計(jì)算過程發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)地區(qū)在1500～1970年間5級及以上地震的時(shí)間間隔比較大，這可能是造成檢驗(yàn)率低的關(guān)鍵因素。

表2 河北南部地區(qū)回溯性檢驗(yàn)結(jié)果的對比

表3 晉冀蒙地區(qū)回溯性檢驗(yàn)的對比結(jié)果

表4 京津地區(qū)回溯性檢驗(yàn)結(jié)果的對比

表5 唐山地區(qū)回溯性檢驗(yàn)結(jié)果的對比

5 AIC判別準(zhǔn)則

統(tǒng)計(jì)模型的優(yōu)劣可以用(Akaike，1997)提出的一種AIC準(zhǔn)則來判別，此準(zhǔn)則實(shí)質(zhì)上是一種最大熵估計(jì)。其方法是:假定lnL是所得到的模型的對數(shù)最大似然值，則

其中，L為統(tǒng)計(jì)分析中的最大似然數(shù)，K為參量數(shù)目。對于不同模型計(jì)算出的AIC值，AIC值最小的模型作為最優(yōu)來選擇。兩個(gè)模型的AIC值相差越大，模型的優(yōu)劣差別就越明顯，反之差別不大(朱守彪等，2002)。一般來說，AIC值相差2以上時(shí)，這兩個(gè)模型就可以比較其優(yōu)劣(孫若昧等，1999)。

表6 研究區(qū)三個(gè)分布函數(shù)模型的AIC值

本文用AIC準(zhǔn)則對研究區(qū)的3個(gè)分布函數(shù)模型進(jìn)行判別，計(jì)算結(jié)果如表6。比較表6的AIC值，發(fā)現(xiàn)在這4個(gè)研究區(qū)內(nèi)，3個(gè)分布函數(shù)模型中均是指數(shù)分布模型的AIC值最小，且這3個(gè)分布函數(shù)模型的AIC值都相差2以上，AIC準(zhǔn)則適用于判斷這3個(gè)分布函數(shù)模型的優(yōu)劣。結(jié)合回溯性檢驗(yàn)的結(jié)果，本文認(rèn)為指數(shù)分布模型比較適合于這4個(gè)研究區(qū)域內(nèi)強(qiáng)震等待時(shí)間的計(jì)算。從圖1的(a)、(b)、(c)、(d)均可以看出在2013年以后的發(fā)震概率比較高，這為地震的中長期預(yù)測提供了參考。

6 討論和結(jié)論

研究發(fā)現(xiàn)，如果將本文的方法外推用于漸近估計(jì)非常大時(shí)間間隔的分布是危險(xiǎn)的，而受計(jì)算中各個(gè)分布函數(shù)的特性和參數(shù)值的影響，該方法適用于通過短時(shí)間間隔的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷出長時(shí)間尺度的強(qiáng)震等待時(shí)間的發(fā)震概率。

通過實(shí)例分析可以發(fā)現(xiàn)，重復(fù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)估計(jì)對所假定的分布是非常靈敏的，不同分布的等待時(shí)間發(fā)震概率有明顯差別，這可能與各地區(qū)歷史地震時(shí)間分布有關(guān)。且本文在用AIC準(zhǔn)則判別統(tǒng)計(jì)模型的優(yōu)劣時(shí)發(fā)現(xiàn)，研究所用的3個(gè)分布函數(shù)中，指數(shù)分布模型比較適合用于計(jì)算強(qiáng)震等待時(shí)間。

從計(jì)算結(jié)果和實(shí)例檢驗(yàn)結(jié)果來看，強(qiáng)震等待時(shí)間的計(jì)算方法，對于中長期地震活動具有一定的預(yù)測能力，在今后的中長期地震預(yù)測中有待于進(jìn)一步研究。