蔡香偉，方宗德，候祥穎

(西北工業(yè)大學機電學院，710072西安)

弧齒錐齒輪因具有傳動平穩(wěn)、承載能力強等優(yōu)點，被廣泛應用于航空、車輛及機床的動力系統(tǒng)中.傳動過程中兩相互嚙合的輪齒形成的齒面印痕與齒輪的強度和振動特性密切相關，是傳動性能的重要指標.實際工況下，減速器中的箱體、軸承、軸系和齒輪的變形，安裝誤差、制造誤差和隨機誤差的存在，以及溫度、振動等因素的影響，齒面印痕將偏離理想位置(反映為齒輪副的當量安裝錯位［1］)，這一直是齒輪設計和使用中的重要問題.由于弧齒錐齒輪齒面幾何結構復雜，支撐變形也非常復雜，精確地計算和測量十分困難.工程中歷來采用經(jīng)驗的方法或多次試加工和調整的方法，所需周期長，效果并不理想［2］.因此，根據(jù)齒面印痕的偏移，識別相應的當量安裝錯位(以下簡稱安裝錯位)，將其反饋到齒面再設計中，對于提高齒輪副實際工況下的嚙合質量具有重要的工程意義.

國內外學者就安裝錯位與齒輪副嚙合特性(接觸印痕和傳動誤差)的相互關系進行了大量研究.Litvin 等［3］、Simon［4-5］、汪中厚等［6］分析了安裝錯位作用下齒面印痕的變化;唐進元等［7］綜合分析了機床運動誤差和安裝錯位對齒面接觸質量的影響;吳訓成等［8］用完全解析的方法分析了點接觸齒面的接觸點位置對安裝錯位的敏感性問題;蘇進展等［9-11］通過齒面修形、差曲面的全曲率優(yōu)化、印痕敏感性系數(shù)的優(yōu)化等方法改善了弧齒錐齒輪的安裝錯位敏感性;唐進元等［12-13］考慮初始計算點位置對安裝錯位敏感性的影響，對預定傳動誤差曲線的弧齒錐齒輪齒面設計方法進行了改進，降低了安裝錯位的敏感性;而對于安裝錯位的識別及錯位下的齒面再設計問題，相關研究較少，僅見文獻［14］通過載荷變化與印痕移動的近似線性關系計算錯位值，并采用基于齒面印痕和傳動誤差的齒面主動設計方法重新設計齒面幾何.由于多種安裝錯位的組合可能引起相同的印痕偏移，即這一問題存在多解性，但該文獻中并未對其進行有效說明.

本文主要研究基于齒面印痕偏移的安裝錯位識別及錯位下的齒面再設計問題.建立了考慮安裝錯位的弧齒錐齒輪幾何接觸分析模型，分析了不同錯位組合之間的內部聯(lián)系，說明多解性的產(chǎn)生機理;提取齒面印痕的數(shù)值特征，以逼近接觸軌跡曲線為優(yōu)化目標，識別與齒面印痕相匹配的當量安裝錯位;在局部綜合法的基礎上，根據(jù)當量安裝錯位重新設計小輪的齒面幾何，使齒輪副在實際的安裝錯位條件下仍具有較好的嚙合性能.

1 安裝錯位與齒面印痕

根據(jù)GB11365—1989的規(guī)定，弧齒錐齒輪副在實際的安裝中，需要考慮的錯位因素主要有小輪齒圈軸向位移P、大輪齒圈軸向位移G、齒輪副的軸間距E與軸夾角Σ，如圖1所示.

圖1 弧齒錐齒輪副的安裝錯位

1.1 嚙合坐標變換與幾何接觸分析

由圖1建立弧齒錐齒輪副的嚙合坐標系如圖2所示.坐標系S1和S2分別剛性連接在小輪與大輪上，Sh為固定參考坐標系，添加輔助坐標系Sc1以描述安裝中的錯位，φ1與φ2是小輪與大輪的嚙合轉角.圖中各錯位正方向規(guī)定如下:小輪軸向錯位ΔP為‘+’時移向小輪大端;大輪軸向錯位ΔG為‘+’時移向大輪大端;軸間距錯位ΔE為‘+’時小輪軸線在大輪軸線下方;軸交角錯位ΔΣ為‘+’時軸交角增大.

圖2 齒輪嚙合數(shù)學模型

將小輪與大輪的齒面位矢及法矢分別表示在坐標系Sh中:

式中:ξi=［θi，φi］(i=p，g)是齒面參數(shù)，小輪與大輪的位矢及法矢具體表達式可參考文獻［15］;φ1、φ2為小輪與大輪的嚙合轉角;Mh1、Mc2、Mhc分別是坐標系S1到Sh、S2到Sc、Sc到Sh的齊次變換矩陣，如下所示:

小輪與大輪齒面在固定坐標系Sh中連續(xù)相切接觸，得到輪齒接觸分析(TCA)基本方程為

錯位向量D= [ΔP，ΔG，ΔE，ΔΣ]已知，由于，式(5)只有5個獨立的標量方程，未知量有6個，取小輪嚙合轉角φ1為輸入量，可得齒面上的一個接觸點，然后以一定步長改變φ1，繼續(xù)求解，直至求出的接觸點超出齒面的有效邊界，即可得到齒面的接觸軌跡.在嚙合點處，由齒面參數(shù)確定兩齒面的相對曲率，結合齒面的彈性變形量不大于0.006 35 mm，計算該點處的接觸橢圓，而齒面印痕就是由一系列的接觸橢圓組成的.

1.2 錯位多解性分析

由式(1)、(2)可知，小輪、大輪齒面上的點在固定坐標系中的位置是由齒面參數(shù)ξi、安裝錯位D及各自的嚙合轉角φ1、φ2確定的，齒面上任意兩點的相對位矢

不同的錯位組合作用下，嚙合的每一瞬時兩齒輪在固定坐標系Sh中的絕對坐標是不同的，但相對坐標如果相同，即小輪與大輪齒面上任意兩點的相對位矢Δr一致，存在唯一的“空間等效向量”，則齒輪副的嚙合狀態(tài)是等價的，這將產(chǎn)生相同的齒面印痕.

由于“空間等效向量”的唯一性，在進行錯位識別時，只需根據(jù)實際齒面印痕的偏移確定一組滿足“空間等效向量”的當量錯位即可，無需精確計算出真實的錯位，錯位的識別由尋找“真解”轉換為尋找“等效解”，避免了從結構、受力等方面分析產(chǎn)生印痕偏移的原因，大大降低了問題的研究難度.

2 安裝錯位識別

2.1 齒面印痕的數(shù)值描述

實際齒面印痕的物理資源為印痕拓片或照片，必須提取其數(shù)值特征，才能進行后續(xù)處理.圖3為齒面印痕參數(shù)化示意圖，數(shù)值特征包括印痕中心坐標、印痕面積、印痕方向角.其中印痕方向角為接觸軌跡曲線上進入嚙合點與退出嚙合點連線與節(jié)錐的夾角.從圖中可以看出，中心點坐標代表齒面印痕的整體位置，印痕面積反映了輪齒的承載情況，印痕方向角表示嚙合點在齒面的運動方向.

圖3 齒面印痕參數(shù)化表示

2.2 優(yōu)化模型

有效的算法是保證錯位識別精度的關鍵因素.由于齒面接觸軌跡代表了輪齒從進入嚙合到退出嚙合的完整過程，這里通過對接觸軌跡曲線的控制，可以實現(xiàn)高精度的錯位識別.

給定一組安裝錯位D，由幾何嚙合仿真得到齒面上的接觸點擬合的接觸軌跡曲線記為ld，ld上離散點的位置矢量與法線矢量分別表示為

其中m為離散點的數(shù)目.

由實際齒面印痕擬合的接觸軌跡曲線記為lt，lt與ld的偏差如圖4所示，優(yōu)化的目標是尋求一組安裝錯位，使得ld逼近于lt.

圖4 接觸軌跡偏差示意圖

則lt上的離散點可表示如下:

將式(6)代入lt的曲線方程中，求解非線性方程即可計算當前離散點的偏差hi.

以兩曲線偏差的平方和最小為目標，建立最小二乘法目標函數(shù)模型:

3 安裝錯位下的齒面再設計

對于識別的安裝錯位D= ［ΔP，ΔG，ΔE，ΔΣ］，主要應用是將其引入到弧齒錐齒輪小輪齒面的再設計中，通過調整機床參數(shù)改變齒面的微觀幾何，使齒輪副在錯位條件下的嚙合印痕仍能處于理想的位置.本文在局部綜合法［15］的基礎上，考慮安裝錯位的影響，重新設計小輪機床參數(shù).在進行局部綜合時，大輪參考點的位矢、法矢及主方向由動坐標系S2到固定坐標系Sh的坐標變換矩陣如式(3)、(4)所示，由固定坐標系Sh到動坐標系S1的坐標變換矩陣為

經(jīng)過以上變換，預置參考點的二階接觸參數(shù):傳動比函數(shù)的一階導數(shù)m'21、接觸軌跡曲線的切線方向η2、接觸橢圓長半軸長度a等，根據(jù)局部綜合法相關公式，即可計算小輪的加工參數(shù).

4 算例

以一對弧齒錐齒輪(大輪展成法加工，小輪變性法加工)為例，驗證本文方法.輪坯設計參數(shù)見表1，假定大輪凸面與小輪凹面嚙合，表2為大輪的機床參數(shù)，表3為原始設計的小輪機床參數(shù).

表1 輪坯設計參數(shù)

表2 大輪機床參數(shù)

表3 小輪原始設計機床參數(shù)

齒輪副的標準安裝位置為D0，在本文的仿真中作為方法驗證，人為擬定錯位量Dt作為實際錯位(安裝錯位的真值)，以大輪的軸向位移分量ΔG作為不變量，給定初值為-0.05 mm，優(yōu)化得到一組當量安裝錯位De.三組錯位的分量見表4.

表4 安裝錯位數(shù)值

繪制齒輪副在三組錯位下的接觸印痕及傳動誤差如圖5、6所示.

通過以上計算可知，對于原始設計的齒輪副，標準安裝位置的齒面印痕位于齒寬中部，接觸軌跡曲線呈一定角度的傾斜，設計重合度為2.5，傳動誤差曲線嚙合轉換點幅值為8″;在實際錯位下，齒面印痕的形狀改變不大，但印痕中心位置移動明顯，齒面印痕向小端偏移，印痕的面積也有一定程度的減小;當量錯位下的齒面印痕，其大小、方向、位置均與實際錯位下的齒面印痕非常接近，說明錯位的識別取得了較高的求解精度.

圖5 標準安裝位置D0的TCA結果

圖6 實際錯位Dt與當量錯位De的TCA結果

表5中序列1～3分別是D0、Dt、De作用下齒面印痕的數(shù)值特征.分別基于實際錯位Dt與當量錯位De進行小輪齒面的重新設計(預置參數(shù)m'21、a保持不變，微調η2保證齒輪副的設計重合度，微調大輪參考點在齒高方向的位置保證傳動誤差曲線的對稱性)，得到小輪機床參數(shù)記為Mp-Dt、Mp-De，相關數(shù)值見表 6，兩再設計齒面的偏差如圖7所示.

局部綜合法通過模擬大輪與小輪在參考點處的嚙合確定小輪機床參數(shù)，兩組安裝錯位下齒輪副在嚙合固定坐標系中的絕對位置不同，這導致了再設計的小輪齒面具有不同的機床參數(shù)，如表6;但齒輪副的相對位置基本相同，決定了在大輪齒面點全相同的前提下小輪齒面的微觀幾何也基本一致，如圖7所示，齒面偏差的最大值為1μm.理論上，對于完全等效的不同安裝錯位組合，采用同種方法再設計小輪機床參數(shù)后將得到相同的齒面幾何結構，因此，對于工況下的齒面再設計問題，無需精確計算出真實的安裝錯位.實際應用中，再設計齒面的偏差大小取決于錯位識別的精度，而文中所述錯位識別算法可以滿足工程應用的需要.

表5 印痕的數(shù)值特征

圖7 機床參數(shù)Mp－De與Mp－Dt的齒面偏差

將Mp-Dt與Mp-De分別在實際安裝錯位Dt下與大輪嚙合，設計重合度為 2.500、2.506，齒面印痕與傳動誤差如圖8所示，印痕的數(shù)值特征見表5中序列4～5，與標準安裝的原始設計相比，齒輪副的嚙合狀態(tài)基本相同，基于當量安裝錯位的齒面再設計取得了良好的效果.

圖8 再設計齒面在實際錯位Dt下的TCA結果

5 結論

1)不同的安裝錯位可以導致相同的齒面印痕，但這些錯位組合之間存在等價關系，安裝錯位的識別問題由確定真解轉換為計算一組等效解.

2)對于完全等效的兩組安裝錯位，在同樣的方法下進行小輪齒面的再設計，將得到不同的機床參數(shù)，但這些機床參數(shù)加工的小輪齒面具有相同的幾何拓撲結構.

3)提取齒面印痕的數(shù)字化特征，以逼近齒面接觸跡線為目標，通過優(yōu)化方法可以高精度地識別與齒面印痕匹配的當量安裝錯位.

4)以一對弧齒錐齒輪副為例，基于局部綜合法，分別在實際安裝錯位與當量安裝錯位下重新設計小輪齒面，通過比較小輪再設計齒面的差曲面，結合在實際安裝錯位下的幾何接觸分析，驗證了文中所述方法的正確性.

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