楊一岱，荊武興，劉 玥

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天工程系，150001哈爾濱)

隨著空間技術(shù)逐步發(fā)展，航天器承擔(dān)的任務(wù)日益復(fù)雜，很多任務(wù)需要借助帶有較大撓性的附件來完成，如太陽帆板的對日定向，大型天線的對地或?qū)ζ渌求w的定向，有效載荷對空間中某方位的精確指向，空間機(jī)械臂靈活運(yùn)動(dòng)等［1-3］.在現(xiàn)代航天任務(wù)中，為減小發(fā)射質(zhì)量，此類附件通常采用輕質(zhì)的新型材料，故具有較大的尺寸和較小的質(zhì)量，致使現(xiàn)代航天器整體結(jié)構(gòu)趨于撓性化［4-5］.此類帶有大撓性附件的航天器具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性［6］，附件的撓性振動(dòng)與航天器的姿態(tài)、軌道運(yùn)動(dòng)之間相互耦合，在對此類航天器的動(dòng)力學(xué)問題，特別是高精度控制問題進(jìn)行研究時(shí)，須對撓性附件帶來的影響進(jìn)行詳細(xì)分析.為此如何建立一套能精確反應(yīng)航天器真實(shí)動(dòng)力學(xué)特性的模型就成為一個(gè)重要課題.

在大撓性航天器的動(dòng)力學(xué)建模方面，不少國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)的研究.在早期的研究中，常采用分布參數(shù)法［7］(distributed parameter)和集中參數(shù)法［8］(lumped parameter).分布參數(shù)法可精確描述對象的動(dòng)力學(xué)特征，但具有不易求解的缺點(diǎn);集中參數(shù)法物理意義清晰明了且易于求解，但是其模化精度較低，不能滿足工程需要.隨著計(jì)算機(jī)水平的發(fā)展，現(xiàn)階段最常用的手段是有限元法［9-10］.由于有限元法將整個(gè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)看成由有限個(gè)用節(jié)點(diǎn)連接起來的小單元組成，在理論上單元可無限細(xì)分，使其?；瓤扇我獗平?，且便于計(jì)算機(jī)編制程序進(jìn)行計(jì)算，從而成為當(dāng)前工程上最常用的手段.在我國的航天控制領(lǐng)域中，也有大量學(xué)者對大撓性航天器的動(dòng)力學(xué)建模問題進(jìn)行了研究［11-13］.其中，屠善澄［14］提出一種基于有限元法的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，對航天器姿態(tài)控制在工程實(shí)踐方面具有很大的指導(dǎo)意義.但是，該模型是建立在衛(wèi)星結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系上的，而衛(wèi)星于實(shí)際在軌飛行過程中，由于撓性附件振動(dòng)的影響，其真實(shí)質(zhì)心在其結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中是不斷變化的，這就導(dǎo)致應(yīng)用此動(dòng)力學(xué)模型描述衛(wèi)星姿態(tài)、軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的誤差.此外，由于衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)狀態(tài)通常情況下都是以其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)描述的，若姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的參考坐標(biāo)系原點(diǎn)與衛(wèi)星質(zhì)心存在相對運(yùn)動(dòng)，對于描述衛(wèi)星姿軌間的耦合作用也是不利的.隨著工程實(shí)踐中對精度指標(biāo)的要求日益提高，已有的模型將不再滿足新的任務(wù)需求.基于以上原因，本文建立了適用于大撓性衛(wèi)星高精度姿態(tài)控制的浮動(dòng)質(zhì)心動(dòng)力學(xué)模型，可用于定量分析衛(wèi)星附件的撓性振動(dòng)對衛(wèi)星整體的姿態(tài)、軌道耦合作用，對實(shí)際工程應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值.

1 浮動(dòng)質(zhì)心模型

本文為建立適用于大撓性衛(wèi)星的高精度姿軌耦合控制的動(dòng)力學(xué)模型，不同于建立在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系上的傳統(tǒng)的撓性衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，將衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型建立在衛(wèi)星實(shí)際質(zhì)心上，其相對于結(jié)構(gòu)質(zhì)心是浮動(dòng)的，稱之為浮動(dòng)質(zhì)心.下面首先建立浮動(dòng)質(zhì)心的動(dòng)力學(xué)模型，其中坐標(biāo)系定義如下:oexyz為地心赤道慣性坐標(biāo)系，原點(diǎn)oe為地心，oex軸指向春分點(diǎn)，oez軸指向北極，oey軸與其余兩軸成右手系;obxbybzb為本體坐標(biāo)系，原點(diǎn)ob為衛(wèi)星實(shí)際質(zhì)心，三軸與衛(wèi)星的安裝坐標(biāo)系重合.

假設(shè)飛行器由一個(gè)中心剛體B和m個(gè)一端與其相連的撓性附件Bi(i=1，2，3)構(gòu)成，如圖1所示.其中P為撓性附件未變形時(shí)整星的質(zhì)心，下稱結(jié)構(gòu)質(zhì)心;ob為撓性附件變形后整星的質(zhì)心，下稱實(shí)際質(zhì)心;rpi為第i個(gè)撓性附件與中心剛體的連結(jié)點(diǎn)相對于P點(diǎn)的位置矢量.

圖1 由中心剛體和多個(gè)撓性附件構(gòu)成的飛行器與坐標(biāo)系

由圖1中幾何關(guān)系可知，飛行器質(zhì)心浮動(dòng)位移為

根據(jù)牛頓第二定律，對飛行器上任一微元mik(第i個(gè)附件上的第k個(gè)節(jié)點(diǎn))有

其中Fik、fik分別為mik所受外力、內(nèi)力之和，對整星所有質(zhì)量元求和，并結(jié)合牛頓第三定律(fik總和為0)與幾何關(guān)系可得

又由質(zhì)心定義結(jié)合牛頓第二定律有

將式(2)代入式(1)并將矢量做進(jìn)一步分解可得

于是由式(3)最終可得到

式(4)為整星的質(zhì)心位置變化與撓性附件形變的關(guān)系，即浮動(dòng)質(zhì)心模型.應(yīng)指出，該模型描述的質(zhì)心浮動(dòng)位移項(xiàng)為航天器真實(shí)質(zhì)心相對于其結(jié)構(gòu)質(zhì)心的位移，在實(shí)際情況下，由于撓性振動(dòng)引起作用均為內(nèi)力，并不會(huì)改變整個(gè)航天器的實(shí)際質(zhì)心位置，真正在不斷進(jìn)行浮動(dòng)運(yùn)動(dòng)的是航天器的結(jié)構(gòu)質(zhì)心.而航天器上的元器件和執(zhí)行機(jī)構(gòu)均是安裝在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的，因此從觀測的角度講，就像是航天器的實(shí)際質(zhì)心在相對其結(jié)構(gòu)浮動(dòng)運(yùn)動(dòng).此外，對于航天器整體而言，實(shí)際質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)為長周期的慢變的軌道運(yùn)動(dòng)，結(jié)構(gòu)質(zhì)心相對于實(shí)際質(zhì)心的晃動(dòng)就是航天器受撓性振動(dòng)激發(fā)的軌道耦合運(yùn)動(dòng).顯然，將姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型建立在實(shí)際質(zhì)心上更符合客觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律，且更易于描述航天器姿態(tài)與軌道之間的耦合效應(yīng).

2 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

下面基于第一節(jié)給出的浮動(dòng)質(zhì)心模型推導(dǎo)航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，由角動(dòng)量定義可知

由質(zhì)心定義并結(jié)合式(3)可知

假設(shè)飛行器本體以角速度ω在慣性空間中旋轉(zhuǎn)，撓性附件Bi以角速度ωi相對于飛行器本體旋轉(zhuǎn)，由相對微分公式可知

將式(5)～(7)聯(lián)立，經(jīng)過詳細(xì)推導(dǎo)化簡最終可得

其中:Ⅰ為附件未變形時(shí)整星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ΔⅠ=ΔⅠc+ΔⅠu+ΔⅠcu，為由撓性變形和整星質(zhì)心浮動(dòng)共同引起的整星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變量;，為僅由質(zhì)心浮動(dòng)引起的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變量;，為僅由撓性變形引起的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變量;，為撓性變形和質(zhì)心變化耦合作用引起的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變量;，為由撓性附件(帆板)轉(zhuǎn)動(dòng)引發(fā)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量附加項(xiàng);ΔⅠi=ΔⅠic+ΔⅠiu+ΔⅠcu，為由撓性變形和整星質(zhì)心浮動(dòng)引起的附加項(xiàng)Ⅰi的改變量，其中ΔⅠic=，為撓性附件振動(dòng)運(yùn)動(dòng)引起的整星角動(dòng)量改變量;E3為3×3單位陣;Mi為第i個(gè)撓性附件的質(zhì)量為第i個(gè)撓性附件未變形前的質(zhì)心相對于連結(jié)點(diǎn)的位置矢量;在式(8)的整個(gè)推導(dǎo)過程中沒有忽略項(xiàng).

由動(dòng)量矩定理，對式(8)兩邊求導(dǎo)，并假設(shè)ω，ωi和uik為一階小量，經(jīng)過推導(dǎo)并化簡可得

其中Ⅰi為撓性附件i的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且

式(9)即為基于質(zhì)心浮動(dòng)模型推導(dǎo)得出的衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，其中g(shù)c為與傳統(tǒng)模型相比，考慮質(zhì)心浮動(dòng)問題的新增項(xiàng).對于大型航天器，其撓性附件的質(zhì)量、尺寸都較大，若選用的附件撓性也較大，則會(huì)產(chǎn)生較大的質(zhì)心浮動(dòng)項(xiàng)，因此使得擾動(dòng)項(xiàng)gc較大.對于高精度的航天任務(wù)，采用此動(dòng)力學(xué)模型能夠更加精確地描述大撓性航天器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

3 撓性附件的動(dòng)力學(xué)模型

下面用變分原理推導(dǎo)撓性附件的動(dòng)力學(xué)方程.第i個(gè)撓性附件的動(dòng)能為

其中ψ(VT，ω)表示只含有VT和ω的項(xiàng).利用有限元分析結(jié)果將式(10)化簡可得

其中qi為第i個(gè)撓性附件的模態(tài)坐標(biāo)，Btrani、Broti分別為由有限元分析結(jié)果給出的第i個(gè)撓性附件的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)耦合系數(shù)［14］.

第i個(gè)撓性附件的應(yīng)變勢能為

其中Kik是第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的3×3剛度矩陣，Λ2i為N×N對角陣，且

其中ωiN為第i個(gè)撓性附件的第N階模態(tài)主頻率.

由撓性附件的拉格朗日函數(shù)

結(jié)合L的變分方程

可得撓性附件的運(yùn)動(dòng)方程為

若考慮撓性附件的結(jié)構(gòu)阻尼ζ，則式(11)可寫成

將式(9)、(12)聯(lián)立，即為本文所給出的建立在浮動(dòng)質(zhì)心上的帶撓性附件的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程組:

將式(13)給出的模型與文獻(xiàn)［14］中的動(dòng)力學(xué)模型相比較可知，本文給出的動(dòng)力學(xué)模型包含了系統(tǒng)質(zhì)心相對于航天器結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以直接量化給出由附件撓性振動(dòng)引起的系統(tǒng)質(zhì)心變化量，繼而可得出撓性振動(dòng)對航天器整體的動(dòng)力學(xué)特性(如系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等)的影響，同時(shí)還可用于分析撓性附件振動(dòng)對衛(wèi)星軌道、姿態(tài)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響.此外，該動(dòng)力學(xué)模型中包含了撓性附件的運(yùn)動(dòng)學(xué)項(xiàng)ωi，還可用于分析撓性附件(太陽帆板、機(jī)械臂等)的相對運(yùn)動(dòng)對航天器整體的影響.

應(yīng)指出，雖然本文的動(dòng)力學(xué)模型在推導(dǎo)過程中假設(shè)飛行器由一個(gè)中心剛體B和m個(gè)一端與其相連的撓性附件組成，但并不意味著該模型僅局限于此情況適用:當(dāng)飛行器不包含撓性附件時(shí)，可令m=0，此時(shí)該動(dòng)力學(xué)模型將退化為剛體動(dòng)力學(xué)模型;當(dāng)飛行器包含多個(gè)剛體時(shí)，可將其所有剛性部分視為一個(gè)剛性主體進(jìn)行等效.綜上，本文所建立的動(dòng)力學(xué)模型對于不同的航天器普遍適用.

4 仿真算例分析

本節(jié)應(yīng)用前述章節(jié)所建立的模型，對帶撓性附件的衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程進(jìn)行仿真，通過對仿真結(jié)果的分析，說明本文所建立的模型的優(yōu)點(diǎn).

本算例中，采用的撓性衛(wèi)星模型為單剛體主體結(jié)構(gòu)與單撓性附件組合的模式，以盡可能突出本文提出的浮動(dòng)質(zhì)心模型對飛行器實(shí)際姿軌狀態(tài)的真實(shí)反映程度，主體和附件動(dòng)力學(xué)參數(shù)的選取參照某實(shí)驗(yàn)飛行器配置指標(biāo)給出，具體參數(shù)如下:

撓性衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣和耦合矩陣分別為

振動(dòng)頻率矩陣為

Λ=diag(0.9513 5.5078 5.7617 6.8594 14.8189)(rad/s).

阻尼矩陣為

ζ=diag(0.005 0.006 0.007 0.008 0.009).

執(zhí)行機(jī)構(gòu)采用控制力矩陀螺裝置，控制律選用PD控制，衛(wèi)星的初始姿態(tài)角θ=［3015-30］T，初始姿態(tài)角速率=［0 0 0］.衛(wèi)星從t=0開始進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)，最后穩(wěn)定在目標(biāo)姿態(tài).仿真結(jié)果如圖2～5所示.

圖2 衛(wèi)星姿態(tài)角、姿態(tài)角速度變化

圖3 撓性附件各階模態(tài)變化歷程

圖2為衛(wèi)星的姿態(tài)角和角速度在機(jī)動(dòng)過程中的變化歷程，從中可看出衛(wèi)星在控制律作用下姿態(tài)機(jī)動(dòng)至指定姿態(tài)且達(dá)到穩(wěn)定，姿態(tài)指向精度可達(dá) 0.05°，姿態(tài)穩(wěn)定度優(yōu)于 0.01(°)/s，說明經(jīng)典的PID控制律能夠與浮動(dòng)質(zhì)心模型相適應(yīng)，且控制效果可以達(dá)到較高水平.

圖3為在衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)過程中撓性附件的振動(dòng)模態(tài)變化歷程，從中可以看出，在整個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中，撓性附件始終存在一定幅度的撓性振動(dòng)，其振動(dòng)幅度趨于收斂.

圖4為由附件的撓性振動(dòng)引發(fā)的衛(wèi)星質(zhì)心浮動(dòng)情況，從中可以看出，對于帶有撓性附件的衛(wèi)星，其在姿態(tài)運(yùn)動(dòng)過程中激發(fā)的撓性附件的振動(dòng)會(huì)引起整星質(zhì)心的周期性浮動(dòng)，在本算例中，質(zhì)心浮動(dòng)位移幅值接近厘米級(jí)，質(zhì)心浮動(dòng)速度幅值為毫米/秒級(jí).

圖4 質(zhì)心浮動(dòng)位移、速度變化歷程

圖5為質(zhì)心浮動(dòng)引起的擾動(dòng)力矩，即式(9)中的gc項(xiàng)，從圖中結(jié)果可以看出，在整個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中，由衛(wèi)星的質(zhì)心浮動(dòng)引起的擾動(dòng)力矩幅值的量級(jí)為10-2N·m級(jí)，在通常情況下，在軌衛(wèi)星受到的環(huán)境擾動(dòng)力矩(如重力梯度力矩、光壓力矩、地磁力矩等)的量級(jí)均在10-3N·m以下，由此可見該擾動(dòng)力矩對航天器的姿態(tài)會(huì)有較為顯著的影響.將此仿真計(jì)算結(jié)果與國內(nèi)某科研院所的在軌實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比較，結(jié)果具有一致性，由此可知該動(dòng)力學(xué)模型在實(shí)際工程應(yīng)用中也具有適用性.

圖5 質(zhì)心浮動(dòng)帶來的擾動(dòng)力矩

從仿真結(jié)果可以看出，本文給出的動(dòng)力學(xué)模型能夠準(zhǔn)確地估計(jì)撓性附件振動(dòng)對在軌衛(wèi)星質(zhì)心的浮動(dòng)影響，并可以計(jì)算出質(zhì)心浮動(dòng)對衛(wèi)星整體姿態(tài)的干擾力矩，對提高姿態(tài)控制精度具有重要意義.此外，該動(dòng)力學(xué)模型還可用于計(jì)算由這種質(zhì)心浮動(dòng)引起的各動(dòng)力學(xué)要素的改變量，如整星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變量、執(zhí)行機(jī)構(gòu)偏差量等，并由此結(jié)合衛(wèi)星具體任務(wù)的精度指標(biāo)需求，對導(dǎo)航、測量等系統(tǒng)的精度提出要求.該仿真結(jié)果與某科研院所給出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為相符，符合工程約束，具有較好的實(shí)踐性.

5 結(jié)語

針對撓性航天器動(dòng)力學(xué)問題，提出了一種建立在浮動(dòng)質(zhì)心上的動(dòng)力學(xué)模型，該模型更符合航天器在軌飛行過程中撓性附件運(yùn)動(dòng)與航天器本體姿態(tài)、軌道的動(dòng)力學(xué)耦合實(shí)際情況.應(yīng)用此模型能準(zhǔn)確計(jì)算由附件撓性振動(dòng)引起的航天器質(zhì)心相對于其結(jié)構(gòu)的浮動(dòng)位移與速度，進(jìn)而可計(jì)算得到質(zhì)心浮動(dòng)引起的航天器動(dòng)力學(xué)特性的改變.在工程上應(yīng)用該模型，能夠減小模型誤差，提高控制精度，同時(shí)可根據(jù)此模型的計(jì)算結(jié)果，對測量、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)提出要求，以滿足當(dāng)前工程任務(wù)中日益提升的精度需求.

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