蔣進科，方宗德，彭先龍

（西北工業(yè)大學機電學院，710072西安）

對角修形斜齒輪徑向剃齒設計

蔣進科，方宗德，彭先龍

（西北工業(yè)大學機電學院，710072西安）

為減小齒輪振動與噪音，設計對角修形斜齒輪齒面，根據(jù)嚙合原理推導其徑向剃齒刀齒面；根據(jù)齒條展成漸開線齒面原理，結合Y7432平面砂輪磨齒機，建立有齒向平移運動的平面砂輪磨齒CNC模型；建立基于CNC機床各軸及砂輪軸向廓形敏感性分析的齒面修正模型，各軸運動用6階多項式表示，分析0階及1階系數(shù)變化對齒面誤差的影響；通過判斷砂輪與剃齒刀齒面的接觸狀態(tài)，確定磨削齒面的誤差，以誤差平方和最小為目標函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法，得到機床各軸運動及砂輪軸向廓形參數(shù).結果表明:該算法計算結果穩(wěn)定，降低了磨削誤差；對角修形斜齒輪的徑向剃齒刀拓撲修形曲面基本為齒向反鼓形與對角修形曲面疊加；沿齒向方向的壓力角、展成運動角、螺旋角參數(shù)微調可分別實現(xiàn)一定的對角修形加工；砂輪增加齒向運動構成3軸聯(lián)動，減小了砂輪半徑，可用于磨削大螺旋角、大齒寬對角修形斜齒輪.

斜齒輪；對角修形；數(shù)控磨削；徑向剃齒；平面砂輪；敏感性分析；高階校正

斜齒輪對角修形主要用于減小嚙入嚙出沖擊和承載傳動誤差，降低傳動系統(tǒng)振動與噪音［1］，與傳統(tǒng)的齒廓、齒向修形相比，可以保證齒輪副有較高重合度和接觸區(qū)寬度，提高了承載能力，對于提高航空、航海高速齒輪系統(tǒng)的性能有重要意義.

剃齒與磨齒是先進的齒輪精加工工藝.通過剃齒、磨齒工藝可實現(xiàn)對角修形斜齒輪加工.國內外學者對剃齒技術研究取得了一定成果，剃齒在汽車制造業(yè)中已得到了廣泛應用.劉俐平等［2-4］介紹了徑向剃齒刀的齒形計算、刃磨及切削槽排列工藝.詹安東等［5］通過計算普通剃齒刀和齒輪之間齒面相對滑動速度的變化及齒面誘導法曲率的變化，分析齒形中凹現(xiàn)象原因.王素玉等［6］通過解析計算對徑向剃齒的齒形中凹現(xiàn)象進行了分析.王憲法［7］將平面砂輪修整成外錐面，磨削徑向剃齒刀，實現(xiàn)了窄斜齒輪對角修形加工，但方法尚未公開.為了減小振動與噪音，F(xiàn)uentes、Litvin等［8-9］分別設計加工修形漸開線圓柱齒輪的徑向剃齒刀、軸向剃齒刀，并進行齒面接觸分析（tooth contact analysis，TCA）仿真.

隨著三坐標測量技術及多軸數(shù)控技術的發(fā)展，對輪齒精度要求越來越高，上述傳統(tǒng)的剃齒刀齒面設計方法需要改進.

Free-Form型數(shù)控機床及基于三坐標測量的齒形拓撲誤差技術，曾應用于螺旋齒錐齒輪等復雜齒面的加工及檢測，現(xiàn)已被借鑒應用于圓柱齒輪.Liu等［10］通過分步優(yōu)化錐面砂輪錐角及砂輪軸向廓型，磨削徑向剃齒刀，加工拓撲修形圓柱齒輪；Hsu等［11-14］分析錐面砂輪參數(shù)及其安裝參數(shù)對徑向剃齒刀齒形拓撲誤差影響；此外，對徑向剃齒刀切削的平穩(wěn)性以及刀槽設計進行了優(yōu)化與分析，還分析了軸向剃齒加工鼓形齒時，機床附加鼓形機構的運動參數(shù)與工件鼓形量關系.Radzevich［15-16］根據(jù)工件拓撲修形齒面，通過一種改進的運動學方法，進行徑向剃齒刀拓撲修形齒面計算；并將該改進的運動學方法應用于成形砂輪磨削拓撲修形徑向剃齒刀時的砂輪軸向廓形參數(shù)計算，但該方法具體不詳.秦傲然等［17］給出了徑向剃齒刀齒數(shù)的計算公式、切削刃排列方式，總結了軸交角的選取與加工質量之間的關系.王沁等［18］通過優(yōu)化徑向剃齒刀拓撲修形齒面離散點的誤差最小得到磨削剃齒刀的錐面砂輪安裝參數(shù).Shih等［19］提出一種5軸聯(lián)動圓柱齒輪成形磨齒高階校正技術，建立基于5軸運動及砂輪軸向廓型的齒面誤差敏感性分析方程組，通過最小二乘法獲得機床各軸及砂輪廓型參數(shù)，其關鍵技術是齒面誤差敏感矩陣的計算及超定方程組求解，但實際上對于高精度圓柱齒輪，隨著三坐標測量齒面網(wǎng)格點數(shù)據(jù)的增加，該方程組的高度病態(tài)，其求解精度降低，工程應用受限.蔣進科、方宗德等［20-22］曾對基于敏感矩陣的多軸聯(lián)動數(shù)控磨齒求解方法進行了一定的仿真研究，主要是針對鼓形齒或可解析表達法向修形曲面的圓柱齒輪.然而，徑向剃齒刀齒面是一個中凹的扭曲雙曲面，對于加工對角修形斜齒輪齒面的徑向剃齒刀，其齒面更為復雜，必須要建立基于齒面坐標測量的徑向剃齒刀修形齒面模型與多軸數(shù)控高階磨齒加工模型，為徑向剃齒設計與制造提供理論依據(jù).

為此本文設計小輪對角修形齒面，求解其徑向剃齒刀拓撲修形量；結合Y7432平面砂輪磨齒機，建立平面砂輪磨齒CNC模型及修形砂輪軸向廓型和各軸6階多項式的齒面修正模型，對文獻［19］中的求解方法進行改進，通過粒子群（particle swarm optimization，PSO）優(yōu)化方法，得到各軸運動參數(shù)及砂輪參數(shù)，有效降低了磨削誤差.該方法可用于磨削對角修形斜齒輪徑向剃齒刀及對角修形斜齒輪，磨削剃齒刀時，砂輪固定，進行2軸聯(lián)動高階校正；磨削斜齒輪時，砂輪增加齒向運動進行3軸聯(lián)動高階校正.

1 對角修形斜齒輪設計及徑向剃齒刀拓撲修形曲面計算

1.1 對角修形齒面設計

斜齒輪對角修形區(qū)域見圖1，僅對嚙入嚙出端進行修形，中間部分不修或者少修，修形區(qū)域為△abc和△def，Ⅰ為沿接觸線上修形量相等，Ⅱ為沿接觸線修形量不相等.修形齒面位矢與法矢為

圖1 對角修形區(qū)域示意

式中:R1、n1分別為小輪理論齒面位矢、單位法矢，R1r、n1r分別為小輪修形齒面位矢，法矢；δ為修形量，u1、l1分別為漸開線齒面參數(shù).

對角修形曲面設計的關鍵是確定修形量，修形量的大小與齒輪承受的載荷及齒輪的誤差有關，理想的修形量是齒輪在進入嚙合時沒有沖擊，平穩(wěn)接觸，具體方法見文獻［23］.

1.2 徑向剃齒刀拓撲修形曲面計算

徑向剃齒的加工近似于一對相錯軸漸開線圓柱齒輪傳動，剃齒刀螺旋角與工件的螺旋角形成一個軸交角如圖2所示，僅沿工件徑向方向進給運動，剃齒刀齒面是與工件漸開線螺旋面做交錯軸嚙合的共軛齒面，根據(jù)微分幾何求解包絡面如下所示:

式中:θ1為工件轉角，θs=iθ1為剃齒刀轉角，i為傳動比；Sf、S1分別為工件參考、運動坐標系；St、Ss分別為剃齒刀參考、運動坐標系；Mst、Mtf、Mf1、Lst、Ltf、Lf1分別為從工件齒面到剃齒刀齒面位矢及法矢變換矩陣.

徑向剃齒刀齒面雖然已經(jīng)不是漸開線螺旋面，但與理論漸開線螺旋面僅差幾十μm，其法向修形量表示為

圖2 徑向剃齒安裝坐標系

2 平面砂輪CNC磨齒模型及機床運動參數(shù)計算

2.1 平面砂輪CNC磨齒模型

如圖3（a）所示，為了可以磨削大螺旋角、大齒寬斜齒輪且不至于劃傷齒根，平面砂輪模擬齒條且可以沿齒向平移運動如圖3（b）所示，砂輪展成漸開線齒面表示為

式中:rw（uw，φw）為砂輪位矢，uw、φw為砂輪參數(shù)，Rw為外徑參數(shù)，θw、aw、dw為砂輪軸向廓形修形量δw的參數(shù)；Sf、S1分別為工件參考、運動坐標系，原點在工件齒寬中部，回轉軸為x軸；Sw、Sc為平面砂輪運動坐標系及參考坐標系；Sa，Sb分別為分度圓螺旋角β與法向壓力角αn的參考坐標系；φ1為工件展成角，M1a、Mab、Mbc、Mcw為從砂輪到齒面的變換矩陣，圖3（b）中Cs為砂輪沿齒條齒向運動速度常參數(shù).

結合Y7432磨齒機，建立圖3（c）所示數(shù)控機床模型，其坐標系如圖3（d）所示，根據(jù)齒輪嚙合原理，考慮到平面砂輪邊界，磨削后的齒面位矢:

圖3 平面砂輪CNC磨齒坐標系

從傳統(tǒng)型機床向Free-Form型機床的運動等效轉換原則是保證刀具與工件的相對位置和姿態(tài)在任意時刻都相同，即 （R1=R），通過式（1）～（2）得

式中:rj為工件節(jié)圓半徑；rf為砂輪有效工作面外徑至工件軸的距離；mn為工件法向模數(shù)；C（k=x、y、z、a、b、c）為各軸運動表達式（理論齒面），可見砂輪沿齒向運動分解在展成運動軸及軸向運動軸上，當Cs=0表示砂輪固定.

2.2 平面砂輪最小半徑計算

平面砂輪與斜齒輪或徑向剃齒刀瞬時接觸線為直線.

1）磨削斜齒輪時，砂輪沿齒向運動，為了不至于劃傷齒根，其有效外徑應徑向進給到工件過度曲線，且不小于最長的瞬時接觸線長度ls，如圖3（b）所示，且

2）磨削剃齒刀時，砂輪通常固定，因此其直徑應大于法向齒寬:

修形曲面是微調加工理論齒面各軸運動及砂輪軸向廓形參數(shù)的結果，選取理論展成角φ1為各軸之間的聯(lián)系參數(shù)，實際加工中φ1為時間的線性函數(shù)，最高次數(shù)6階，修形曲面表示為

即

其中:ζ為各軸運動參數(shù)系數(shù) ζj（j= 1，…，q，q= 6×7+3= 45即a0x、a1x、…、a5c、a6c、θw、aw及dw）組成的列向量；S為齒面敏感矩陣，由網(wǎng)格節(jié)點i（i=1，…，p，p為齒面網(wǎng)格點數(shù)，取5×9=45）處各軸敏感系數(shù)組成的行向量Si構成；δ（ui，θi）為齒面網(wǎng)格節(jié)點i處修形量，通過對角修形曲面得到.

2.3 機床運動各軸參數(shù)求解

通過PSO優(yōu)化算法［24］求解式（4）超定線性方程組，可得到機床運動參數(shù)及平面砂輪修形參數(shù).徑向剃齒刀磨削屬于減材料（Ease-Off）加工，因此對砂輪是否與齒面接觸做出判斷:Siζ＜0表示平面砂輪嵌入刀具i點進行磨削；Siζ≥0表示砂輪遠離刀具i點進行磨削；以設計變量為ζi（i= 1，…，q），刀具齒面磨削誤差平方和最小為優(yōu)化目標，即

由圖5可知，修正前，研究區(qū)熱水中文石、方解石、白云石均處于過飽和狀態(tài)，白云石隨溫度升高，有向非飽和區(qū)過渡的趨勢，石英及玉髓均處于非飽和狀態(tài)；修正后，研究區(qū)熱水中礦物收斂于一個較小的范圍內，由圖可知，ZGJ02收斂于121.6 ℃～137.7 ℃的溫度區(qū)間，ZGJ04收斂于165.4 ℃～183.6 ℃的溫度區(qū)間。

磨削后的剃齒刀法向修形量、加工誤差及各軸附加運動為

其中:δC、Δδ、ΔCk為CNC磨削修形量、誤差及各軸運附加運動量，Ck、C為CNC加工修形齒面與理論齒面的各軸運動曲線，n為理論齒面單位法矢量.

3 算例與分析

標準安裝的工件、刀具參數(shù)見表1，取K1= K2=0，理論計算的剃齒刀在齒寬范圍內接觸線長度為75.3 mm.hs=2 mm時，砂輪無齒向運動，即Cs=0時，Rw＞320 mm；當砂輪沿齒向運動，且Cs=-8時，Rw＞230 mm.仿真分析如下.

表1 工件、剃齒刀基本參數(shù)

3.1 剃齒刀齒面驗證

表2為以文獻［10、11］參數(shù)為例，砂輪不同安裝參數(shù)時，磨削的徑向剃齒刀理論齒面的修形量.

表2 平面砂輪錐底角、安裝壓力角及節(jié)圓半徑對徑向剃齒刀齒面修形量影響

標準安裝的剃齒刀理論齒面為反鼓扭曲面（見（a1）），調節(jié)砂輪錐底角等于安裝壓力角后，可實現(xiàn)漸開線齒面的齒向修形（見（a2）），其與剃齒刀理論齒面誤差（見（a3））與文獻11中圖1結果一致；

非標準安裝的剃齒刀理論齒面主要為齒廓修形（見（b1）），調節(jié)砂輪錐底角與安裝壓力角后，磨削的漸開線齒面修形量見（b2），其與剃齒刀理論齒面誤差（見（b3））與文獻 10中圖10結果一致.

3.2 敏感性分析

文中僅列出部分軸的擾動誤差，用于剃齒對角修形齒面的附加運動分析.

壓力角（Ca）、展成運動（Cc）1階系數(shù)變化產生嚙入端或嚙出端對角修形（見表3（a3）、（a4）、（b3）、（b4）），其2階系數(shù)即拋物線變化將導致嚙入端與嚙出端對角修形；

砂輪錐底角、軸向廓型變化產生齒廓、齒向修形（見表3（c1）、（c2）、（c3）、（c4）），當砂輪安裝壓力角修正量等于砂輪錐底角時，則表現(xiàn)為齒向校正（見（c2））.

3.3 機床運動分析

考慮到剃齒刀結構特點及機床實際運動，取Cs=0，Rw=350 mm，除了展成運動軸進行高階校正，其余軸僅進行0階校正.某工況下斜齒輪對角修形曲面見圖4（a）.根據(jù)嚙合原理，用徑向剃齒刀剃削工件屬于二次包絡，不希望工件上出現(xiàn)嚙合界限，通過TCA分析可知，接觸線布滿整個工件齒面（見圖4（b）），剃齒效果將為良好；該對角修形斜齒輪反算的剃齒刀齒形修形量基本特征為:齒向反鼓形與對角修形曲面疊加，圖4（c1）為剃齒刀齒面比標準漸開線齒面多出的部分，圖4（c2）為留有余量的標準漸開線齒面應該去除掉的材料；優(yōu)化后的解在200代后趨于穩(wěn)定 （見圖4（d）），其中，CNC磨削后的修形曲面較為光滑（見圖4（e）），磨削誤差＜2 μm（見圖4（f））；各軸附加運動（見圖4（g））:Cx、Cy、Cz、Cb基本趨于0，表明對角修形主要由其他2個軸及修形砂輪錐底角完成加工；Ca變化為0階、其中0階系數(shù)變化引起齒厚校正見表3（a2）；將Cc變化向下平移（忽略齒厚校正，因為是在留有齒厚余量的漸開線齒面進行材料分析），則實際展成角數(shù)值上總是滯后理論展成角，即砂輪遠離嚙入（見表3 （b4））、嚙出端（見表3（b3）），因此ΔCc變化表明剃齒刀嚙入、嚙出端去除材料較少，其他部位去除材料較多，與剃齒刀修形曲面特征基本一致，各軸運動曲線如表4，徑向剃齒修形曲面主要為0階校正及1階校正.

圖4 平面砂輪CNC磨削對角修形斜齒輪徑向剃齒刀齒面優(yōu)化結果

表3 砂輪軸向廓型及機床各軸0階、1階誤差引起法向偏差（減材料分析）

表4 C N C機床各軸運動及砂輪軸向廓型曲線

4 結 論

1）設計對角修形斜齒輪齒面（工件），推導徑向剃齒刀齒面，結合Y7432磨齒機，建立有齒向平移運動的平面砂輪磨齒CNC模型.

2）建立基于修形平面砂輪軸向廓形和各軸6階校正的齒面敏感性分析校正模型，通過優(yōu)化方法，得到機床運動參數(shù)及砂輪廓形參數(shù)，有效降低了磨削誤差；展成角、壓力角及螺旋角微調可實現(xiàn)斜齒輪齒面一定的對角修形.

3）對角修形斜齒輪徑向剃齒刀齒面基本為齒向反鼓形與對角修形曲面疊加的復雜曲面，可通過修正砂輪錐角、機床壓力角及展成運動進行磨齒校正.砂輪增加齒向運動構成3軸聯(lián)動，減小了平面砂輪半徑，可應用于Y7432磨齒機3軸聯(lián)動CNC再制造，磨削大螺旋角、大齒寬對角修形斜齒輪.

［1］王憲法，李華敏.窄斜齒輪對角修形的最佳修形量計算及修形區(qū)域的選擇［J］.哈爾濱工業(yè)大學學報，1993，25（5）:62-66.

［2］劉俐平，李華敏.徑向剃齒刀切削槽的合理排列［J］.哈爾濱工業(yè)大學學報，1997，29（6）:109-111.

［3］劉俐平，李華敏.徑向剃齒刀的刃磨［J］.機械傳動，1997，21（4）:34-36.

［4］劉俐平，李華敏.徑向剃齒刀的齒形分析［J］.齒輪，1987（1）:5-9.

［5］詹東安，任濟生，王素玉，等.隨機修形剃齒刀消除剃齒齒形中凹的機理研究［J］.西安交通大學學報，1999，33（8）:45-47.

［6］王素玉，于濤，孫景友.徑向剃齒刀在機修磨原理解析［J］.計算機械工程學報，2005，41（4）:162-167.

［7］王憲法.窄斜齒輪對角修形的研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學，1992.

［8］FUENTES A，NAGAMOTO H，LITVIN F L，et al.Computerized design of modified helical gears finished by plunge shaving［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2010，199（25）:1677-1690.

［9］ LITVIN F L，F(xiàn)AN Q，VECCHIATO D，et al.Computerized generation and simulation of meshing of modified spur and helical gears manufactured by shaving ［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2001，190（39）:5037-5055.

［10］LIU J H，HUNG C H，CHANG S L.Design and manufacture of plunge shaving cutter for shaving gears with tooth modifications［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2009，43（9/10）: 1024-1034.

［11］HSU R H，F(xiàn)ONG Z H.Topographic error analysis of a gear plunge shaving cutter finished by a cone grinding wheel［J］.Journal of the Chinese Institute of Engineers，2006，29（3）:481-491.

［12］HSU R H，F(xiàn)ONG Z H.Even contact design for the plunge shaving cutter［J］.Mechanism and Machine Theory，2010，45（8）:1185-1200.

［13］HSU R H，F(xiàn)ONG Z H.Serration design for a gear plunge shaving cutter［J］.Journal of manufacturing science and engineering，2011，133（2）:1-11.

［14］HSU R H，F(xiàn)ONG Z H.Analysis of auxiliary crowning in parallel gear shaving［J］.Mechanism and Machine Theory，2010，45（9）:1298-1313.

［15］RADZEVICH S P.Design of shaving cutter for plunge shaving a topologically modified involute pinion［J］.Journal of Mechanical Design，2003，125（3）:632-639.

［16］RADZEVICH S P.Computation of parameters of a form grinding wheel for grinding of shaving cutter for plunge shaving of topologically modified involute pinion［J］.Journal ofmanufacturing science and engineering，2005，127（4）:819-828.

［17］秦傲然，蔡安江，戴融.徑向剃齒刀設計研究［J］.工具技術，2009，43（1）:70-72.

［18］王沁，賈建軍.徑向剃齒刀修形的優(yōu)化設計［J］.工具技術，2014，48（12）:54-56.

［19］SHIH Y P，CHEN S D.A flank correction methodology for a five-axis CNC gear profile grinding machine［J］.Mechanism and Machine Theory，2012，47:31-45.

［20］蔣進科，方宗德，賈海濤.對角修形斜齒輪設計與數(shù)控磨齒研究［J］.機械工程學報，2014，50（19）: 158-165.

［21］蔣進科，方宗德，蘇進展.高階傳動誤差斜齒輪修形設計與加工［J］.哈爾濱工業(yè)大學學報，2014，46 （9）:43-49.

［22］蔣進科，方宗德，蘇進展.拓撲修形斜齒輪的數(shù)控成形磨齒加工［J］.華南理工大學學報:自然科學版，2014，42（4）:97-104.

［23］蔣進科，方宗德，王峰.降低斜齒輪噪聲的對角修形優(yōu)化設計［J］.振動與沖擊，2014，33（7）:63-67.

［24］史峰，王輝，郁磊，等.Matlab智能算法30個案例分析［M］.北京:北京航空航天大學出版社，2007:55-60.

（編輯 楊 波）

Grinding plunge shaving cutter for diagonal modified helical gears

JIANG Jinke，F(xiàn)ANG Zongde，PENG Xianlong
（School of Mechaincal Engineering，Northwestern Polytechnical University，710072 Xi'an，China）

An approach based on CNC grinding machine of plunge shaving cutter for diagonal modified helical gear was proposed to reduce grinding errors and improve meshing performance.Firstly，the corresponding plunge shaving cutter surfaces for the diagonal modified helical pinion was established based on gear theory.Secondly，a free-form flank topographic correction method based on Y7432 grinding machine，with flat wheel translated along normal sections of invented rack-cutter，was established according to principle of rack-cutter generating involute pinion.Thirdly，an error correction model based on a sensitivity analysis was determined，each axis of the machine was formulated as a six-degree polynomial and a disturbed polynomial coefficient on the topographic flank errors was developed by estimating whether the wheel contacted with the pinion.Finally，using minimum squared error as the objective function to get the smallest grind errors，the PSO optimization algorithm was introduced to solve equations of the corrections，and the polynomial coefficients were ascertained.The result shows that the methods can effectively reduce the grinding error，and the topologically modified tooth for plunge cutter can be represented by sum of longitudinal and diagonal deviations surface.The slight variations in pressure angle and generating angle and helix angle can attain some specific diagonal modified tooth respectively，besides，the diagonal modified helical gear with big size and helix angle can then be efficiently ground by slightly adjusting three-axis movement with a smaller translating flat wheel.

helical gear；diagonal modified；computer numerical control（CNC）grinding；plunge shaving；flat wheel；sensitivity analysis；higher-order correction.

TH133

A

0367-6234（2015）05-0063-08

10.11918/j.issn.0367-6234.2015.05.011

2014-01-10.

國家自然科學基金（51175423，51375384）.

蔣進科（1981—），男，博士研究生；

方宗德（1948—），男，教授，博士生導師.

方宗德，fauto@nwpu.edu.cn.