金堅(jiān)帥, 倪仁興

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004; 2.紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,浙江 紹興 312000)

Banach空間中一簇依中間意義漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像和平衡問題的強(qiáng)收斂定理*1

金堅(jiān)帥1,2, 倪仁興2,1

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004; 2.紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,浙江 紹興 312000)

在嚴(yán)格凸、一致光滑且具Kadec-Klee性質(zhì)的Banach空間中,用混合方法建立了一無限簇依中間意義漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像和含松弛η-α-單調(diào)映像的混合平衡問題的強(qiáng)收斂定理.所得結(jié)論推廣了近期文獻(xiàn)中的一些已知結(jié)果.

依中間意義漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像;廣義投影;平衡問題;松弛η-α-單調(diào);不動(dòng)點(diǎn)

0 引 言

設(shè)C是實(shí)Banach空間E中的一非空閉凸子集,E*是E的對偶空間.對任意的x∈E和x*∈E*,記x*在x的值為〈x,x*〉.記實(shí)數(shù)集和非負(fù)整數(shù)集分別為R和N.2003年,文獻(xiàn)[1]引入了松弛η-α-單調(diào)映像的概念.對映像A:C→E*，若存在映像η:C×C→E,泛函α:E→R滿足對任意t>0,z∈E,有α(tz)=tpα(z),其中p是大于1的常數(shù),且對任意x,y∈C,有〈Ax-Ay,η(x,y)〉≥α(x-y)，則稱映像A為松弛η-α-單調(diào).最近,文獻(xiàn)[2]研究了一種新的混合平衡問題:尋找x∈C,使得

式(1)中:Θ是C×C到實(shí)數(shù)集R的二元函數(shù);f是C到R∪{+∞}的真凸函數(shù);A是C到E*的一個(gè)松弛η-α-單調(diào)映像;η是一個(gè)C×C到E的映像.問題(1)的解集記為EP(Θ,A),即

EP(Θ,A)={x∈C|Θ(x,y)+〈Ax,η(y,x)〉+f(y)-f(x)≥0, ?y∈C}.

易見,混合平衡問題(1)包含了最優(yōu)化問題、最大最小問題、變分不等式問題等[3-4].2012年,文獻(xiàn)[5]在嚴(yán)格凸、一致光滑且具Kadec-Klee性質(zhì)的Banach空間中,構(gòu)造了如下算法:

受上述工作的啟發(fā),本文在嚴(yán)格凸、一致光滑且具Kadec-Klee性質(zhì)的Banach空間框架中,利用混合方法,證明了一依中間意義漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像無限簇和含松弛η-α-單調(diào)映像的混合平衡問題的強(qiáng)收斂結(jié)果.所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[2,5-8]等中的相應(yīng)結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)E是一實(shí)Banach空間,E上的正規(guī)對偶映像J:E→2E*定義為Jx={x*∈E*:〈x,x*〉=‖x‖2=‖x*‖2},?x∈E.設(shè)E是一光滑Banach空間.定義泛函φ:E×E→R:φ(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,?x,y∈E.由φ的定義易得

定義1[9]若F(T)≠?,且φ(p,Tx)≤φ(p,x),?x∈C,p∈F(T),則稱T為擬-φ-非擴(kuò)張映像.

定義2[10]若F(T)≠?,且φ(p,Tnx)≤(1+μn)φ(p,x),?x∈C,p∈F(T),n≥1,其中序列{μn}?[0,∞)滿足μn→0,n→∞,則稱T為漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像.

注11)漸近擬-φ-非擴(kuò)張類映像是擬-φ-非擴(kuò)張類映像的推廣;

定義3若F(T)≠?,且

則稱T為依中間意義漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像.

注2依中間意義漸近擬-φ-非擴(kuò)張類映像是依中間意義漸近擬非擴(kuò)張類映像[14]在Banach空間框架中的推廣.

為解決混合平衡問題(1),需假設(shè)Θ:C×C→R滿足下列條件:

(C1)對任意的x∈C,Θ(x,x)=0;

(C2)Θ是單調(diào)的,即對任意的x,y∈C,Θ(x,y)+Θ(y,x)≤0;

為證明本文的主要結(jié)果,需下面一些引理:

引理1[15]設(shè)E是一光滑的Banach空間,C是E的一非空閉凸子集.若x∈E,x0∈C,則

x0=ΠCx?〈x0-y,Jx-Jx0〉≥0, ?y∈C.

引理2[15]設(shè)E是一光滑、嚴(yán)格凸、自反的Banach空間,C是E的一非空閉凸子集,x∈E,則

φ(y,ΠCx)+φ(ΠCx,x)≤φ(y,x), ?y∈C.

引理3設(shè)E是一致光滑、嚴(yán)格凸和具Kadec-Klee性質(zhì)的Banach空間,C是E的一非空閉凸子集,T:C→C是一閉的依中間意義漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像,則F(T)是C中一閉凸子集.

證明F(T)的閉性由T的閉性很容易得出.下面主要證明F(T)是C中的凸子集.事實(shí)上,?p,q∈F(T),t∈(0,1),令w=tp+(1-t)q,由φ的定義得

0≤φ(w,Tnw)=‖w‖2-2〈w,JTnw〉+‖Tnw‖2=

‖w‖2+tφ(p,Tnw)+(1-t)φ(q,Tnw)-t‖p‖2-(1-t)‖q‖2≤

‖w‖2+t[φ(p,w)+ξn]+(1-t)[φ(q,w)+ξn]-t‖p‖2-(1-t)‖q‖2=

2‖w‖2-2〈w,Jw〉+ξn=ξn.

‖w‖2-2〈w,e*〉+‖e*‖2=‖w‖2-2〈w,Je〉+‖Je‖2=

‖w‖2-2〈w,Je〉+‖e‖2=φ(w,e).

注3注意到漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像必是依中間意義漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像,反之不然,故引理3是文獻(xiàn)[5]引理2.3中僅對漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像成立的結(jié)果的本質(zhì)推廣.

引理5[2]設(shè)E是一嚴(yán)格凸的、一致光滑的Banach空間,而C是E的一非空閉凸子集,A:C→E*是一η-次連續(xù)的松弛η-α-單調(diào)映像,二元函數(shù)Θ:C×C→R滿足條件(C1),(C2)和(C4),f:C→R∪{+∞}是一下半連續(xù)的真凸函數(shù).設(shè)r>0,對任意x∈E,定義映像Tr:E→C為

假設(shè)

i)對任意x,y∈C,η(x,y)+η(y,x)=0;

ii)對任意給定的u,v∈C,映射x|→〈Av,η(x,u)〉是凸的、下半連續(xù)的;

iii)α:E→R是弱下半連續(xù)的,即對任意的網(wǎng){xβ},xβ在σ(E,E*)上收斂于x,推得α(x)≤lim infα(xβ);

iv)對任意x,y∈C,α(x-y)+α(y-x)≥0;

v)對任意z1,z2,y∈C和t∈[0,1],

〈A(tz1+(1-t)z2),η(y,tz1+(1-t)z2)〉≥t〈Az1,η(y,z1)〉+(1-t)〈Az2,η(y,z2)〉.

則下列結(jié)論成立:

1)Tr是單值的;

2)Tr是一強(qiáng)非擴(kuò)張型映像,即對任意x,y∈E,有〈Trx-Try,JTrx-JTry〉≤〈Trx-Try,Jx-Jy〉;

3)F(Tr)=EP(Θ,A);

4)Tr是擬-φ-非擴(kuò)張映像,且對任意w∈F(Tr)和x∈E,有φ(w,Trx)+φ(Trx,x)≤φ(w,x);

5)EP(Θ,A)是閉凸的.

2 主要結(jié)論

證明 分8步來證明定理1.

2)證明Cn(n∈N)是閉凸集.由C0=C知C0是閉凸的.假設(shè)對h≥1,Ch是閉凸的,下證Ch+1也是閉凸的.由構(gòu)造可得Ch+1是閉集,因此只需證明Ch+1的凸性.事實(shí)上,對?a1,a2∈Ch+1,有a1,a2∈Ch,且

由φ(x,y)的定義知,對?t∈(0,1),有

由Ch是凸的知,ta1+(1-t)a2∈Ch.注意到式(7)等價(jià)于

因此,Ch+1是凸的,從而Cn(n∈N)是閉凸集.

3)證明對任意n∈N,F?Cn,從而序列{xn}是良定的.顯然,F?C0=C,假設(shè)F?Ch.由引理5中的4)知Trn是擬-φ-非擴(kuò)張的.又對?i≥1,Ti是依中間意義漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像,所以對?w∈F?Ch,有

因此，w∈Ch+1.這表明對任意n∈N,F?Cn.

(8)

4)證明序列{xn}有界.由序列{xn}的定義及引理2知,對?w∈F?Cn,有

φ(xn,x0)=φ(ΠCnx0,x0)≤φ(w,x0)-φ(w,ΠCnx0)≤φ(w,x0).

因此，φ(xn,x0)有界.由式(2)可知{xn}有界,從而由Ti:C→C的依中間意義漸近擬-φ-非擴(kuò)張映像的定義可得{Tnixn}也有界.

5)證明當(dāng)n→∞時(shí),xn→x*.因?yàn)镋是一致光滑Banach空間,所以E*是一致凸Banach空間且E是自反的.這樣由{xn}有界,可設(shè)xn?x*.注意到Cn是閉凸的,可知x*∈Cn.這樣由xn=ΠCnx0可得φ(xn,x0)≤φ(x*,x0).利用‖5‖的弱下半連續(xù)性,有

由E具Kadec-Klee性質(zhì)得,xn→x*,n→∞.

故{φ(xn,x0)}是單調(diào)不減的有界序列,從而φ(xn,x0)的極限存在.由引理2有

由此得

而xn+1=ΠCn+1x0∈Cn+1?Cn,所以

又由式(3)有

結(jié)合式(12)和式(13)得

0≤φ(xn+1,un)≤[φ(xn+1,xn)+φ(xn,Sxn)+2〈xn+1-xn,Jxn-JSxn〉]+φ(xn+1,xn)+ξn≤

2φ(xn+1,xn)+φ(xn,Sxn)+2‖xn+1-xn‖‖Jxn-JSxn‖+ξn.

所以{Jun}有界.由于E和E*都是自反的,所以不妨設(shè)Jun?u*∈E*.由E是自反的,有J(E)=E*.可推得存在u∈E,使得Ju=u*.注意到

φ(xn+1,un)=‖xn+1‖2-2〈xn+1,Jun〉+‖un‖2=‖xn+1‖2-2〈xn+1,Jun〉+‖Jun‖2,

0≥‖x*‖2-2〈x*,u*〉+‖u*‖2=φ(x*,u).

un→x*,n→∞.

由于‖xn-un‖≤‖xn-x*‖+‖x*-un‖,所以

由于J在任意有界子集上一致范-范連續(xù),因此

另一方面,

φ(w,xn)-φ(w,un)=‖xn‖2-‖un‖2-2〈w,Jxn-Jun〉≤

‖xn-un‖(‖xn‖+‖un‖)+2‖w‖‖Jxn-Jun‖.

由式(15)和式(16)得

所以{JSxn}有界.由于E和E*都是自反的,所以不妨設(shè)JSxn?v*∈E*.由E是自反的,有J(E)=E*.可推得存在v∈E,使得Jv=v*.注意到

φ(xn,Sxn)=‖xn‖2-2〈xn,JSxn〉+‖Sxn‖2=‖xn‖2-2〈xn,JSxn〉+‖JSxn‖2,

0≥‖x*‖2-2〈x*,v*〉+‖v*‖2=φ(x*,v).

上意指x*=v,有v*=Jx*,可得JSxn?Jx*∈E*.由于E*具Kadec-Klee性質(zhì),結(jié)合式(18)可得

再由J-1:E*→E的次連續(xù)性和E具Kadec-Klee性質(zhì),得到Sxn→x*,n→∞.由于‖xn-Sxn‖≤‖xn-x*‖+‖x*-Sxn‖,所以

由于J在任意有界子集上一致范-范連續(xù),所以

另一方面,

φ(w,xn)-φ(w,Sxn)=‖xn‖2-‖Sxn‖2-2〈w,Jxn-JSxn〉≤

‖xn-Sxn‖(‖xn‖+‖Sxn‖)+2‖w‖‖Jxn-JSxn‖.

由式(20)和式(21)得

并由條件E為一致光滑可得E*必為一致凸的.這樣,由式(8)和引理4,對任意的w∈F,有

因此,αn0αnig(‖JSxn-JTnixn‖)≤αn0[φ(w,Sxn)-φ(w,xn)]+[φ(w,xn)-φ(w,un)]+ξn.

從而

注意到‖JTnixn-Jx*‖≤‖JTnixn-JSxn‖+‖JSxn-Jx*‖,并由式(19)和式(23)得

注意到‖Tn+1ixn-x*‖≤‖Tn+1ixn-Tnixn‖+‖Tnixn-x*‖,并由Ti的漸近正則性和式(25)得

φ(un,yn)=φ(Trnyn,yn)≤φ(w,yn)-φ(w,Trnyn)≤

αn0[φ(w,Sxn)-φ(w,xn)]+[φ(w,xn)-φ(w,un)]+ξn.

運(yùn)用前述相同的方法,可得

yn→x*,n→∞.

由于‖un-yn‖≤‖un-x*‖+‖x*-yn‖,所以

由于J在任意有界子集上一致范-范連續(xù),所以

注意到

由條件(C2)和引理5的條件i)可得

〈Aun,η(un,y)〉+f(un)-f(y)+Θ(y,un), ?y∈C.

(27)

因?yàn)閞n≥k>0,?n≥1,所以由條件(C4)和引理5的條件ii),式(26)和式(27)得

0≥〈Ax*,η(x*,y)〉+f(x*)-f(y)+Θ(y,x*), ?y∈C.

對任意0

由條件(C1),(C4),引理5的條件i),ii),f的凸性,式(28)得

0=Θ(yt,yt)+〈Ax*,η(yt,yt)〉+f(yt)-f(yt)≤

t[Θ(yt,y)+〈Ax*,η(y,yt)〉+f(y)-f(yt)]+(1-t)[Θ(yt,x*)+

〈Ax*,η(x*,yt)〉+f(x*)-f(yt)]≤t[Θ(yt,y)+〈Ax*,η(y,yt)〉+f(y)-f(yt)].

即Θ(yt,y)+〈Ax*,η(y,yt)〉+f(y)-f(yt)≥0.設(shè)t↓0+,由條件(C3)、定理5的條件vi)和f的下半連續(xù)性得Θ(x*,y)+〈Ax*,η(y,x*)〉+f(y)-f(x*)≥0,?y∈C.因此,x*∈EP(Θ,A).從而x*∈F.

8)證明x*=ΠFx0.因?yàn)閤n=ΠCnx0,所以由引理1得〈xn-z,Jx0-Jxn〉≥0,?z∈Cn.由F?Cn知

〈xn-w,Jx0-Jxn〉≥0, ?w∈F.

在上式中令n→∞,得

〈x*-w,Jx0-Jx*〉≥0, ?w∈F.

由引理1有x*=ΠFx0.定理1證畢.

1)對映像從一簇?cái)M-φ-非擴(kuò)張拓廣至一簇依中間意義的漸近擬-φ-非擴(kuò)張;

2)對Banach空間從需一致凸和一致光滑減弱至僅需一致光滑、嚴(yán)格凸且具Kadec-Klee性質(zhì).

值得指出的是,定理1還多方面改進(jìn)或推廣了文獻(xiàn)[2,7-8]等中的相應(yīng)結(jié)果.

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(責(zé)任編輯 陶立方)

Strongconvergencetheoremsforaninfinitefamilyofasymptoticallyquasi-φ-nonexpansivemappingsintheintermediatesenseandequilibriumproblemsinBanachspaces

JIN Jianshuai1,2, NI Renxing2,1

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China; 2.DepartmentofMathematics,ShaoxingUniversity,ShaoxingZhejiang312000,China)

Via using the hybrid method, strong convergence theorems were established for an infinite family of asymptotically quasi-φ-nonexpansive mappings in the intermediate sense and mixed equilibrium problems with a relaxedη-α-monotone mapping in a strictly convex and uniformly smooth Banach space with the Kadec-Klee property. The results presented extended and improved some recent known results.

asymptotically quasi-φ-nonexpansive mapping in the intermediate sense; generalized projection; equilibrium problem; relaxedη-α-monotone; fixed point

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.02.007

2014-11-07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10971194);浙江省教育廳科研項(xiàng)目(Y201122300)

金堅(jiān)帥(1990-),男,浙江嵊州人,碩士研究生.研究方向:數(shù)值分析;非線性泛函分析.

倪仁興.E-mail: nrx1964@163.com

O177.91

A

1001-5051(2015)02-0163-09