謝鑫鵬 ，趙道致，劉永軍

（軍事交通學院1a.軍用車輛系；1b.軍用物流系，天津 300161；2.天津大學 管理與經(jīng)濟學部，天津 300027）

收益共享寄售契約是指在產(chǎn)品未被零售商出售前，產(chǎn)品的所有權(quán)歸制造商所有，零售商只在售出產(chǎn)品時才按事先約定好分享比例向制造商支付費用的一種契約形式。隨著低碳經(jīng)濟的到來，大型制造類企業(yè)在面對政府碳排放規(guī)制時需要投資減排，以便使自身總的碳排放量小于政府規(guī)定的上限；同時，隨著消費者低碳意識的形成，產(chǎn)品的低碳程度將會形成客戶價值的組成部分。投資減排無形地會增加消費者對低碳產(chǎn)品的需求。低碳時代的上述變化必將深深地影響消費者的消費觀念，進而改變供應鏈企業(yè)的成本構(gòu)成和盈利模式。作為由上游制造商和下游零售商組成供應鏈寄售系統(tǒng)的主導方，零售商如何通過設(shè)計收益共享寄售契約來促使制造商增加減排投資額就成為一個值得研究的問題。

1 文獻綜述

供應鏈寄售模型的研究首先應對報童模型進行介紹。Whitin[1]首次將報童問題模型化。Mills[2]通過將平均需求看作零售價格的函數(shù)簡化了模型。由于時間競爭觀念[3]不斷加強，使得產(chǎn)品生命周期不斷減小，報童問題的研究逐步興起。Petruzzi[4]就指出，存在隨機需求易逝品問題的核心是單周期的存儲問題。

隨后，越來越多學者研究報童模型的供應鏈契約設(shè)計問題。Gérard[5-6]較全面地分析和比較了主要的契約形式。王迎軍[7]對單方?jīng)Q策和聯(lián)合決策環(huán)境下，供應鏈契約理論和方法進行了綜述。還有些研究對象集中在不存在中間轉(zhuǎn)移價格的寄售模型上。Giannoccaro[8]研究結(jié)果表明，所建模型能夠提升系統(tǒng)效率。Wang[9]通過建立供應鏈寄售模型得到最優(yōu)值并分析了其與需求價格彈性系數(shù)和成本分成比例間的敏感性。在此基礎(chǔ)上，邱若臻[10]建立了存在缺貨成本的供應鏈收入共享契約的隨機期望模型。Yao[11]研究了由1個提供收益共享契約的主導方和2個相互競爭方組成的供應鏈系統(tǒng)。之后，有些學者專注于收益分享比例的研究。王勇[12]研究了需求具有價格敏感性的供應鏈利潤共享合約問題。Veen[13]討論了收入共享契約下，供應鏈成員的共贏性問題。Li[14]建立了一個由決策價格和庫存的單一供應商和決策分享比例的零售商組成的供應鏈系統(tǒng)。van der Rhee[15]則設(shè)計了一種新型的收益共享契約來協(xié)調(diào)多級供應鏈系統(tǒng)。李丹[16]考慮了不對稱信息條件下兩級供應鏈中收益共享寄售系統(tǒng)的協(xié)調(diào)問題等。

上述有關(guān)報童問題的供應鏈收益共享契約大多是以零售價格和庫存為決策變量，而本文是在上述文獻基礎(chǔ)上設(shè)定低碳產(chǎn)品庫存和減排水平為決策變量，同時根據(jù)相關(guān)研究成果[17-20]，考慮產(chǎn)品低碳程度對消費者需求影響來建立供應鏈寄售契約模型的。

2 模型建立

本文考慮由上游單一供應商和下游單一零售商組成的寄售供應鏈系統(tǒng)，且供應商為受到政府排放規(guī)制的大型制造類企業(yè)，它需通過減排來實現(xiàn)碳排放總量的降低，而零售商負責將低碳產(chǎn)品賣出從而獲得部分利潤。此外，供應商投資減排會影響低碳產(chǎn)品價格p，并假設(shè)隨減排水平τ而線性增加。即

式中：p0為減排前產(chǎn)品價格；k為價格隨減排水平變化的敏感系數(shù)，即為關(guān)于減排水平的加價率。

考慮到消費者低碳產(chǎn)品需求受價格和減排水平雙重影響，且與需求均為線性關(guān)系。因此需求最終是減排水平的函數(shù)。即

式中：l為低碳產(chǎn)品的市場容量；m為需求相對價格的敏感系數(shù)；n為需求相對減排水平的敏感系數(shù)。并假設(shè)l＞mp0，n＞mk，即減排對需求的正效用大于價格對需求的負效用。

由式（2）可知，消費者對低碳產(chǎn)品的需求D是其減排水平τ的線性函數(shù)。同時，考慮到易逝品單周期內(nèi)需求的不確定性，由此，低碳產(chǎn)品的需求函數(shù)D最終可表示為

式中：y（τ）=a+bτ是確定性需求函數(shù)；而ε是一個隨機變量，假設(shè)其概率分布和概率密度函數(shù)分別為F（ε），f（ε），且有E（ε）=μ?？紤]到分布函數(shù)區(qū)間在[A，B]中有效，且B＞A≥0。并定義

表示需求分布損失率函數(shù)。

此外，假設(shè)供應商生產(chǎn)低碳產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本為cm，零售商的單位產(chǎn)品運營成本為cr，則c=cm+cr即為產(chǎn)品總成本。不妨設(shè)α=cr/c為零售商成本占有率；1-α=cm/c為供應商成本占有率。為簡化起見，假定在銷售季節(jié)后未賣出的產(chǎn)品不存在殘余價值和銷毀成本。并且如果產(chǎn)品短缺，在銷售收入沒有損失的情況下，不考慮附加懲罰成本。上述關(guān)于殘余價值和銷毀成本的假設(shè)不僅不影響后面的分析，而且這種情況在現(xiàn)實生活中也是常見的。

為了最大化期望利潤，集中情況下，必須同時對產(chǎn)品的減排水平τ和產(chǎn)量q做決策。并且這一決策要在實際需求之前做出，即決策者對低碳產(chǎn)品的市場需求情況是不了解的。令Πc（q，τ）表示集中決策下，

供應鏈的期望利潤。即

式中，S（q，τ）為期望銷售額。即

pE[min｛q，y（τ）+ε）]=R（q，τ）則表示在這一銷售季節(jié)內(nèi)的期望銷售收益；由于本文不考慮未售出產(chǎn)品的殘余價值（即s=0），故有

此外，還要考慮到供應商要面臨政府碳排放量的規(guī)制，需要投入資金減排。假設(shè)減排投資額是關(guān)于減排水平的二次函數(shù)，即[17]

且有g(shù)′（τ）=φτ＞0且g″（τ）=φ＞0，這說明，要想達到高的減排水平必須投入更多的資金。然而，部分減排成本由零售商為其承擔。即零售商在分享供應商銷售收益同時需按相同比例分享減排成本。

由此可得整個供應鏈的利潤為

由于本文所考慮低碳產(chǎn)品需求是受減排水平和隨機因子綜合影響的，區(qū)別于傳統(tǒng)意義上的報童模型[5-6]對許多問題的研究。故借助文獻[18-19]中的方法，作如下變換：

令z≡q-（a+bτ），代入可得

由此可得低碳供應鏈利潤函數(shù)為

3 模型求解分析

3.1 集中決策下最優(yōu)值

上述分析可知集中決策下，求解Πc（q，τ）最大化問題就變?yōu)榍蠼猞癱（z，τ）最大化問題。具體求解過程：供應鏈整體先根據(jù)預期決策低碳產(chǎn)品產(chǎn)量z*，后對給定的任何z*決策最優(yōu)減排水平τ*，目標是使得供應鏈整體利潤Πc（z，τ）最大化。根據(jù)逆向求解法，對于任意的z，求供應鏈利潤Πc（z，τ）對減排水平τ的一階偏導數(shù)，可得

進一步求得集中決策下最優(yōu)減排水平（z）對z的一階導數(shù)，得

由此可得結(jié)論1。

結(jié)論1低碳產(chǎn)品訂購量越大，供應商減排動機越強，所得產(chǎn)品越低碳，但減排水平隨產(chǎn)量增加的幅度是遞減的。

證明由于1-Λ′（z）=1-F（z）＞0，故。說明減排水平τ是z的單調(diào)遞增函數(shù)；同時，一階導數(shù)隨著Λ′（z）的增加而減少。當Λ′（z）=0（即q=a+bτ，隨機需求為0）時，任何一個微小需求的增量都會使供應商提高減排力度，此時其線性關(guān)系為；而當Λ′（z）=1時，隨機需求部分已增加到極限值，減排水平將不隨隨機需求增加而變化。 證畢

下面求解z*。將式（11）代入式（9），可得

求上式對z一階偏導數(shù)并經(jīng)化簡，得

的值。詳細過程可參考文獻[22]中結(jié)論2的證明。由此可得結(jié)論2

結(jié)論2若損失率函數(shù)h（z）滿足h（z）2+h′（z）≥0，則

即函數(shù)H（z）相對z是單峰的，（）存在且唯一（當z=且滿足φ＞2bk條件時）。

證明由集中決策下，供應商利潤Πc（z）對z一階導數(shù)，得

可定義函數(shù)

由于

求H（z）對z一階導數(shù)，得

由結(jié)論1可知

因此，當滿足h（z）2+h′（z）≥0時，最優(yōu)值z*為

至此，求得集中決策下最優(yōu)值為式（11）、（15）。再由式（11）求得

將式（11）、（16）代入式（9），可得集中決策下供應鏈最優(yōu)利潤為

3.2 分散決策下最優(yōu)值

分散決策下，供應商投資減排并委托零售商出售產(chǎn)品。由于零售商售出低碳產(chǎn)品會增加銷量，進而提高了銷售收入，故其將與供應商簽訂收益分享契約。契約規(guī)定：對售出單個產(chǎn)品所得的收益，零售商按r比例獲??；同時，零售商也承擔部分減排成本。此時，供應商依舊對減排水平τ和產(chǎn)量q決策；而零售商決定收益分成比例r。

（1）供應商的最優(yōu)決策。供應商的利潤函數(shù)為

而零售商由于分擔減排投資，故其利潤函數(shù)為

由式（18）可知，當收益分享比例和成本分成系數(shù)均為0時，即r=α=0，供應商的利潤函數(shù)就是集中決策下整個供應鏈的利潤函數(shù)。

零售商給定收益分享比例r后，供應商再決策產(chǎn)品減排水平及產(chǎn)量（τd，zd）。并且供應商先決策產(chǎn)量zd，后決策減排水平τd。根據(jù)逆向求解法，對于任意zd，求供應商利潤函數(shù)對減排水平τd一階偏導數(shù)，并令其等于0（由于其二階導數(shù)小于0）。得

由此可得結(jié)論3。

結(jié)論3當零售商分享減排成本時，最優(yōu)減排水平相對隨機變量的變化率與收益分享比例r無關(guān)；當零售商不分享減排成本時，分享比例大小將直接影響供應商的減排動機，較低分享比例會促進供應商加大減排投資。

證明由于故可得當零售商分享減排成本時，最優(yōu)減排水平相對隨機變量的變化率與收益分享比例r無關(guān)，這與集中決策情況相同；若考慮供應商承擔所有減排成本，則

這說明，當零售商不承擔減排成本時，最優(yōu)減排水平隨收益分享比例r的變化率有所降低；并隨著0＜r＜1不斷增大將不斷減小，即隨著分享比例的不斷提高，減排水平對隨機需求的敏感系數(shù)會不斷下降。 證畢

同理，將式（20）代入供應商利潤函數(shù)，可得

求式（21）對z一階偏導數(shù)并經(jīng)化簡，得

參考結(jié)論2，可得結(jié)論4。

結(jié)論4若滿足h（z）2+h′（z）≥0，則，）存在且唯一，并有?2Πd，M（z）/?z2＜0（當z=且滿足φ＞2bk條件時）。結(jié)論4的證明過程可參考結(jié)論2的證明過程，這里不再贅述。

結(jié)論4說明，當z∈（A，B）時，存在z*使得Πd，M（z）達到最優(yōu)。令?Πd，M（z）/?z=0，解得

至此已求得分散決策下，供應商的最優(yōu)決策變量。根據(jù)以上結(jié)論可得推論1。

推論1比較集中決策和分散決策的最優(yōu)決策變量可以看出，對于任意的0＜r＜1，0＜α＜1，當且僅當r=α時，有。并依據(jù)結(jié)論4可知，（）存在且唯一。這說明，當分享比例和成本分成系數(shù)滿足上述關(guān)系時，能夠使分散決策下的最優(yōu)決策變量等于集中決策下的最優(yōu)變量，即低碳供應鏈可通過契約協(xié)調(diào)達到集中決策下的最優(yōu)值；而當減排成本完全由供應商一方承擔時，對任意0＜r＜1，0＜α＜1，均有≠（），此時無論（r，α）滿足什么條件均不能協(xié)調(diào)供應鏈以使決策變量達到集中決策下的最優(yōu)。

由此可得最優(yōu)解滿足

結(jié)論5若損失率函數(shù)h（z）滿足h（z2）+h′（z）≥0，則zd，M（r）是收益分享比例r的減函數(shù)。

結(jié)論6若損失率函數(shù)h（z）滿足h（z）2+h′（z）≥0，則τd，M（r）是收益分享比例的r的減函數(shù)。

證明求式（23）對收益分享比例r的一階導數(shù)并將代入，可得

結(jié)合結(jié)論4，可得

由此可得結(jié)論5。

同樣，變換式（23），得

求其對分享比例r一階導數(shù)，可得

式中，Ξ（z）≡h（z）/F（z）。

由于τd，M（r）和zd，M（r）均為r的減函數(shù)，故易得qd，M（r）也為r的減函數(shù)。由此可得推論2。

推論2若損失率函數(shù)h（z）滿足條件h（z）2+h′（z）≥0，則qd，M（r）是收益分享比例r的減函數(shù)。

至此，結(jié)論5、6及推論2說明，供應商給零售商的分享比例越低，供應商減排投資的積極性越高，低碳產(chǎn)品產(chǎn)量也越多；反之，供應商減排投資的積極性越低，低碳產(chǎn)品產(chǎn)量也越少。下面給出結(jié)論7。

結(jié)論7分散決策時，收益分享比例r應滿足

零售商才能促使供應商投資減排并獲得一定收益。

證明由于供應商減排水平τ和變量z均隨收益分享比例r增加而減少，故當減排水平和產(chǎn)量均較小時，分享比例較高；而當其均較大時，分享比例較低。若取臨界值，即當（z=A）∩（τ=0）時，r=r+；而當（z=B）∩（τ=1）時，r=r-。根據(jù)式（20）、（23），設(shè)定零售商收益分享比例的上下限分別為

即當零售商的分享比例取下確界r-時，供應商的減排水平為τ+=1，產(chǎn)量為q*=a+b+B；而當零售商的分享比例取上確界r+時，供應商的減排水平為τ-=0，產(chǎn)量為q-=a+A。由此可得結(jié)論7。證畢

（2）零售商的最優(yōu)決策。對給定收益分享比例r，供應商最優(yōu)決策（）滿足式（20）、（23）。將其代入式（19）并經(jīng)化簡，可得零售商利潤函數(shù)為

求式（25）對分享比例r的一階導數(shù)并經(jīng)化簡，可得

下面求解使零售商利潤最大化的分享比例r，不妨先給出結(jié)論8。

結(jié)論8若損失率函數(shù)滿足dh（z）/d（z）＞0，則零售商利潤函數(shù)Πd，R（r）在分享比例滿足

時取得唯一最優(yōu)值。

證明為了分析零售商利潤函數(shù)Πd，R（r）對分享比例r的凹凸性，不妨設(shè)函數(shù)

同理，將結(jié)論7中分享比例上限r(nóng)+=1-及z=A代入式（26），可得

上式中，由于p0＞0，故

又因為

所以

時，dΠd，R（r）/dr會改變正負號。為了進一 步判斷Πd，R（r）在中是否單峰，可將式（26）作變換：

式中：

而下面要證明P（r，z）是r的減函數(shù)。

求P（r，z）對z一階導數(shù)，可得

由式（28）可知，當

時，有

同時得到：

已得P（r，z）是r的減函數(shù)且K（r）是r的增函數(shù)，故[P（r，z）-K（r）]是分享比例r的減函數(shù)，從而得出Πd，R（r）在是單峰的，即可得唯一最優(yōu)值（r）。由此得結(jié)論8。證畢

針對兩區(qū)間不同的劃分界限，可得推論3。

推論3結(jié)合結(jié)論7、8可知，促使供應商減排和能使零售商取得極大值的2個分享比例范圍的右邊界相同，而左邊界不同，且其差值取決于加價率k及減排效率φ的大小。

經(jīng)過簡單計算，當

說明能使零售商取得最大化利潤的分享比例范圍小于促使供應商投資減排的分享比例范圍，此時零售商為取得利潤最大化而決策的任何分享比例均會促使供應商減排投資；反之則說明零售商取得利潤最大化的分享比例范圍大于促使供應商投資減排的利潤分享比例范圍。即出現(xiàn)零售商取得最大利潤而供應商不投資減排，進而其間契約終止的情況。

針對零供兩主體間的利潤分配問題，可得推論4。

推論4由推論1知，當r=a時，分散決策下零供兩主體利潤和與集中決策相等，即

但由結(jié)論7可知r*＞cα/p0是零售商取得利潤最大化的分享比例下界，因此，當分享比例滿足cα/p0＜r*＜α時，存在零售商利潤最大化但以低比例分享最優(yōu)利潤的情況；由于

若令β為分散決策零售商占供應鏈總利潤的比例，即，則若，有Πd，R（r*）＜，進而得到；反之，若，有，進而得到

推論4說明，當最優(yōu)分享比例滿足條件α＜r*＜1-[（1-α）c/p0]時，零售商會分享更多供應鏈總利潤；當最優(yōu)分享比例滿足條件cα/p0＜r*＜α時，供應商會分享更多供應鏈總利潤；而當r*=α時，供應鏈達到協(xié)調(diào)。

4 數(shù)值分析

驗算過程假設(shè)隨機變量ε在[0，10]服從均勻分布，期望均值μ=E（ε）=5，且失效率函數(shù)h（ε）=1/（B-z），滿足

減排前產(chǎn)品價格P0=10，單位生產(chǎn)成本c=6，市場容量為a=100，減排后產(chǎn)品加價率為k=2，減排邊際成本φ=500。則有

通過設(shè)定不同減排水平對低碳產(chǎn)品需求的敏感系數(shù)b，來觀測其是如何影響決策變量及主體利潤的。設(shè)b=1，5，10，15，20，25，則所求變量值如表1所示。

表1 集中決策下變量（τ*c，z*c及供應鏈期望利潤E[π*c]隨敏感系數(shù)b變化關(guān)系

由表1可以看出，集中決策下最優(yōu)減排水平及產(chǎn)量均隨敏感系數(shù)b增加而增加，且增量逐漸增大，即

為了分析分散決策下，零供兩主體最優(yōu)利潤值的變化關(guān)系及利潤和與集中決策下供應鏈總利潤最優(yōu)值的差值，本文只對敏感系數(shù)B=10進行數(shù)值分析，并令R=0.5。其他情況結(jié)果雷同。所得數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 分散決策下變量及供應鏈期望利潤E[π*]隨成本占有率α變化關(guān)系

表2 分散決策下變量及供應鏈期望利潤E[π*]隨成本占有率α變化關(guān)系

由表2可看出，分散決策下，最優(yōu)減排水平和產(chǎn)量隨著成本占有率α增加而增加，但增量在逐漸減小，即。同時，供應商最優(yōu)期望利潤值隨成本占有率α增加而增加；零售商最優(yōu)期望利潤值E[]隨成本占有率α增加而較少，當α=r=0.5時，有=，且E[π*]達到最大值，此時有

因此，供應鏈最優(yōu)期望利潤與集中決策下，供應鏈最優(yōu)期望利潤間的差值ΔE[π]隨成本占有率α增加而呈先減小后增大的變化趨勢。

此外，由表2還可見，當成本占有率α過小或過大（即α=0.1∪α=0.9）時，供應商或零售商利潤為負值。說明此時已出現(xiàn)不滿足條件的情況。因此可以選擇α=0.3，根據(jù)結(jié)論8可知，當dh（z）/dz=，零售商最優(yōu)期望利潤E[πd，M]在區(qū)間r*∈（0.18，0.58）能夠取得唯一最大值。依舊取b=10，所得零售商期望利潤E[πd，R]隨分享比例r變化的數(shù)據(jù)如表3所示。

由表3可看出，分享比例的提高使最優(yōu)產(chǎn)量和減排水平均降低，這也驗證了當滿足h（z）2+h′（z）≥0時，的結(jié)論。且當分享比例r∈（0.18，0.58）且步長為0.02時，零售商最優(yōu)期望利潤為，且τd，R（r）在上述區(qū)間內(nèi)單峰，即最優(yōu)值具有唯一性。當成本占有率α取其他值時與此結(jié)果雷同，不再贅述。

表3 零售商期望利潤E[τd，M]隨分享比例r變化關(guān)系

5 結(jié)語

本文從產(chǎn)品低碳化能提高消費者需求出發(fā)，以上游存在減排規(guī)制的供應商和下游實行分享契約的零售商組成的供應鏈寄售系統(tǒng)為研究對象。應用博弈論相關(guān)理論研究發(fā)現(xiàn)，分散決策下，供應商最優(yōu)減排水平和產(chǎn)量與零售商分享比例呈負相關(guān)；只有當利潤分享比例與成本占有率相等時才能實現(xiàn)供應鏈協(xié)調(diào)；能夠促使供應商減排和零售商取得最優(yōu)利潤的分享比例是有邊界的，但其范圍之差是與加價率和減排效果有關(guān)。最后，通過數(shù)據(jù)模擬驗證了上述結(jié)論，并得到了集中與分散決策下最優(yōu)變量和利潤與減排敏感系數(shù)和成本占有率的曲線關(guān)系，以及零供主體在最優(yōu)分享比例下的最優(yōu)利潤。