黃 超，韓婷婷，吳 芃，仲偉俊

（東南大學 經(jīng)濟管理學院，南京 210096）

財務危機預警是以財務信息為基礎(chǔ)，對企業(yè)在經(jīng)營管理活動中的潛在財務危機風險進行診斷與預測。Fitzpatrick[1]最早利用單變量模型對公司財務危機進行預警研究，隨后，許多學者運用logistic回歸以及Probit模型等方法對財務危機預警研究進行改進[2-3]。近年來，隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的非參數(shù)方法開始被應用到財務危機預警研究領(lǐng)域[4]。支持向量機（SVM）是一種基于統(tǒng)計學習理論的機器學習算法[5]，由于其在解決非線性逼近、局部最優(yōu)解方面具有比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更優(yōu)良的性能，近年來在財務危機預警領(lǐng)域得到了關(guān)注，Shin[6]和丁德臣[7]的研究都表明，SVM方法較多元判別分析、Logistic回歸以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法具有更高的精度。

研究表明，核函數(shù)對于SVM的學習性能和預測精度具有重要影響，宋新平[5]基于線性核、RBF核以及多項式核等SVM模型對企業(yè)財務危機預警進行比較研究，結(jié)果表明，不同核函數(shù)對于預警精度具有顯著影響[8]，因此，核函數(shù)成為近年來SVM領(lǐng)域的研究熱點。由于小波在信號處理方面所具有的良好性質(zhì)，如何構(gòu)造小波核函數(shù)及小波SVM得到了廣泛關(guān)注[9]，但相關(guān)研究大多集中在非正交小波和正交小波領(lǐng)域。研究還表明，雙正交小波具有構(gòu)造的靈活性、線性相位性質(zhì)以及較高的消失矩，因此具有更好的非線性信號逼近能力[10]。為了充分利用不同核函數(shù)的特征映射能力，學者們開始研究組合多個核函數(shù)構(gòu)造混合核函數(shù)。Lu[11]將多項式核和高斯核進行線性組合，程硯秋[12]則將高斯核函數(shù)和Morlet小波核進行線性組合，試驗結(jié)果均表明，混合核SVM比單核SVM具有更高的學習性能和預測精度。

在財務危機預警中，財務指標的特征子集選擇對預警的準確性具有重要影響[7]。由于企業(yè)財務指標之間存在復雜的線性和非線性相關(guān)性，學者們基于多種方法對預警指標進行特征選擇[7，13]。核主成分分析（KPCA）方法通過將核方法引入到主成份分析方法中，具有比主成分分析、獨立主成分分析等方法更好的特征選擇能力[14]。Zhou等[15]運用KPCA方法和小波核SVM進行財務危機預警研究，結(jié)果表明，KPCA方法能夠有效處理具有非線性特征的財務指標數(shù)據(jù)。由于KPCA方法是通過核函數(shù)將數(shù)據(jù)映射到高維特征空間進行特征提取，故核函數(shù)的選擇會直接影響KPCA方法對財務指標特征提取的結(jié)果，進而影響預警模型精度。

由于KPCA方法以及SVM的性能均與核函數(shù)緊密相關(guān)，研究具有更優(yōu)非線性數(shù)據(jù)處理性能的核函數(shù)對于提高財務危機預警精度具有重要意義。本文首先基于小波多分辨分析理論以及雙正交小波基下的函數(shù)分解特性，構(gòu)造了一類新的雙正交小波核函數(shù)并證明其滿足正定核的容許性條件。隨后將其與線性核組合構(gòu)造了新的雙正交小波混合核函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，提出了基于雙正交小波混合核函數(shù)的KPCA-SVM財務危機預警模型。最后，以我國上市公司為對象進行財務危機預警的實證研究。

1 雙正交小波核函數(shù)構(gòu)造

設(shè)x是n維實數(shù)空間Rn中的一個子集，如果存在從x到某個Hilbert空間H的映射Φ：x→Φ（x），x∈x，Φ（x）∈H，使得K（x，x′）=〈Φ（x），Φ（x′）〉，其中〈·，·〉表示H的內(nèi)積，則稱定義在x×x上的函數(shù)K（x，x′）是核函數(shù)。核函數(shù)的基本思想是對輸入空間中的非線性問題，選擇一個適當?shù)挠成洇担簒?Φ（x），將輸入空間的樣本點x映射到一個高維特征空間H中，從而轉(zhuǎn)化成該特征空間H中的線性問題。

設(shè)ψ（t）∈L2（R），如果函數(shù)ψ（t）的平移和伸縮｛ψm，n∈Z｝構(gòu)成R上平方可積空間L2（R）的一個Riesz基，則稱ψ（t）是一個Riesz函數(shù)。對于一個Riesz函數(shù)ψd（t），如果存在函數(shù)ψd（t）∈L2（R），滿 足〈ψm，n，〉=δmj·δnk，?m，n，j，k∈Z，其中，

則稱ψ（t）和ψd（t）互為對偶雙正交小波。

對于雙正交小波ψ（t）和ψd（t），由于｛ψm，n（t）｝m，n∈Z和｛（t）｝j，k∈Z構(gòu)成L2（R）的雙正交Riesz基，故L2（R）中的任意函數(shù)f（t）可以通過雙正交小波函數(shù)進行展開。因此，對任意f（t）∈L2（R），有

若f（t）按基展開，則有

其中：

設(shè)｛Vj｝和是L2（R）的2個多分辨率分析，其中，空間Vj由｛φj，n｝n∈Z生成，空間由生成，如果滿足〈φ（t-m），φd（t-n）〉=δmn，?m，n∈Z，則φ（t）和φd（t）為雙正交對偶尺度函數(shù)。若hn和分別為對偶尺度函數(shù)φ（t）和φd（t）的尺度系數(shù)，則雙尺度系數(shù)滿足如下雙正交條件：

由此根據(jù)雙正交性質(zhì)，對于?f（t）∈Vj，可得按基｛φj，n｝n∈Z的展開式

對于緊支撐函數(shù)而言，該展式為一個有限和。

基于上述分析，對某個j∈Z，可以構(gòu)造雙正交小波核函數(shù)：

式中，x，x′∈X?Rn。

目前主要有兩種方法判斷函數(shù)K（x，x′）是否為有效的核函數(shù)，即基于Mercer定理和基于正定核的容許性條件。本文基于正定核的容許性條件，即滿足

?αi∈R，xi∈X?Rn，i=1，2，…，n的對稱函數(shù)K（x，x′）為核函數(shù)，證明式（2）中所構(gòu)造的雙正交小波核函數(shù)的有效性。

設(shè)φ（x）∈L2（R），φd（x）∈L2（R）是一對對偶尺度函數(shù)，對于任意的f（x）∈Vj∩，其中，空間Vj由｛φj，n｝n∈Z生成，空間由生成，由于有

顯然式（2）所構(gòu)造的核函數(shù)K（x，x′）是對稱函數(shù)。

接下來證明K（x，x′）的正定性，對于?ai∈R，可得

顯然K（x，x′）也是正定的。因此，式（2）所構(gòu)造的雙正交小波核函數(shù)K（x，x′）是有效的。

由于雙正交小波函數(shù)是一族函數(shù)，式（2）事實上給出了任意滿足雙正交條件的小波函數(shù)構(gòu)造相應核函數(shù)的方法。本文選擇一類常見的Cdf 9/7雙正交小波來構(gòu)造雙正交小波核函數(shù)，并進一步構(gòu)造混合核函數(shù)。Cdf 9/7雙正交小波在時域中的尺度函數(shù)為：

根據(jù)式（2）可構(gòu)造Cdf 9/7雙正交小波核函數(shù)：

2 雙正交小波混合核SVM模型

由于混合核函數(shù)能夠集成各成員核函數(shù)的優(yōu)點從而具有更加優(yōu)越的性能，將上述Cdf 9/7雙正交小波核函數(shù)與線性核函數(shù)進行組合，構(gòu)造如下雙正交小波混合核函數(shù)：

式中：K2（x，x′）=xx′為線性核函數(shù)；ρ∈[0，1]為權(quán)重系數(shù)，用于調(diào)節(jié)兩種核函數(shù)影響作用的大小。代入式（5），可得混合核函數(shù)：

根據(jù)文獻[16]，由于Cdf 9/7雙正交小波核函數(shù)與線性核函數(shù)均滿足正定核的容許性條件，故所構(gòu)造的雙正交小波混合核函數(shù)KBHW（x，x′）是有效的核函數(shù)。

財務危機預警本質(zhì)上是一個兩分類問題，即通過建立相應的分類模型，利用企業(yè)財務指標數(shù)據(jù)將企業(yè)分為財務正常和財務危機兩類?；谏鲜龌旌虾撕瘮?shù)，可以構(gòu)造相應的混合核SVM分類模型。假設(shè)訓練樣本，其中：xi∈Rn為輸入向量；yi∈｛-1，+1｝為類別標簽；l為訓練樣本數(shù)。通過求解如下的凸二次規(guī)劃問題，來構(gòu)造其最優(yōu)超平面。

其中：ξi為允許錯分的松弛變量；C為懲罰參數(shù)。

求解上述優(yōu)化問題，從而確定最優(yōu)分類面f（x）=sgn[（Wφ（xi））+b]，即可將樣本進行分類。引入拉格朗日乘子α，將上述優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化求解其對偶問題，形式如下：

根據(jù) 核 函 數(shù) 的 定 義，令K（x，xi）=〈φ（xi），φ（xj）〉，可得線性不可分情況下的兩分類決策函數(shù)：

將式（6）中所構(gòu)造的核函數(shù)KBHW（x，x′）代入上述模型和決策函數(shù)，即可得到雙正交小波混合核支持向量分類機模型，相應的預警決策函數(shù)形式為

3 雙正交小波混合核KPCA特征提取

企業(yè)財務指標數(shù)量眾多并且存在復雜的非線性關(guān)系，特征子集的選擇直接關(guān)系到預警模型的有效性和準確性。KPCA方法基于核函數(shù)原理，通過非線性函數(shù)Φ將原始數(shù)據(jù)映射到一個高維特征空間，在特征空間中實現(xiàn)數(shù)據(jù)主成分的線性提取。本文應用基于雙正交小波混合核函數(shù)KBHW的KPCA方法，提取財務指標的特征子集并作為SVM模型的輸入，即基于雙正交小波混合核函數(shù)的KPCA-SVM模型改進財務危機預警的精度。

若有p家企業(yè)并且每家企業(yè)都包含q個財務指標，則原始輸入矩陣Y=｛yij｝p×q，其中yij為第i個企業(yè)的第j個財務指標。為了避免各指標量綱及量級不同的影響需要對數(shù)據(jù)進行標準化處理，即

分別為第j個財務指標向量的均值和方差，由此得到標準化后的輸入矩陣X=｛xij｝p×q。

令xk=（x1k，…，xpk）T為所有企業(yè)的第k個財務指標，KPCA方法就是將樣本數(shù)據(jù)X的協(xié)方差矩陣進行基變換并使其對角化，以特征向量為基的新坐標稱為主成分。通過非線性映射Φ，可以實現(xiàn)從樣本空間RN到高維特征空間F映射，映射后的樣本數(shù)據(jù)xk在F空間的像為Φ（xk），相應的樣本協(xié)方差矩陣為

求解如下方程：

即可得特征值λ（λ1≥λ2≥…≥λp≥0）及其特征向量V（V∈F），對式（9）進行內(nèi)積，可得

由于特征向量V表示原始樣本集在F空間中的主成分方向，并且V可用Φ（xk）線性表示，即存在系數(shù)α1，α2，…，αp，使得，代入式（10），可得

根據(jù)核函數(shù)的定義，內(nèi)積函數(shù)可用核函數(shù)表示，即K（xi，xj）=〈Φ（xi），Φ（xj）〉。由于不同的核函數(shù)對應著不同的核映射，對所提取的特征子集影響也不同相同，本文運用雙正交小波混合核函數(shù)實現(xiàn)核映射，即令KBHW（xi，xj）=〈Φ（xi），Φ（xj）〉，代入式（11），則有

式中，α=（α1，α2，…，αp）T，為KBHW的特征向量。求解式（12）即可得特征值λ（λ1≥λ2≥…≥λp≥0）及α，進而得到的特征向量V，即Φ（x）空間的主成分方向。

因此，輸入空間樣本數(shù)據(jù)xt的核主成分即為其在特征空間F中特征向量V上的投影。即

其中：i=1，2，…，p；St（i）即對應于Φ的第i個非線性主成分；αi（j）為特征向量αi的第j個元素。

4 實證分析

4.1 實驗設(shè)計

限于數(shù)據(jù)的可獲得性，我國財務危機預警的實證研究大多選用上市公司的財務數(shù)據(jù)，并以被“特別處理”（ST）作為上市公司陷入財務危機的標志[3-4]。本文同樣采取這種方法，在滬深兩市除金融及保險業(yè)的其他行業(yè)中，選取2007～2010年期間首次被特別處理的ST公司共105家作為財務危機公司，并按照1∶1的比例從未被ST的公司中隨機選取105家公司作為財務正常公司，樣本總數(shù)為210個。從中隨機選取140家公司作為訓練樣本，45家作為測試樣本。為避免高估本文模型預警能力，本文選用提前3年的數(shù)據(jù)進行預測，判斷其最終是否會陷入財務危機[17]，所有樣本數(shù)據(jù)來自CCER中國經(jīng)濟金融數(shù)據(jù)庫。基于文獻[8，17]中的指標設(shè)計方法，從流動性狀況、償債能力、盈利能力狀況及市場價值分析等4個方面選取28個財務指標作為構(gòu)建預警模型的初始指標評價體系，如表1所示。

表1 財務危機預警指標

以總體預警精度（即正確判別的企業(yè)數(shù)占企業(yè)總數(shù)的比例）來衡量SVM模型的識別能力，同時以第1類錯誤率（即將財務正常企業(yè)判別為財務危機企業(yè)的比例）和第2類錯誤率（即將財務危機企業(yè)判別為財務正常企業(yè)的比例）作為輔助判別標準，由于第2類錯誤的代價遠高于第1類錯誤，在相同總體預警精度下應選擇第2類錯誤率較低的預警模型[7]。

4.2 結(jié)果及分析

本實證中由于在KPCA方法和SVM預警模型中都將使用雙正交小波混合核函數(shù)KBHW（x，x′），為了區(qū)別，令KPCA方法中的混合核的權(quán)重核系數(shù)為ρ1，SVM預警模型中為ρ2。由于特征子集對財務危機預警精度具有重要影響，首先分別針對提取效率E=80%，E=85%，E=90%和E=95%等4種情況，運用網(wǎng)格搜索法分析在達到相應提取效率時，權(quán)重系數(shù)ρ1對KPCA方法所提取特征子集中包含的主成分個數(shù)的影響。實驗中設(shè)定搜索步長為0.1，結(jié)果如表2所示。

表2 不同E及ρ1特征子集的主成分個數(shù)

由表2可知，當ρ1確定時，隨著提取效率E值的增加，KPCA方法所提取的主成分個數(shù)也隨之增加。當E確定時，隨著ρ1的逐漸增加，KPCA所提取的主成分個數(shù)也有增加的趨勢，并且當ρ1＜0.5時，主成分個數(shù)增加的趨勢更加明顯；當ρ1＞0.5時，增加相對平緩。這說明，對于相同的提取效率，隨著Cdf9/7雙正交小波核在混合核函數(shù)中權(quán)重的增加，KPCA方法需要提取的主成分個數(shù)逐漸增加，但是Cdf9/7雙正交小波核對混合核的影響程度在權(quán)重超過0.5以后開始減弱。

接下來研究權(quán)重系數(shù)ρ2對SVM預警精度的影響。由于權(quán)重系數(shù)ρ1會直接影響KPCA的特征子集提取結(jié)果進而影響預警精度，因此需要在確定ρ1的情況下研究ρ2對預警精度的影響。基于上述訓練樣本和測試樣本數(shù)據(jù)，分別針對提取效率E=80%，85%，90%和95%等4種情況，以測試樣本的總體預測精度為目標函數(shù)，對權(quán)重系數(shù)ρ1采取上述網(wǎng)格搜索法進行尋優(yōu)，對SVM的懲罰參數(shù)C和混合核權(quán)重系數(shù)ρ2采用粒子群優(yōu)化算法（PSO）進行尋優(yōu)[18]，最優(yōu)結(jié)果為當E=85%，ρ1=0.4，ρ2=0.682，C=0.067時，得到最高總體預警精度為84.4%，此時主成分個數(shù)為10。接下來，以ρ1=0.4為例，研究雙正交小波混合核SVM模型在不同E值的情況下，ρ2的變化對預警精度的影響，結(jié)果如表3所示，其中：ρ2=0表示SVM中的核函數(shù)為線性核；ρ2=1表示Cdf9/7雙正交小波核函數(shù)。

由表3可以看出，無論是針對訓練集還是測試集，在相同ρ2的情況下，模型的預警精度并不隨著提取效率E的增加而增加。從測試集的結(jié)果甚至可以發(fā)現(xiàn)，對于絕大部分的ρ2值，E=95%都是4種情況下預警精度最低的，當E=85%時，預警精度都達到最高。這說明，當提取效率較低時，特征子集丟失了較多的原始數(shù)據(jù)信息從而影響預警精度，但是提取效率太高會造成特征子集包含大量冗余信息，同樣會對模型精度帶來影響。進一步觀測表3，可以看出，ρ2對于SVM模型的預警精度具有顯著影響。以測試集為例，在0.1＜ρ2≤0.7的區(qū)間，隨著Cdf 9/7雙正交小波核在混合核函數(shù)中權(quán)重ρ2的增加，預警精度呈現(xiàn)出明顯提高的趨勢；但是當ρ2＞0.7時，ρ2的增加降低了預警精度。

基于表3的結(jié)果，圖1、2進一步比較了雙正交小波混合核SVM與單核SVM在預警精度上的差別。對于確定的提取效率E，混合核最高精度是指雙正交小波混合核SVM模型取得的最高預警精度值，混合核平均精度則是ρ2從0.1變化到0.9的9種情況下雙正交小波混合核SVM預警精度的平均值?？梢钥闯?，無論是針對訓練集還是測試集，雙正交小波混合核SVM的平均預警精度都高于線性核和Cdf 9/7雙正交小波核這2個單核SVM，混合核最高精度的優(yōu)勢則更加明顯，表明混合核函數(shù)相對于單核能夠有效提高財務危機預警精度。

為了檢驗本文提出的Cdf9/7雙正交小波核以及混合核函數(shù)KBHW的性能，將這兩種核函數(shù)與常見的Morlet小波核、Coif3小波核、徑向基（RBF）核、Sigmoid核以及多項式核進行對比研究。為了同時比較KPCA方法與傳統(tǒng)的PCA方法對預警精度的影響，對比研究分別基于KPCA-SVM模型（此時KPCA方法與SVM模型中采用同一種核函數(shù)）和PCA-SVM模型（核函數(shù)僅應用在SVM模型）。在對比實驗中，KPCA及PCA方法的提取效率E均設(shè)定為85%，結(jié)果如表4所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，無論是KPCA-SVM模型還是PCA-SVM模型，混合核的訓練集和測試集總體預警精度都是最高，并且其第1類和第2類錯誤率也都明顯低于其他核函數(shù)。還可以發(fā)現(xiàn)，Cdf9/7雙正交小波核也具有較其他5種常見核函數(shù)更優(yōu)的預警精度，雖然Coif3小波核的訓練集預警精度略高于Cdf9/7雙正交小波核，但是從測試集來看，Cdf9/7雙正交小波核總體預警精度更高并且第2類錯誤率更低。結(jié)果表明，與常見的核函數(shù)相比本文構(gòu)造的Cdf9/7雙正交小波核函數(shù)具有更好的預警性能，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造的雙正交小波核混合核函數(shù)在財務危機預警中，較單核函數(shù)具有更高的總體預警精度和更低的第1和第2類錯誤率，因此是有效的。進一步對比可以發(fā)現(xiàn)，對于采用相同核函數(shù)的SVM模型，基于KPCA方法的預警精度均明顯高于基于PCA方法。這說明，采用KPCA方法進行特征提取對于改進財務危機預警精度的效果是明顯的。

表3 不同E及ρ2預警模型精度比較 %

圖1 訓練集單核與混合核精度比較

圖2 測試集單核與混合核精度比較

最后，為了比較核函數(shù)對KPCA方法性能及預警精度的影響，將SVM模型中的核函數(shù)固定為KBHW，變換KPCA方法中的核函數(shù)比較預警模型的精度，結(jié)果如表5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在KPCA方法中使用不同核函數(shù)會直接影響特征提取的結(jié)果，同時也對預警精度具有顯著影響。基于KBHW核函數(shù)的總體預警精度不僅高于Cdf9/7雙正交小波核和線性核的精度，也高于其他單核函數(shù)的精度，并且具有更低的第1和第2類錯誤率，表明雙正交小波混合核函數(shù)有效改善了KPCA方法的特征提取性能，進而提高財務危機預警的準確性。

表4 不同核函數(shù)KPCA-SVM及PCA-SVM模型比較 %

表5 不同核函數(shù)KPCA方法對預警性能的影響 %

5 結(jié)語

本文基于小波多分辨分析理論以及雙正交小波基下的函數(shù)分解特性，構(gòu)造了一類新的雙正交小波核函數(shù)并證明其滿足正定核的容許性條件。隨后將其與線性核組合構(gòu)造了新的雙正交小波混合核函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，提出了基于雙正交小波混合核函數(shù)的KPCA-SVM財務危機預警模型。對我國上市公司的實證研究表明，一方面，KPCA特征提取以及SVM模型的性能，與混合核函數(shù)中的權(quán)重系數(shù)具有緊密關(guān)系；另一方面，雙正交小波混合核函數(shù)在改進KPCA的特征提取性能并提高SVM模型的預測精度方面是有效的。未來的研究包括2個方面：①基于遺傳算法研究混合核函數(shù)的權(quán)重系數(shù)優(yōu)化問題；②進一步研究核函數(shù)之間的非線性組合方法及應用。