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        例談方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

        2015-08-15 00:53:42邱明武
        新課程(下) 2015年11期
        關(guān)鍵詞:韋達(dá)題設(shè)公比

        邱明武

        (江西省信豐縣第七中學(xué))

        數(shù)列是高中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容,也是每年高考必考的知識(shí)點(diǎn),所以如何學(xué)好數(shù)列是每個(gè)學(xué)生迫切需要解決的問題. 眾所周知,方程思想是高中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想,函數(shù)與方程可以相互轉(zhuǎn)化,即函數(shù)的一些問題可以用方程思想來解決,而數(shù)列是一種特殊的函數(shù),所以數(shù)列的一些問題也可以利用方程思想來處理.

        一、求數(shù)列的項(xiàng)

        例1.設(shè){an}是遞增等差數(shù)列,前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,求數(shù)列{an}的首項(xiàng).

        解:設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,由題設(shè)可知:a1+a2+a3=12,因?yàn)椋鸻n}是等差數(shù)列,所以a1+a3=2a2,代入上式可得:a2=4,則,a1+a3=8, ①

        又由題設(shè)可知:a1a2a3=48,則a1a3=12, ②

        則①②知,可把a(bǔ)1、a3看作方程x2+8x+12=0 的兩個(gè)實(shí)根.

        解得x1=2,x2=6.或x1=6,x2=2.

        又{an}是遞增等差數(shù)列,則a1<a3,所以a1=2.

        點(diǎn)評(píng):根據(jù)韋達(dá)定理來構(gòu)造一元二次方程要注意根與系之間的關(guān)系,特別是符號(hào)的正負(fù)問題.

        例2.數(shù)列{an}中,相鄰兩項(xiàng)an,an+1是方程x2+3nx+bn=0 的兩根,若a10,=-17,求b51.

        所以a11+a10=-30,又a10=-17,則a11=-13.

        點(diǎn)評(píng):已知數(shù)列相鄰兩項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系可以由階差法來構(gòu)造一個(gè)高一階或低一階的方程,進(jìn)而作差可求出該數(shù)列或部分?jǐn)?shù)列的通項(xiàng),最后所求問題就迎刃而解了。

        二、求數(shù)列的通項(xiàng)

        例3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=0,an+1+Sn=n2+2n(n∈N+),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

        解:因?yàn)閍n+1+Sn=n2+2n(n∈N+) ①

        用n-1 替換①式中的n,可得:an+1+Sn+1=(n-1)2+2(n-1)(n≥2) ②

        ①-②得:an+1-an+Sn-Sn-1=n2-(n-1)2+2n-2(n-1)

        即an+1=2n+1,進(jìn)而可得:an=2(n-1)+1=2n-1(n≥2)

        當(dāng)n=1 時(shí),a1=1,而S1=0,則a1≠S1,所以

        點(diǎn)評(píng):給出數(shù)列的an與Sn的遞推關(guān)系來求數(shù)列的通項(xiàng),通常用n-1(或n+1)替換遞推式中的n而得到另一個(gè)等式,此方法稱為構(gòu)造方程組法,又叫階差法.

        例4.設(shè){an}是首項(xiàng)為1 的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1求an.

        解:由已知條件因式分解可得:[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

        因?yàn)閿?shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列,所以an+1+an≠0,則(n+1)an+1-nan=0,即

        點(diǎn)評(píng):若給出數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)的齊二次式方程時(shí),因式分解是首先的方法.

        三、求數(shù)列的前n 項(xiàng)和

        例5.求數(shù)列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n項(xiàng)和.

        解:當(dāng)a=0 時(shí),Sn=1.

        當(dāng)a=1 時(shí),Sn=1+3+5+7+…+(2n-1)

        當(dāng)a≠1 時(shí),Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1①

        由①式兩邊同乘以a,得aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an②

        ①-②:得(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2a+2a2+2a3+…+2an-1

        =1-(2n-1

        點(diǎn)評(píng):對(duì)于含字母的此類問題,首先要討論字母為0 或1 的情況;當(dāng)字母不為1 時(shí),數(shù)列較復(fù)雜,利用乘公比錯(cuò)位相減法求.

        例6.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,以an,Sn為系數(shù)的二次方程x2-4Snx+an+4=0 都有根α,β,且滿足求an與Sn.

        解:由韋達(dá)定理知:α+β=4Sn,又αβ=an+4,又=1,即α+β=αβ,所以4Sn=an+4 ①

        用n-1 替換n可得:4Sn-1=an-1+4(n≥2) ②

        ①-②:得:4an=an-an-1(n≥2),即,

        可知數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列,

        點(diǎn)評(píng):上述求數(shù)列通項(xiàng)用了階差法,這里要注意的是求數(shù)列的前n項(xiàng)和,其過程是利用①式的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行代入而求得,另外也可以利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式去求得.

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