劉麗微

（吉林省第二實(shí)驗(yàn)高新學(xué)校）

一、旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換是平面到它自身的變換，使原點(diǎn)O 變換到它自身，其他任何點(diǎn)X 變到X′，使得：（1）OX′=OX；（2）∠XOX′=θ（定角），則稱這樣的變換為旋轉(zhuǎn)變換，O 稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)變換后保持圖形不變，但圖形方位可能有變化（與旋轉(zhuǎn)角度有關(guān)）。學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)變換過(guò)程中，可以先從中心對(duì)稱變換入手學(xué)習(xí)，中心對(duì)稱變換是旋轉(zhuǎn)變換的特例，可以更直觀地讓學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)變換的概念，但是中心對(duì)稱變換又不同于軸對(duì)稱變換：中心對(duì)稱的對(duì)稱中心是一點(diǎn)，而軸對(duì)稱的對(duì)稱中心是一條直線，一個(gè)實(shí)現(xiàn)圖形的旋轉(zhuǎn)，一個(gè)實(shí)現(xiàn)圖形的翻轉(zhuǎn)，但是兩者的共同點(diǎn)是圖形都不變。在幾何解題中，旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保持，但改變其位置，使能組合成新的有利論證的圖形。例如，△ABC 通過(guò)中心對(duì)稱變換，在同一平面上得到完全相同的△A′B′C′，只不過(guò)圖形發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，角度是180°，方向有所改變。通過(guò)中心對(duì)稱變換，我們也可以設(shè)定一個(gè)角度，讓學(xué)生通過(guò)自己的理解與操作來(lái)完成旋轉(zhuǎn)變換圖形。

二、翻折變換

翻折變換是平面到自身的變換，若存在一條直線l，使對(duì)于平面上的每一點(diǎn)P 及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，其連線PP′都被定直線l 垂直平分，則稱這種變換為翻折變換，定直線l 稱為對(duì)稱軸。翻折變換有如下性質(zhì)：

（1）把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形。

（2）關(guān)于l 對(duì)稱的兩點(diǎn)連線被l 垂直平分。

例如：△ABC 通過(guò)軸稱變換，在同一平面上得到完全相同的△A′B′C′，只不過(guò)圖形發(fā)生了翻轉(zhuǎn)，得到的直線AA′，BB′，CC′被對(duì)稱軸垂直平分。

為了讓學(xué)生更直觀地理解旋轉(zhuǎn)變換和翻轉(zhuǎn)變換的異同，可以針對(duì)同一個(gè)三角形在坐標(biāo)軸中以y 軸做翻轉(zhuǎn)變換，以中心點(diǎn)O 做旋轉(zhuǎn)變換，通過(guò)在一個(gè)平面中進(jìn)行比較分析，更能讓學(xué)生理解兩者的概念。進(jìn)而通過(guò)將三角形換成其他不規(guī)則圖形，學(xué)生也知道該怎么變換而不能混淆兩者的概念。如果證題過(guò)程中使用翻轉(zhuǎn)變換，既可保留原有圖形的性質(zhì)，又使原來(lái)分散條件相對(duì)集中，有利于問(wèn)題的解決，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維。

通過(guò)下面兩個(gè)案例題對(duì)平面圖形變換進(jìn)行分析：

【“軸對(duì)稱變換”教學(xué)片段】X、Y 分別為△ABC 的AB 邊和AC邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，在BC 邊上，求作一點(diǎn)Z，使△XYZ 的周長(zhǎng)最短。上述問(wèn)題我們可以用“軸對(duì)稱”來(lái)解析，能讓學(xué)生更直觀地感受到變換的存在，是解決問(wèn)題的方法。

通過(guò)上面例題的演變，假設(shè)牧馬營(yíng)地在P 處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地吃草，再到河邊飲水（草地和河邊在營(yíng)地的兩側(cè)），然后回到營(yíng)地P 處，設(shè)計(jì)出牧馬人放牧最短的路線。

這個(gè)問(wèn)題就也可以用“軸對(duì)稱”來(lái)完成，即“點(diǎn)到直線垂直距離最短”，讓學(xué)生可以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中切實(shí)感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊。

對(duì)上述問(wèn)題的解決方案的給出，通過(guò)對(duì)平面變換的應(yīng)用，使學(xué)生找到適合自己的解題思路，不僅可以訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，而且可以通過(guò)知識(shí)聯(lián)想，同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)通過(guò)不同的方式得到練習(xí)與鞏固，并在此基礎(chǔ)上延伸到其他知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。

通過(guò)對(duì)平面幾何變換形式的介紹，由知識(shí)的延展性到知識(shí)的關(guān)聯(lián)性加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何變換的理解，通過(guò)引用生活中的實(shí)例有助于解決學(xué)生對(duì)幾何變換理解困難的問(wèn)題。

林靜.淺談幾何變換在初中平面幾何教學(xué)的探究［J］.福建論壇：社科教育版，2013（04）.