趙斌斌

（浙江省寧波市高教園區(qū)寧波經(jīng)貿(mào)學(xué)校）

通過對話“為什么”來闡明知識點(diǎn)后的知識
——以三角函數(shù)的教學(xué)為例

趙斌斌

（浙江省寧波市高教園區(qū)寧波經(jīng)貿(mào)學(xué)校）

針對目前課堂上強(qiáng)行灌輸知識點(diǎn)這一現(xiàn)象，以三角函數(shù)這一章的教學(xué)為例，通過拷問自己“為什么”來引發(fā)思考，最終以回復(fù)提問的形式闡明教師真正要教給學(xué)生的知識，如,窮則變、需載體、尋規(guī)律等，而非簡單的知識點(diǎn)。

為什么；知識點(diǎn)；三角函數(shù)

一、引言

在最近一次“5.5誘導(dǎo)公式”的聽課活動中，授課教師布置了如下的三個任務(wù)：

任務(wù)一：回顧各象限角的三角函數(shù)值的正負(fù)號；

任務(wù)二：假設(shè)角a是銳角，試判斷下列角a+k·360°，-a，180°+a和180°-a所在的象限；

任務(wù)三：將書上的四組誘導(dǎo)公式按任務(wù)二得出的象限填入指定的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，你會發(fā)現(xiàn)什么？

接著，在授課老師的幫助下，很快就出來了十字口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”。新授總共歷時15分鐘，該教學(xué)內(nèi)容共計(jì)四組十二個誘導(dǎo)公式就已全部介紹完畢！

數(shù)學(xué)應(yīng)該是讓人變得更加聰明的，可反觀這樣的課堂，我好生擔(dān)憂。

這之后，我的思緒起了漣漪，再也無法靜下心來繼續(xù)聽下去，而我的心則一直在拷問自己：多年以后，當(dāng)授課老師所教的知識褪去，學(xué)生還會剩下什么？

由此我想到的是，在日常的教育教學(xué)工作中，在有限的45分鐘里，我們在教給學(xué)生教學(xué)內(nèi)容中知識點(diǎn)的同時，更多的應(yīng)該是滲透一種有用的知識，真正讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的智慧之美！

下面就以高等教育出版社出版的數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）上冊第5章的三角函數(shù)為例，通過對話“為什么”，來談?wù)勚R點(diǎn)后的知識，不當(dāng)之處，敬請批評指正。

二、知識點(diǎn)后的知識

本章教材共分7節(jié)：

第1節(jié) 角的概念的推廣

本節(jié)涉及的主要知識點(diǎn)有：任意角的概念、象限角和界限角、終邊相同的角。

提問1：為什么要將初中角的概念推廣？

提問2：為什么要在平面直角坐標(biāo)系中研究角？

提問3：為什么要學(xué)終邊相同的角？

對話：

回復(fù)提問1：教材實(shí)例1中的摩天輪告訴我們，生活中角的度數(shù)早已超出了0°~360°的范圍；實(shí)例2中的活絡(luò)扳手則告訴我們，生活中的角還出現(xiàn)了方向性的問題（即逆時針和順時針）。為解決上述兩個問題，所以，對初中角的概念進(jìn)行推廣。我想說的是，社會發(fā)展日新月異，不僅我們要緊跟時代的需要，連同我們所掌握的知識也要緊跟發(fā)展，而當(dāng)我們所掌握的知識無法反映或解決生產(chǎn)、生活中的一些實(shí)際問題時，則必須要創(chuàng)新！因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：窮則變！

回復(fù)提問2：教材中簡單的一句話“為了研究方便”就將這一提問掩蓋過去了，但事實(shí)并沒有解決。其實(shí)，我們本章的三角學(xué)是代數(shù)和幾何的交匯，而坐標(biāo)法則是建立這兩者之間關(guān)系的橋梁，比如，后來的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中的平方關(guān)系，就是利用坐標(biāo)法和勾股定理共同得到的；再如，誘導(dǎo)公式、兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)等。我想說的是，任何一個事情的研究都需要一個相對適合，同時方便我們研究的平臺，比如電商需要互聯(lián)網(wǎng)，互聯(lián)網(wǎng)則需要計(jì)算機(jī)。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：需載體！

回復(fù)提問3：教材中的實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)木條會重復(fù)地在OB位置出現(xiàn)，重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象則說明該事物可能具有周期性，這也就是三角函數(shù)是周期函數(shù)模型的原因，因此，與角a終邊相同的角（包括角a在內(nèi)）都可以寫成“a+k·360°（k∈Z）”的形式，其實(shí)質(zhì)是“初始角+整數(shù)×周期”，弄明白這一點(diǎn)，對于幫助學(xué)生理解教材中的例2有一定的作用。我想說的是，我們所處世界的很多事物都具有規(guī)律性，甚至是周期性，找到規(guī)律，對于我們縮短研究這些事物的進(jìn)程很有幫助。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：尋規(guī)律！

第2節(jié) 弧度制

本節(jié)涉及的主要知識點(diǎn)有：弧度制的概念、角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換、弧長公式。

提問1：為什么有了角度制還要弧度制？

提問2：為什么要學(xué)弧長公式？

對話：

回復(fù)提問1：教材問題中“因?yàn)槎?、分、秒采用的?0進(jìn)位制，所以，在角度制下，計(jì)算兩個角的加、減運(yùn)算時，經(jīng)常會帶來單位轉(zhuǎn)換上的麻煩，的確，這是原因之一，但絕不是主要原因，采用弧度制以后，每一個角都會對應(yīng)唯一的一個實(shí)數(shù)，這在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)微分、積分以及泰勒公式時，一定程度上減少了較大的運(yùn)算量。當(dāng)然，我個人還認(rèn)為，當(dāng)角a的度量值是一個實(shí)數(shù)時，為三角函數(shù)圖象順利地畫入平面直角坐標(biāo)系鋪平了道路。我想說的是，當(dāng)一些事物開始在某些熟悉的領(lǐng)域大放異彩時，比如，二十世紀(jì)末的汽車、手機(jī)和計(jì)算機(jī)等，我們一定得改變自己并最終接納它們。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：目長遠(yuǎn)！

回復(fù)提問2：弧長公式的出現(xiàn)很好地解釋了汽車公里數(shù)的計(jì)算。比如，要估算1小時自行車（半徑已測得）可以前進(jìn)多少米，并不真的需要坐上去騎1小時然后測量，我們只需估算自行車1分鐘內(nèi)轉(zhuǎn)的圈數(shù)即可。我想說的是，世界上兩個量之間存在著某種關(guān)系，選擇一個比較容易控制或監(jiān)測的量，就可以計(jì)算出另一個量的變化。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：易入手！

第3節(jié) 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)

本節(jié)涉及的主要知識點(diǎn)有：任意角三角函數(shù)的定義、各象限角的三角函數(shù)值符號、界限角的三角函數(shù)值。

提問：為什么要學(xué)任意角的三角函數(shù)？

對話：

回復(fù)提問：初中所學(xué)的是銳角的三角函數(shù)，自角被推廣到任意角后，任意角的三角函數(shù)存在嗎？如果存在，是否也應(yīng)及時跟上，只是完善的時候不應(yīng)和原有的銳角三角函數(shù)相悖。我想說的是，新事物的出現(xiàn)，與其相生相克的事物也必須盡快跟上。比如，互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)，滋生了電商，但同時也應(yīng)跟上互聯(lián)網(wǎng)的管理?xiàng)l例，使其健康茁壯成長。因此，這個知識點(diǎn)的后知識是：應(yīng)同步！

第4節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

本節(jié)涉及的主要知識點(diǎn)有：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。

提問1：為什么要引入單位圓？

提問2：為什么要學(xué)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系？

對話：

回復(fù)提問1：單位圓的引入純粹就是為了簡化運(yùn)算，使運(yùn)算式子變得簡潔而美麗，在此后誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)中顯得尤為突出，當(dāng)然還有兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)。但作為教師，我們得讓學(xué)生更加明了，我們引入單位圓簡化運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是單位“1”的運(yùn)用，這在很多地方都用得到。反觀生活，我想說的是，比如家里玻璃碎了，一時半會兒又找不到尺子，如何測量、購買？這個時候，伸出手，丈量一下需要幾只手即可，這種方法就是手這個單位“1”的大膽使用。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：單位“1”！

回復(fù)提問2：理解并掌握了同角三角函數(shù)之間的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，就可以只知其中一個三角函數(shù)值，求出另外兩個，這就是我們常說的知一求二，此與后來數(shù)列中的知三求二、解三角形中的知三求三屬同一款式。我想說的是，在明確幾個量之間的關(guān)系后，我們可以攜帶最少的信息量，而通過關(guān)系式來求得其他的量。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：輕上陣！

第5節(jié) 誘導(dǎo)公式

本節(jié)涉及的主要知識點(diǎn)有：誘導(dǎo)公式、計(jì)算器的使用。

提問1：為什么要學(xué)誘導(dǎo)公式？

提問2：為什么要學(xué)利用計(jì)算器求任意角的三角函數(shù)值？

對話：

回復(fù)提問1：教材其實(shí)已作出明確說明，新知識中公式（5.8），可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0°~360°（即0°~90°，90°~180°，180°~270°，270°~360°）范圍內(nèi)角的三角函數(shù)；270°~360°范圍內(nèi)的角可以轉(zhuǎn)化為負(fù)角，再利用公式（5.9），就可以把負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù)；90°~180°和180°~270°范圍內(nèi)的角，分別利用（5.10），（5.11），可以把此范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)。我想說的是，任何繁雜事物的研究與學(xué)習(xí)，最終都應(yīng)回歸到我們所熟悉的簡單領(lǐng)域，而只有在我們所熟悉的簡單領(lǐng)域，才可以把事情辦好、辦精。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：繁化簡！另外，我想補(bǔ)充的是，既然學(xué)習(xí)了弧度制，為何弧度制后面的教學(xué)內(nèi)容反復(fù)地出現(xiàn)角度制，如a+k·360，180±a等，這樣的做法似乎不太妥當(dāng)。

回復(fù)提問2：很多老師怕學(xué)生使用計(jì)算器后，干脆不記特殊角的三角函數(shù)值了，可是，我們所處這個世界里的角很少是以特殊角的形式存在的，因此，解決問題絕不可能是記幾個特殊角的三角函數(shù)值就可以搞定的，而且查三角函數(shù)值表的年代也已經(jīng)一去不復(fù)返了，那么，這個時候，我們就必須掌握如何使用好我們手頭的計(jì)算器來更好地為我們服務(wù)。我想說的是，如果工具可以幫我們快速地解決問題，為什么不使用呢？比如，我們現(xiàn)在仍在使用的算盤。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：用工具！

第6節(jié) 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

本節(jié)涉及的主要知識點(diǎn)有：正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

提問1：為什么要畫三角函數(shù)的圖像？

對話：

回復(fù)提問1：講到數(shù)形結(jié)合，很多人會記起那句“形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時難直觀”，的確，畫出函數(shù)圖像對于幫助研究和理解函數(shù)的性質(zhì)有很好的作用，這一點(diǎn)不僅老師要明白，學(xué)生也要知道。我想說的是，在每一次畫函數(shù)圖像的新授課中，老師應(yīng)該帶著學(xué)生一同作圖，熟悉作圖的每一個步驟，最終精確制圖。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：圖真相！

回復(fù)提問2：教材新知識中“觀察發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)y=sin x在［0，2π］最值點(diǎn)），（π，0）是零點(diǎn)，假如這樣稱呼，它們算得上關(guān)鍵點(diǎn)了嗎？我想說的是，任何事物的發(fā)展可能都會伴隨著這樣一些點(diǎn)的出現(xiàn)，而只要我們能把握住這些事物的關(guān)鍵點(diǎn)，事物就不會往最糟糕的方向發(fā)展。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：重關(guān)鍵！

第7節(jié) 已知三角函數(shù)值求角

本節(jié)涉及的主要知識點(diǎn)有：已知三角函數(shù)值，利用計(jì)算器求角。

提問1：為什么要學(xué)已知三角函數(shù)值求角？

提問2：為什么要結(jié)合誘導(dǎo)公式來求角？

對話：

回復(fù)提問1：有已知角求三角函數(shù)值，就會有已知三角函數(shù)值求角，和加減、乘除一樣，這一對互為逆運(yùn)算。我想說的是，在某種特定條件下，假如有一天我們又定義了一種新的運(yùn)算，必將伴隨著它的逆運(yùn)算同時出現(xiàn)，這是肯定的。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：逆必存！

回復(fù)提問2：一個角對應(yīng)一個三角函數(shù)值，這是函數(shù)；而一個三角函數(shù)值，卻有無數(shù)個角與之相對應(yīng)，這不是函數(shù)（這一點(diǎn)結(jié)合函數(shù)圖象來說明，學(xué)生就會明白）。為了讓求角成為函數(shù)，并方便計(jì)算器計(jì)算后輸出，人類給它設(shè)定了輸出角的范圍，即-90°~90°，因此，如果求指定范圍（這里指超出-90°~90°）內(nèi)的角，那么，就必須要結(jié)合使用誘導(dǎo)公式。我想說的是，目前計(jì)算機(jī)能計(jì)算并輸出的都是有限的結(jié)果，而對于無限的結(jié)果尚無法完全做到，所以，任何時候，別忽視了自己的作用。因此，這個知識點(diǎn)后的知識是：善自己！

為了應(yīng)試，數(shù)學(xué)課堂更多的時候只是在傳授知識點(diǎn)，而并非真的知識，也難怪學(xué)生畢業(yè)后一直嚷嚷著數(shù)學(xué)最沒有用了，而在授課中應(yīng)該教給學(xué)生的思維方式、數(shù)學(xué)思想等，卻又往往最容易被忽視掉。今天，國家已經(jīng)走在教育改革的路上了，而作為教育教學(xué)工作者的我們，也是時候靜下心來搞教學(xué)，多問自己一句為什么，多教給學(xué)生一些知識，而非空洞的知識點(diǎn)，做到真正的授人以漁而非魚。

如果我們持之以恒，若干年后，哪怕已畢業(yè)的學(xué)生忘記了所有的知識點(diǎn)，我相信，我們所傳授的知識，不會在學(xué)生的身上全部褪去，或許這就是太極中所說的：無招勝有招！而這些知識，也將是人類進(jìn)步的驅(qū)動力，希望那時候的學(xué)生會和伽利略說的一樣，自然界最偉大的書是由數(shù)學(xué)語言寫成的。

三、結(jié)束語

如果此刻的你也認(rèn)同，期待你的參與，以知識點(diǎn)為載體來滲透，傳授我們的知識。

［1］李廣全.數(shù)學(xué)教學(xué)參考書:基礎(chǔ)模塊.上冊版（修訂版）.北京：高等教育出版社，2013.

［2］李忠.為什么要使用弧度制［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（11）.

［3］甘志國.數(shù)學(xué)解題與研究叢書：教材教法［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014.

·編輯 魯翠紅