◆朱旭春 周 紅

(山東省昌邑市文山中學(xué))

一、引言

數(shù)學(xué)在我們的日常生活中十分有用。生產(chǎn)實(shí)踐中，很多事物情況的描述都可以使用數(shù)學(xué)模型表示。例如，在建筑領(lǐng)域中，電梯使用首先是建造出一個(gè)描述實(shí)際使用電梯的數(shù)學(xué)模型，然后再設(shè)計(jì)相應(yīng)的PLC 程序指令完成這個(gè)數(shù)學(xué)模型的要求。高中數(shù)學(xué)在選擇部分出現(xiàn)了“數(shù)列與差分”這個(gè)專題，也是我們生活中常常遇到的問題。數(shù)列和差分屬于離散數(shù)學(xué)的一部分，是學(xué)生上大學(xué)之后，開展的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。數(shù)列是通過離散的數(shù)字或是表達(dá)式反映數(shù)學(xué)模型。例如，中國福利彩票每期開獎(jiǎng)數(shù)據(jù)，可以用數(shù)列表示出來，一些彩民就是利用長期數(shù)列查找出其中的一些數(shù)學(xué)模型及其規(guī)律。再如，滬深股票的漲跌數(shù)據(jù)，也是可以由一些離散的數(shù)列表示出來，操盤手利用平時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)據(jù)走向達(dá)到一定值時(shí)，開始進(jìn)行運(yùn)作?？傊?，數(shù)列在生活中的應(yīng)用數(shù)不勝數(shù)。差分是對數(shù)列的進(jìn)一步運(yùn)算得出的，它實(shí)際上也是一種新的數(shù)列，是對原來數(shù)列規(guī)律的一種反應(yīng)。如一個(gè)數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列是一組常數(shù)，則原數(shù)列就是線性函數(shù)列，也就是常說的等差數(shù)列，當(dāng)一個(gè)數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列中出現(xiàn)了一個(gè)大于零的數(shù)時(shí)，原數(shù)列表示在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)就是從這個(gè)位置開始凹的，反之是開始凸的。

二、教學(xué)目的、內(nèi)容和總體思路

高中數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)就是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，尤其是現(xiàn)在課程改革之后，很多時(shí)候?qū)⒋髮W(xué)中的高等數(shù)學(xué)中的基本知識點(diǎn)下放到高中數(shù)學(xué)的選修部分中，這就給高中的教學(xué)工作帶來了不小壓力。導(dǎo)數(shù)、矩陣、布爾代數(shù)、數(shù)列和差分都屬于這種高等數(shù)學(xué)中基本的知識點(diǎn)，現(xiàn)在已經(jīng)是高中數(shù)學(xué)的必修或選修的一部分。數(shù)列和差分是選修的部分，國家的普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)課標(biāo)對這部分的學(xué)習(xí)不是硬性要求，指出根據(jù)學(xué)校和教師情況逐步開設(shè)這部分內(nèi)容，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，以及學(xué)生以后運(yùn)用該知識解決問題的能力。

根據(jù)課標(biāo)要求，數(shù)列和差分的學(xué)習(xí)涉及理解數(shù)列差分的概念;一階、二階差分對數(shù)列的描述含義;差分與數(shù)列的升降、最值、凸凹之間的聯(lián)系;一階線性差分的方程方面內(nèi)容(齊次方程和差分為恒值的情況)。

這部分的教學(xué)主要分為兩大部分:差分概念及與數(shù)列的關(guān)系、差分方程。其總體思路為，從易到難，按照教材的順序，先講差分概念，再說與數(shù)列的關(guān)系，最后談一談差分方程方面的內(nèi)容。講授過程中加強(qiáng)對教材的再次開發(fā)，從簡單的事例著手，從學(xué)生感興趣的問題談起，注重學(xué)習(xí)興趣在教學(xué)過程中的作用，同時(shí)注重教學(xué)內(nèi)部的邏輯脈絡(luò)，注意啟發(fā)式教學(xué)在教學(xué)過程中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生積極思考差分與數(shù)列之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一方面注重教學(xué)內(nèi)容的講解，另一方面加強(qiáng)學(xué)生實(shí)際演算能力，可以進(jìn)一步加強(qiáng)對知識點(diǎn)的掌握和理解。最后是學(xué)習(xí)效果評價(jià)，這一部分是選修內(nèi)容，在理解和掌握過程中一些學(xué)生存在難度，尤其是差分方程涉及的內(nèi)容更加困難，所以評價(jià)過程以了解知道為主，不需要所有學(xué)生都能掌握運(yùn)用。

三、具體設(shè)計(jì)

首先，開始講課之前，要求學(xué)生開展預(yù)習(xí)，提前一天布置學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)列的有關(guān)概念。如等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)式、數(shù)列和的通項(xiàng)式、系數(shù)矩陣與方程組解的關(guān)系等。預(yù)習(xí)差分的有關(guān)概念。例如，一階差分、二階差分、(非)齊次差分方程、(非)線性差分方程等。

其次，在課堂上，主要分為三塊內(nèi)容——差分概念、與數(shù)列的關(guān)系和差分方程。第一部分，使用生活中的事例引出差分的概念，例如，開車時(shí)每小時(shí)記錄一下里程表上的公里數(shù)，將形成一個(gè)數(shù)列，再把這個(gè)數(shù)列每一項(xiàng)進(jìn)一步相減，便是差分，由此引出其理論概念。進(jìn)一步介紹這一次相減后的差分屬于一階差分，再減一次屬于二階差分，如此下去。這時(shí)可以啟發(fā)一下學(xué)生思考，我們的等差數(shù)列的一階差分是什么，從而引出差分與數(shù)列的關(guān)系，例如，一階差分是常數(shù)列，則原數(shù)列就是線性數(shù)列，就是通常所說的等差數(shù)列。進(jìn)一步啟發(fā)式引導(dǎo)第二部分，差分與數(shù)列的升降、最值、凸凹之間的聯(lián)系。關(guān)于數(shù)列與差分的關(guān)系這部分知識點(diǎn)適合用啟發(fā)式的教學(xué)方法，因?yàn)檫@部分內(nèi)容有一些是前面課程涉及到的，可以前后聯(lián)系，啟發(fā)式教學(xué)可以使得學(xué)生使用聯(lián)系的眼光看問題，對知識有整體的把握。在形成有效的整體感的同時(shí)，增加對數(shù)列和差分這部分知識掌握的興趣。第三部分與前兩個(gè)部分可能沒有什么表面上的聯(lián)系。可以先介紹一下差分方程的一系列概念，如(非)齊次差分方程、(非)線性差分方程。然后啟發(fā)學(xué)生回想一下系數(shù)矩陣與方程組的關(guān)系，聯(lián)系現(xiàn)在學(xué)習(xí)的差分方程的解，思考兩者之間有什么相似處和不同處。這樣可以同時(shí)加深對這兩方面知識的掌握程度。在教學(xué)的過程中，要給足學(xué)生自己獨(dú)立思考、自己演算的時(shí)間，這樣他們對知識的理解將才有感性認(rèn)識。同時(shí)要尊重學(xué)生的對知識點(diǎn)“質(zhì)疑”，鼓勵(lì)學(xué)生將自己的“質(zhì)疑”說出來，因?yàn)檫@種“質(zhì)疑”就是他對這個(gè)知識的疑問，可能這也是其他學(xué)生都有的疑問，在教學(xué)的過程中暴露出來之后，教師進(jìn)行正確地引導(dǎo)，可以及時(shí)糾正這種對知識點(diǎn)認(rèn)識的偏差。

最后，布置一定的習(xí)題，鞏固其知識的掌握、糾正一些不正確的觀點(diǎn)，同時(shí)教師可以通過習(xí)題找出學(xué)生在哪些知識點(diǎn)上還存在問題，以便以后進(jìn)一步講解，綜合評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，分析教師的教學(xué)設(shè)計(jì)和方法是否存在進(jìn)一步改善的地方。

四、結(jié)語

數(shù)列和差分是離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念，是大學(xué)課程的一部分，近年來的教育改革，提出了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，大抓素質(zhì)能力養(yǎng)成，所以一些大學(xué)里較為簡單的知識點(diǎn)進(jìn)一步下放到高中，給學(xué)生提供進(jìn)一步探究的領(lǐng)域，有效地引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)的積極性和興趣。高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列和差分的內(nèi)容屬于選修部分，同時(shí)這一部分內(nèi)容難度還是很大的，對一些有能力的同學(xué)可以做適當(dāng)?shù)囊?，但是不能對全體學(xué)生提出完全掌握的要求?？傊魏螌ｎ}的教學(xué)設(shè)計(jì)都是多樣的，本人從自身的經(jīng)驗(yàn)角度，提出一些關(guān)于數(shù)列和差分專題的教學(xué)設(shè)計(jì)，望為他人教學(xué)提供有效參考。

［1］包蕾.高中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)的一般模式［J］.考試周報(bào)，2014，(65):122－123.

［2］李昌官.高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)研式教學(xué)”研究與實(shí)踐［J］.課程·教材·教法，2013，(2):234－235.