周菊玲， 周雅琦（.新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054；.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)上海00433）

基于一般分布總體的統(tǒng)計(jì)量的漸近分布

周菊玲1， 周雅琦2
（1.新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)上海200433）

在抽樣分布理論中，來(lái)自正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量中，以三大重要分布為代表的一些精確的抽樣分布，它們的應(yīng)用很廣，但為數(shù)不多。在其他情況下，總體為非正態(tài)總體或者總體的分布未知時(shí)，抽樣分布都不易導(dǎo)出，或?qū)С鲞^于復(fù)雜而難于應(yīng)用。文章利用大樣本的方法，結(jié)合Slutsky定理，研究了來(lái)自一般總體的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量，推出了它們的漸近分布。

Slutsky定理；統(tǒng)計(jì)量；漸近分布；

統(tǒng)計(jì)推斷的理論與方法貫穿于現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)中，抽樣分布理論是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。在抽樣分布理論中，至今已導(dǎo)出的χ2分布，t分布，F(xiàn)分布等，它們以來(lái)自正態(tài)總體、抽樣分布的精確性、應(yīng)用的廣泛性、為數(shù)不多尤為重要。但在其他情況下，總體為非正態(tài)總體或者總體的分布未知時(shí)，抽樣分布都不易導(dǎo)出，或?qū)С鲞^于復(fù)雜而難于應(yīng)用，這迫使人們?nèi)で笃浣品植?。文章利用大樣本的方法，結(jié)合Slutsky定理，研究了總體是一般分布或者分布未知情況下的幾種統(tǒng)計(jì)量A21、B2及其函數(shù)等，推出了它們的漸近分布。

1 預(yù)備知識(shí)

先引用幾個(gè)尋求統(tǒng)計(jì)量漸近分布的定理：

引理2 設(shè){Zn}為一隨機(jī)變量序列，且常數(shù)，又函數(shù)g（·）在點(diǎn)c處連續(xù)，則g（Zn）g（c）。

引理3 設(shè){an}為一趨于∞的數(shù)列，b為常數(shù)，并且對(duì)隨機(jī)變量序列{Zn}有an（Zn－b）Z。

又設(shè)g（·）為可微函數(shù)，且g＇在點(diǎn)b處連續(xù)，則有an［g（Zn）－g（b）］）Z。

引理4 設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自某總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，總體X的均值為μ、方差為σ2，四階中心矩v4＝E（Xi－μ）4有限，則樣本方差＝（Xi－）2的漸近分布為N（）。

另外，為敘述方便，先將下文中的一些符號(hào)給予說明。

設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自某總體X的一個(gè)樣本，

2 一般分布總體的統(tǒng)計(jì)量的漸近分布

在抽樣分布理論中，正態(tài)總體是實(shí)際中經(jīng)常用到的一個(gè)總體，來(lái)自該總體的χ2分布，t分布，F(xiàn)分布等一批精確分布，應(yīng)用非常廣泛，但為數(shù)不多。相對(duì)于正態(tài)總體來(lái)說，總體為非正態(tài)總體或者總體的分布未知時(shí)，要求抽樣分布的精確分布是非常不容易的，或?qū)С鲞^于復(fù)雜而難于應(yīng)用。下面我們利用大樣本方法，研究來(lái)自一般總體或總體分布未知時(shí)統(tǒng)計(jì)量的分布。

定理1 設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自某總體X的一個(gè)樣本，該總體具有均值μ和正的有限方差σ2，則統(tǒng)計(jì)量）的漸近分布為N（μ

由中心極限定理得：

考慮到A2＝B2＋A21，再用Slutsky定理，結(jié)合（1）式和（2）式，可得：A1＋μ2

這說明A2的漸近分布為N（σ2＋μ2。定理得證。

由定理2的證明過程知B2的漸近分布，仿照定理1和定理2的證明方法，構(gòu)造合適的函數(shù)，很容易可以得到以下結(jié)論（限于篇幅，證明略）。

推論1 設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自某總體X的一個(gè)樣本，則B2的漸近分布為N（σ。其中的σ2和γ2同定理2中的。

定理3 設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自某總體X的一個(gè)樣本，總體X具有均值μ和正的有限方差σ2，則樣本均值X—的函數(shù)g＝（1－）的漸近分布為N（μ（1－μ）。

證明 由中心極限定理知：

（其中Z0為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量），

另外取函數(shù)g（z）＝z（1－z），則g＇（z）＝1－2z在（－∞，＋∞）上均連續(xù)；再取an＝σ

n，b＝μ，則由引理3得：

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在總體為任意分布或者分布未知的情況下，利用大樣本方法，并結(jié)合Slutsky等引理，可以得到一些統(tǒng)計(jì)量的漸近分布。而且這些方法具有可推廣的意義，只要能構(gòu)造合適的函數(shù)，就可以得到更多的抽樣分布，以便進(jìn)行進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)推斷。

［1］茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］韋來(lái)生.數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：科學(xué)出版社，2008.

［3］盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［4］李開燦.矩陣Γ分布的一致漸近正態(tài)性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，（3）.

［5］任錄順.中心極限定理及其附注［J］.紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，1998，（12）.

The Asym ptotic Distribution of Various Statistics Based on the General Distribution

ZHOU JU－Ling1， ZHOU Ya－Qi2
（1.College ofMath－physics and Informatinon Science，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China；2.College of Finance and Economics，Shanghai University，Shanghai，200433，China）

In sampling distribution theory，among statistics from normal population，some accurate sampling distributions represented by three important distributions arewell－used but few in number.In other cases，when the population is notnormal distribution or the distribution is unknown，sampling distributions are noteasily derived，or too hard to apply due to the sophisticated process.In this assay，with Slutsky＇s theorem and big samplemethod，we studied several statistics from common population and abtain their asymptotic distributions.

Slutsky＇s Theorem；Statistic；Asymptotic distribution

O29

A

1008?9659（2015）02?042?04

2015－03－20

周菊玲（1968－），女，新疆哈密人，碩士，副教授，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。