陳 燕

（西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué)，江蘇 蘇州 215021）

遞推法是一種研究問題的基本方法，它是從認識個別的、特殊的事物推出一般原理和普遍事物.特別是數(shù)學(xué)遞推法對人的思辨性思維要求較高，要根據(jù)已有的前提條件，進行歸納和邏輯推導(dǎo)，進而得到最終的結(jié)論.凡涉及遞推法求解的物理問題都具有過程多、重復(fù)性強的特點，但每一個重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)，隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化.

利用遞推法求解物理問題基本思路為：先分析某一次物理過程，得出結(jié)論；再逐個分析多個相近的物理過程，得出結(jié)論；最后利用遞推思想找出任意情況下的通式，歸納出各個物理量間的關(guān)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法或規(guī)律求解出物理問題.

下面筆者通過近3年來江蘇高考物理試卷中的幾道題的解法分析，談?wù)勥f推法在高中物理解題中的妙用.

1 研究過程有規(guī)律重復(fù)時可使用遞推法

圖1 質(zhì)譜儀工作原理圖

（1）求原本打在MN中點P的離子質(zhì)量m；

（2）為使原本打在P的離子能打在QN區(qū)域，求加速電壓U的調(diào)節(jié)范圍；

（3）為了在QN區(qū)域?qū)⒃敬蛟贛Q區(qū)域的所有離子檢測完整，求需要調(diào)節(jié)U的最少次數(shù)（取lg2＝0.301，lg3＝0.477，lg5＝0.699）.

解析：（1）離子在電場中加速，有

在磁場中做勻速圓周運動，有

由（1）、（2）兩式可得

（3）此題作為高考物理試題的最后一道計算題的最后一小題，讓不少學(xué)生望而生畏.絕大多數(shù)學(xué)生對于這一小題，找不到切入的方法.其實審清題目要求后，我們可以分析出要能在QN檢測出所有MQ間的離子，則要調(diào)節(jié)電壓變大，使離子半徑增大，打在采集器上的落點向右移，但是打在最右邊的離子不能超出N點，否則就檢測不到，于是我們可以把MQ區(qū)域分割成很多小區(qū)域，把打在一個個小區(qū)域的離子往右側(cè)調(diào)，使它剛好可以打到QN區(qū)域.第1次調(diào)節(jié)到某個電壓，剛好可以使原本打在Q點的離子打到N點，而原本打在Q1的離子剛好可以打到Q點，第2次調(diào)節(jié)只要使原本打在Q1的離子能打到N點，而原本打在Q2的離子剛好可以打到Q點，則第3次調(diào)節(jié)只要使原本打在Q2的離子能打到N點，而原本打在Q3的離子剛好可以打到Q點，以此類推，如圖2所示，就可以歸納出題目的規(guī)律和特點.具體解答如下：

圖2

由（1）式可知，r∝，第1次調(diào)節(jié)電壓到U1，使原本打在區(qū)域Q1Q的離子恰好能打到QN，則原本打在Q點的離子打在N點，滿足

原本打在半徑Q1點（半徑r1）的離子打在Q點，滿足

兩式相比可得Q1處離子運動半徑為r1＝（5/6）2L.

第2次調(diào)節(jié)電壓到U2，使原本打在區(qū)域Q2Q1的離子恰好能打到QN，則原本打在Q1點［半徑r1＝（5/6）2L］的離子打在N點滿足

原本打在半徑Q2點（半徑r2）的離子打在Q點滿足

兩式相比可得Q2點處離子運動半徑為r2＝（5/6）3L.

同理可得，第n次調(diào)節(jié)電壓Un，可將打在Qn點（半徑為rn）的離子打在Q點，rn＝（5/6）nL，

此問題的分析和研究過程具有規(guī)律性的重復(fù)，我們只需分析最初幾次規(guī)律，就可以通過遞推歸納出問題要滿足的條件，因此，像這種對于研究過程具有規(guī)律性重復(fù)的問題我們通?？梢允褂眠f推法解題.

2 運動過程有周期性變化時可使用遞推法

例2.（2014年江蘇高考第14題）某裝置用磁場控制帶電粒子的運動，工作原理如圖3所示.裝置的長為L，上下兩個相同的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小均為B、方向與紙面垂直且相反，兩磁場的間距為d.裝置右端有一收集板，M、N、P為板上的3點，M位于軸線OO′上，N、P分別位于下磁場的上、下邊界上.在紙面內(nèi)，質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子以某一速度從裝置左端的中點射入，方向與軸線成30°角，經(jīng)過上方的磁場區(qū)域一次，恰好到達P點.改變粒子入射速度的大小，可以控制粒子到達收集板上的位置.不計粒子的重力.

圖3 磁場控制帶電粒子運動的工作原理圖

（1）求磁場區(qū)域的寬度h；

（2）欲使粒子到達收集板的位置從P點移到N點，求粒子入射速度的最小變化量Δv；

（3）欲使粒子到達M點，求粒子入射速度大小的可能值.

解析：（1）設(shè)粒子在磁場中的軌道半徑為r，根據(jù)題意可得，

（2）設(shè)改變?nèi)肷渌俣群罅Ｗ釉诖艌鲋械能壍腊霃綖閞′，則

由題意得 3rsin30°＝3r′sin30°，解得

（3）如圖4所示，粒子要能上移到M點，則入射速度要變小，在區(qū)域內(nèi)至少2次通過上下磁場（若小于2次，則半徑太大，粒子要從磁場的上邊界飛出，脫離區(qū)域運動），作出運動軌跡圖像，可以看出，如果粒子要能到達M點，可能是通過2次磁場后到A點時剛好到達M點，也可以速度再小，則3次通過磁場后到C點恰好是到達M點，以此類推，如果速度更小，還可能4次通過磁場后到達M點、5次通過磁場后通過M點，粒子在區(qū)域中的運動具有周期性變化的規(guī)律.具體解法如下：

圖4

第1種可能是2次通過磁場后到達M點，有

L＝4dcos30°＋4rsin30°，

第2種可能是3次通過磁場后到達M點，有

L＝6dcos30°＋6rsin30°，

第3種可能是4次通過磁場后到達M點，有

L＝8dcos30°＋8rsin30°，

同理可推得第n種可能滿足規(guī)律

L＝（2n＋2）dcos30°＋（2n＋2）rnsin30°.解出粒子在磁場中做圓周運動的半徑滿足的條件為

此題最大的特點就是粒子在區(qū)域中運動具有完美的周期性，我們只要抓住區(qū)域長度，分析最初幾次能到達M點滿足的關(guān)系式，就可以遞推出所有可能到達M點要滿足的條件，因此，像這種對于物體運動過程具有周期性變化特征的問題我們也常常從遞推法入手找規(guī)律.

圖5

（1）求P在磁場中運動時速度的大小v0；

（2）求B0應(yīng)滿足的關(guān)系；

圖6

（2）只有當t＝2τ時，P在磁場中做圓周運動結(jié)束，再開始沿x軸負方向運動，才能沿一定軌道做往復(fù)運動，如圖6所示.

設(shè)P在磁場中做圓周運動的周期為T.則由遞推法可知

由勻速圓周運動有

圖7

此后P的運動情況與上述運動完全相同，可以遞推出速度為0的時刻橫坐標x＝0，縱坐標由A、B兩種情況，遞推出規(guī)律滿足

代入r1、r2解得

此題的特點就是粒子P運動過程比較復(fù)雜，且具有周期性，我們只需要分析出一個過程的運動情況就可以遞推出粒子做周期性運動的規(guī)律，從而尋找到解題的辦法.