孫智勇 王金聚

（浙江省溫州中學(xué)，浙江 溫州 325000）

幾何作圖法充分運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想，把抽象而繁雜的物理過(guò)程轉(zhuǎn)化成一幅幅具體而清晰的物理圖像，將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)個(gè)幾何問(wèn)題.通過(guò)幾何圖形所蘊(yùn)含的物理意義從圖中來(lái)尋求答案，既直觀形象，又易于理解，且避免了一些繁瑣的推理與計(jì)算，對(duì)啟迪學(xué)生的思維、拓展學(xué)生的思路、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有著不可替代的重要意義.

下面通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例，來(lái)展示一下幾何作圖法在高中物理教學(xué)中的妙用.

1 求作形狀規(guī)則薄板的重心

質(zhì)量分布均勻的物體，其重心的位置只跟物體的形狀有關(guān).形狀規(guī)則且質(zhì)量分布均勻的物體，其重心的位置就在物體的幾何中心.由此，我們可以通過(guò)幾何作圖的方法，來(lái)求作均質(zhì)且形狀規(guī)則的物體的重心位置.

例1.有一塊如圖1所示的均勻薄板ABCDEF，試用作圖法求出其重心的位置.

解析：求作重心的步驟如下.

（1）如圖2所示，沿DC方向?qū)⒈“宸指畛缮?、下兩個(gè)長(zhǎng)方形，分別連接對(duì)角線找出其各自的重心O1、O2，則其整體的重心必在O1O2的連線上；

（2）如圖3所示，沿BC方向?qū)⒈“宸指畛勺?、右兩個(gè)長(zhǎng)方形，分別連接對(duì)角線找出其各自的重心O3、O4，則其整體的重心必在O3O4的連線上；

（3）如圖4所示，連接線段O1O2、O3O4，其交點(diǎn)O即為整體的重心.

圖1

圖2

圖3

圖4

2 作等時(shí)圓來(lái)解決最短時(shí)間問(wèn)題

從豎直圓環(huán)的最高點(diǎn)沿任意光滑弦軌道滑到圓環(huán)的時(shí)間都相等，這樣的圓被稱為“等時(shí)圓”.當(dāng)碰到豎直面內(nèi)的最短時(shí)間問(wèn)題時(shí)，我們不妨考慮一下畫“等時(shí)圓”.

例2.如圖5所示，質(zhì)點(diǎn)自傾角為α的斜面上方定點(diǎn)O沿光滑的斜槽從靜止開始下滑，為使質(zhì)點(diǎn)在最短時(shí)間內(nèi)從O點(diǎn)到達(dá)斜面，斜槽與豎直方向的夾角β應(yīng)等于多少？

解析：如圖6所示，以經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的豎直線上的一點(diǎn)O′為圓心，OO′為半徑作圓，并使該圓與斜面恰好相切于A點(diǎn)，與OO′延長(zhǎng)線交于B點(diǎn).由于從O點(diǎn)由靜止出發(fā)沿傾角不同的光滑斜面下滑的質(zhì)點(diǎn)，到達(dá)圓周上不同點(diǎn)所需時(shí)間相等，所以可以看出，質(zhì)點(diǎn)沿OA方向從靜止開始滑到斜面上所需時(shí)間比沿其他方向滑到斜面上所需要的時(shí)間都要短.

圖5

圖6

3 作矢量三角形

對(duì)于3個(gè)共點(diǎn)力作用下物體的平衡問(wèn)題，根據(jù)矢量三角形法則，我們常作出由3個(gè)力的圖示矢量為邊長(zhǎng)的矢量三角形，然后由三角形中各邊、角之間的數(shù)學(xué)關(guān)系求解.實(shí)際上，對(duì)于4個(gè)及更多的共點(diǎn)力平衡的情況，我們也可以想辦法利用三角形法則，那就是先把某些力合成，合成到只剩3個(gè)力的時(shí)候，再作矢量三角形就可以了.

圖7

圖8

圖9

4 作等效運(yùn)動(dòng)路線圖

例如你先以速率v1慢跑了一段時(shí)間t1，接著以速率v2快跑了一段時(shí)間t2，當(dāng)我們研究你運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間的時(shí)候，我們不妨把這兩種運(yùn)動(dòng)“合二為一”，即看作是你一直在慢跑或快跑.具體而言，若看作一直在慢跑，則慢跑的總路程為v1（t1＋t2）；若看作一直在快跑，則快跑的總路程則為v2（t1＋t2），這兩種看法都能保證你運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間未發(fā)生改變.對(duì)某些運(yùn)動(dòng)這種簡(jiǎn)單、等效的轉(zhuǎn)換，對(duì)解一些復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有時(shí)會(huì)收到意想不到的效果.

例4.設(shè)湖岸MN為一直線，有一小船自岸邊的A點(diǎn)沿與湖岸成α＝15°角方向勻速向湖中駛?cè)?有一人自A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，他先沿岸行走一段路程再入水中游泳去追船.已知人在岸上行走的速度為v1＝4m/s，在水中游泳的速度為v2＝2m/s.試求船速至多不能超過(guò)多大，才能確保此人能夠追上小船？

圖10

圖11

解析：如圖11所示，設(shè)人在B點(diǎn)追上船，則人到達(dá)B點(diǎn)可能有很多途徑，如A→C→B，A→D→B，A→E→B等，這些途徑中耗時(shí)最少的途徑對(duì)應(yīng)著允許的最大船速，作∠NAP＝30°，并分別作CK、DH、EF垂直AP，其中設(shè)BDH為直線.又設(shè)想MN線下方的湖岸也變成湖水區(qū)域，因?yàn)锳C＝2CK，所以人由K點(diǎn)游泳到C點(diǎn)所用時(shí)間與人在岸上由A點(diǎn)走到C點(diǎn)所用時(shí)間是相等的.故人按題設(shè)情況經(jīng)路徑A→C→B所用時(shí)間與假想人全部在水中游泳游過(guò)路徑K→C→B所用時(shí)間相等，同理，人按題設(shè)情況經(jīng)路徑A→D→B所用時(shí)間與假想人全部在水中游泳游過(guò)路徑H→D→B所用時(shí)間相等，人按題設(shè)情況經(jīng)路徑A→E→B所用時(shí)間與假想人全部在水中游泳游過(guò)路徑F→E→B所用時(shí)間相等.顯然，在這些途徑中，因?yàn)镠DB是直線，因此所用時(shí)間最少.

由以上分析可知，人沿等效途徑HDB游泳就能費(fèi)時(shí)最少地剛好追上船，這對(duì)應(yīng)著小船具有最大的船速，設(shè)為vmax，則有

因?yàn)椤鰽HB是等腰直角三角形，所以AB＝BH.故得

5 用圓的半徑來(lái)表示大小不變的旋轉(zhuǎn)矢量

在求解兩個(gè)力的合成時(shí)，若其中的一個(gè)分力大小不變且合力的方向也保持不變，此時(shí)可以以合力的作用點(diǎn)為圓心，大小不變的那個(gè)力為半徑作圓，然后來(lái)討論另一個(gè)分力的變化情況，會(huì)使另一分力的變化情況非常明顯地顯示出來(lái)，這是個(gè)十分簡(jiǎn)潔明快的方法.

例5.在兩個(gè)共點(diǎn)力合成的實(shí)驗(yàn)中，用A、B兩個(gè)測(cè)力計(jì)拉橡皮條的結(jié)點(diǎn)，使其處于O處，如圖12所示，此時(shí)α＋β＝90°.然后保持A的讀數(shù)不變，當(dāng)α角由圖12所示的大小逐漸減小時(shí)，要使結(jié)點(diǎn)仍在O處，可以采用的辦法是

（A）增大B的讀數(shù)，同時(shí)減小β角.

（B）增大B的讀數(shù)，同時(shí)增大β角.

（C）減小B的讀數(shù)，同時(shí)減小β角.

（D）減小B的讀數(shù)，同時(shí)增大β角.

解析：對(duì)結(jié)點(diǎn)O來(lái)說(shuō)，受測(cè)力計(jì)A、B的拉力FA、FB和橡皮筋的拉力FT作用.當(dāng)α逐漸減小時(shí)，要使結(jié)點(diǎn)的位置不改變，說(shuō)明橡皮筋所受的拉力FT不能改變，由共點(diǎn)力的平衡條件可知，F(xiàn)A、FB的合力也不變.

圖12

圖13

以結(jié)點(diǎn)O為圓心，F(xiàn)A的大小為半徑畫圓，如圖13所示，當(dāng)FA繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，即α角逐漸減小時(shí)，由三角形法則作出一系列矢量合成圖.由圖可看出，F(xiàn)A1→FA2，α逐漸減小時(shí)，要使結(jié)點(diǎn)仍在O處，F(xiàn)B及β角均應(yīng)減小，故正確選項(xiàng)為（C）.

6 利用同心圓解決光的折射問(wèn)題

在光的折射現(xiàn)象中，如果已知入射光線的方向和兩種介質(zhì)的折射率，我們可以用幾何作圖法借助畫同心圓來(lái)作出折射光線的方向.當(dāng)光線由介質(zhì)射向真空時(shí)，入射角增大到一定程度就會(huì)發(fā)生全反射現(xiàn)象，對(duì)于發(fā)生全反射現(xiàn)象的臨界角的大小，類似地，也可以用畫同心圓的辦法求得.

6.1 利用同心圓求作折射光線

例6.如圖14所示，一束光線由真空射向折射率為n的某種介質(zhì)，入射點(diǎn)為O，試用圓規(guī)、刻度尺、三角板等工具用作圖法作出折射光線的方向.

解析：作圖法求作折射光線的步驟如下.

圖14

（1）以入射點(diǎn)為圓心，以1和介質(zhì)折射率n為半徑做兩個(gè)圓⊙P和⊙Q，如圖15所示.

（2）延長(zhǎng)入射光線，與⊙P交于點(diǎn)D，過(guò)D點(diǎn)做界面的垂線（或法線的平行線），交⊙Q于C點(diǎn).

（3）連接OC即為折射光線.

上述作圖法的證明：由圖15中的幾何關(guān)系可知，入射角i等于∠ODE，折射角r等于∠OCE.在直角△OED和直角△OEC中，可得

圖15

6.2 利用同心圓求作全反射的臨界角

圖16

如圖16所示，一折射率為n的介質(zhì)，介面為AA′，其上為真空，當(dāng)光線由介質(zhì)內(nèi)射向介面AA′時(shí)，它發(fā)生全反射現(xiàn)象的臨界角怎樣用幾何作圖法作出呢？

作法：（1）作出過(guò)O點(diǎn)的法線ON；（2）以O(shè)為圓心，分別以1和n為半徑作兩個(gè)同心圓⊙M和⊙Q；（3）過(guò)介面與內(nèi)圓的交點(diǎn)P作介面AA′的垂線交外圓于D點(diǎn)；（4）連接DO，則∠DON就是我們所要求作的臨界角C.

作法證明：在圖16中，由直角三角形ODP可以得到

不難看出，幾何作圖法直觀、形象，一目了然，更易于凸顯各物理量之間的相互關(guān)系，能使抽象問(wèn)題具體化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.在中學(xué)課堂里恰當(dāng)?shù)亟榻B幾何作圖法，對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、拓展思路、啟迪創(chuàng)新思維、提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，都具有重要的意義.