孔猛

（北京師范大學(xué)珠海分校工程技術(shù)學(xué)院北京519087）

含左手材料與Kerr 非線性不定介質(zhì)缺陷層一維光子晶體雙穩(wěn)態(tài)位移的動態(tài)調(diào)制

孔猛

（北京師范大學(xué)珠海分校工程技術(shù)學(xué)院北京519087）

根據(jù)傳輸矩陣法和穩(wěn)態(tài)相位理論，在五個不同的頻率范圍內(nèi)研究光束在含左手材料與Kerr非線性不定介質(zhì)缺陷層一維光子晶體中的非線性傳播特性。結(jié)果表明：當(dāng)非線性不定介質(zhì)缺陷層為cut-off和never cut-off介質(zhì)時，透射光強(qiáng)隨入射光強(qiáng)的變化呈S-型曲線關(guān)系，也就是說透射光強(qiáng)與入射光強(qiáng)存在光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)特性。同時，透射光束的橫向位移隨入射強(qiáng)度也呈現(xiàn)出回滯曲線響應(yīng)關(guān)系，并且通過改變?nèi)肷涔馐念l率，可以實現(xiàn)一維光子晶體橫向透射位移的動態(tài)調(diào)制。

一維光子晶體非線性不定介質(zhì)雙穩(wěn)態(tài)位移

一堯引言

隨著人造媒介的發(fā)展，特別是超常材料（metamaterials）[1]的出現(xiàn)大大的拓展了電磁材料的特性研究。典型的超常材料如介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ同時為負(fù)值的負(fù)折射率材料，因為電磁波在這種材料中傳輸時其波矢→，電場→和磁場→形成了左手關(guān)系[5]，故又稱為左手材料（left-handed materials）。電磁波在左手材料中傳輸時會出現(xiàn)許多反常物理現(xiàn)象，如負(fù)折射率、逆Doppler效應(yīng)、逆Cherenkov效應(yīng)和完美透鏡等[2]。值得關(guān)注的是，D. R. Smith等[3]首次發(fā)現(xiàn)各向異性的特異材料——不定介質(zhì)（indefinite metamaterials），不定介質(zhì)這一新型材料立即成為物理學(xué)，微電子學(xué)以及信息技術(shù)等領(lǐng)域的研究熱點。

近年來，隨著對GH（Goos-H?nchen）位移[4]研究的深入，非線性GH位移亦引起了廣泛關(guān)注，如O. Emile等[5]在實驗上探測到自聚焦Kerr非線性介質(zhì)界面處的非線性GH位移，Y. S. Kivshar等[6]研究了空間光孤子在向列液晶表面處的非線性GH位移特性，P. Hou等[7]研究了含通常Kerr非線性缺陷一維光子晶體雙穩(wěn)態(tài)位移的特性等。本文研究光束在含左手材料與Kerr非線性不定介質(zhì)缺陷層一維光子晶體中的非線性傳播特性，分析入射頻率對雙穩(wěn)態(tài)位移的影響。

二、物理模型與推導(dǎo)

考慮一個對稱的多層膜結(jié)構(gòu)(AB)mANA( BA)m作為一維有限維光子晶體結(jié)構(gòu)，晶體兩側(cè)的對稱介質(zhì)C(εC,μC)為右手線性材料。A(εA,μA)為右手線性材料，B(εB,μB)為左手線性材料，N(?N,?N)為非線性不定介質(zhì)，m為周期數(shù)。介質(zhì)層A，B和N的幾何厚度分別為dA，dB和dN。由于非線性各向異性超常材料的介電常數(shù)ε?N和磁導(dǎo)率μ?N是二階張量，為使討論的問題簡化，D. R. Smith等[8]假定材料的結(jié)構(gòu)參數(shù)ε?N和μ?N可以同時對角化。在這種情況下，介電張量和磁導(dǎo)率張量可分別表示為：

其對角分量εxx可以表示為，ε和χ分別為該分量的線性介電

x3常數(shù)和Kerr非線性系數(shù)。為簡單起見，我們忽略非線性材料的吸收特性。εx，μyy和μzz的色散關(guān)系可通過Drude模型來描述，即：（2）

其中Ω=ω/ ωp為歸一化的入射光頻率，Ωry=ωry/ωp和Ωrz=ωrz/ωp分別為y方向和z方向上的歸一化磁共振頻率，ωp為電等離子頻率，F(xiàn)y和Fz分別表示開口環(huán)諧振腔在y方向和z方向所占區(qū)域的比例系數(shù)。

假設(shè)一角頻率為ω的平面電磁波從左側(cè)各向同性均勻右手材料中以入射角θ0入射到光子晶體中。我們假定入射電磁波的波矢位于y-z平面，入射電磁波的電場可以表示為，其中β和k分別是入射電磁波Cz波矢在分界面y方向和z方向的分量，。這里我們只考慮TE偏振波，對于TM偏振波的處理方法類似。

根據(jù)Maxwell方程組及邊界條件，相鄰任意兩層的電場分量和磁場分量可以通過傳輸矩陣相連接[9] 。對于Kerr非線性不定介質(zhì)層，傳輸矩陣可表示為：（3）

式中，kz+和kz-分別為前向波和后向波波矢在z方向上的分量，且他們均依賴于前向波和后向波的電場強(qiáng)度U±，即：（4）

+-Nz不考慮非線性效應(yīng)時缺陷層中電磁波波矢在z方向上的分量，滿足以下形式：（5）

這里要注意的一點是kNz的符號必須與μyy保持一致[10]。

對于一給定參數(shù)的透射強(qiáng)度，我們可采用定點迭代法[11]求解一組關(guān)于U±的非線性耦合方程，便可以得到Kerr非線性不定介質(zhì)層傳輸矩陣MN的具體形式。利用傳輸矩陣法，可以得到透射系數(shù)：（6）

三、數(shù)值計算與分析

由式（2）可知，通過調(diào)整相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與入射光頻率，可以在不考慮非線性效應(yīng)的情況下實現(xiàn)對不定介質(zhì)張量元εx，μyy和μzz正負(fù)符號的轉(zhuǎn)換。從式（5）可看出，正是由于張量元εx，μyy和μzz不同符號的組合，使得這種材料的色散關(guān)系或者為橢圓關(guān)系，或者為雙曲線關(guān)系。因此不同類型的Kerr非線性不定介質(zhì)將會對一維光子晶體的電磁傳播特性產(chǎn)生不同的影響。在計算中，各物理參數(shù)選擇如下：對于Kerr非線性不定介質(zhì)N[13]，F(xiàn)y=0.56，F(xiàn)z=0.78，ωp/2π=18.4GHz ，ωry/2π=ωrz/2π=15.3GHz，χ3=0.01，對于線性材料A，B和C[14]，εA=5.29，εB=-2.46，εC=6.25，μA=μC=1.00，μB=-1.00，m=3。Kerr非線性不定介質(zhì)的張量元εx，μyy和μzz均與入射頻率有關(guān)，在不同的入射頻率范圍內(nèi)這些物理量有著不同的符號，為了更明確地研究光束在含左手材料與Kerr非線性不定介質(zhì)缺陷層一維光子晶體中的電磁傳播特性，接下來我們將在五個不同的入射頻率范圍分別進(jìn)行討論。

（i）0＜Ω＜0.8315，此時εx＜0，μyy＞0，μzz＞0，即always cut-off 介質(zhì)的一種情況。在這種情況下，kN2z總是負(fù)值，任何電磁波都不會透過這種介質(zhì)板，而是被全部反射回來。

（ii）0.8315＜Ω＜1，這里εx＜0，μyy＜0，μzz＜0，此時當(dāng)入射角θ0滿足θ0＜θc=arcsin時，由式（5）可知，波矢kNz為實數(shù)。那么，電磁波便可以透過含此類型的非線性不定介質(zhì)的一維光子晶體。這種材料是cut-off 介質(zhì)的一種情況，在不考慮Kerr非線性效應(yīng)時，具有負(fù)折射效應(yīng)。

（iii）1＜Ω＜1.2536，這里εx＞0，μyy＜0，μzz＜0，即always cut-off 介質(zhì)的另一種情況，電磁傳播特性與（i）類似。

（iv）1.2536＜Ω＜1.7728，這時εx＞0，μyy＞0，μzz＜0，在這種情況下，kN2

z總是正值，任何電磁波都可以在含這種never cut-off非線性不定介質(zhì)的一維光子晶體中傳播。因此，當(dāng)光束以任何角度入射到這樣的一維光子晶體時，均可以產(chǎn)生透射位移。

（v）1.7728＜Ω，此時εx＞0，μyy＞0，μzz＞0，即cut-off 介質(zhì)的另一種情況。當(dāng)入射角θ0滿足條件θ0＜θc=arcsin時，由式（5）可知，電磁波同樣也可以透過含此類型的非線性不定介質(zhì)的一維光子晶體。

下面，我們針對（ii）,（iv）,（v）三種情況下的非線性傳播特性分別進(jìn)行詳細(xì)討論與分析。

3.1 0 .8315＜Ω＜1（εx＜0，μyy＜0，μzz＜0）

當(dāng)Kerr非線性結(jié)構(gòu)作為缺陷嵌入到一維光子晶體的中間時，禁帶中相應(yīng)出現(xiàn)缺陷模頻率。由于缺陷層中強(qiáng)烈的非線性效應(yīng)，導(dǎo)致缺陷模頻率隨入射光強(qiáng)度

的改變發(fā)生移動，當(dāng)缺陷模頻率與入射光頻率接近時，產(chǎn)生雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象[15]。數(shù)值計算中，我們采用的參數(shù)為：θ0=20°，ω/2π=16.07GHz ，

根據(jù)穩(wěn)態(tài)相位法分析，曲線的斜率表明透射光束的雙穩(wěn)態(tài)GH位移為負(fù)值。在一個非常狹窄的β區(qū)間內(nèi)（β/k0=0.8551），當(dāng)入射光強(qiáng)度在[1.31500,1.40600]區(qū)間內(nèi)增大時，曲線斜率突然變陡，表示透射光束的GH位移S在高閾值點2處發(fā)生躍變，下跳到一個較大值；當(dāng)入射光強(qiáng)度在區(qū)間[0.04092,0.02669]內(nèi)減小時，曲線斜率發(fā)生躍變，即S在低閾值點1處達(dá)到負(fù)最大，然后上跳到一個較小值。

此時一頻率為ω/2π=25.17GHz的平面電磁波從左側(cè)各向同性均勻右手材料中以入射角θ0=30°入射到含這種never cut-off非線性不定介質(zhì)的一維光子晶體中，在這種情況下，可以得到負(fù)的雙穩(wěn)態(tài)GH位移。此時所得的結(jié)果與（ii）類似，但雙穩(wěn)態(tài)GH位移的峰值略小，僅為10.65個波長。透射光束相位φt在高閾值與低閾值處發(fā)生跳變。

當(dāng)入射光強(qiáng)度從一個大于高閾值點處的值開始減小時，S隨之增大，當(dāng)入射光強(qiáng)度減小到低閾值點時，S在此處達(dá)到正最大值。透射光束相位tφ的斜率在高閾值與低閾值處發(fā)生躍變，這恰恰說明了透射光束雙穩(wěn)態(tài)GH位移的合理性。

四、結(jié)論

本文利用傳輸矩陣法和穩(wěn)態(tài)相位理論，在五個不同的頻率范圍內(nèi)研究了光束在含左手材料與Kerr非線性不定介質(zhì)缺陷層一維光子晶體中的非線性傳播特性。研究表明當(dāng)非線性不定介質(zhì)缺陷層為cut-off和never cut-off介質(zhì)時，透射光強(qiáng)與入射光強(qiáng)存在光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)特性。。研究成果為制作高性能的光電探測及光開關(guān)器件提供了有益的參考。

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