【關(guān)鍵詞】極限可以表示為、數(shù)列的上升趨勢(shì)的極大限制值、數(shù)列下降趨勢(shì)的極小限制值。

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）03-0220-03

關(guān)于數(shù)學(xué)極限定義的發(fā)展歷史，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院一年級(jí)目前使用的課本數(shù)學(xué)分析（第一冊(cè)）的31面這樣寫道：“……，其實(shí)，給出其精確的定義并非一件易事，經(jīng)過(guò)眾多數(shù)學(xué)家的不懈努力和不斷探索，直到19世紀(jì)才有了數(shù)學(xué)上的如下定義：”這里所說(shuō)的如下定義就是當(dāng)前世界上各大學(xué)理工師范財(cái)經(jīng)等專業(yè)所用的數(shù)學(xué)分析課本里使用的極限定義。

從19世紀(jì)以來(lái)，在世界各大學(xué)已用了一、二百年了，對(duì)于這個(gè)傳統(tǒng)性定義，師生們都覺(jué)得難教難學(xué)，傳統(tǒng)性定義詞句敘述別扭。而今我用極限無(wú)縫隙論，用極限表示數(shù)列上升趨勢(shì)里的極大限制值、下降趨勢(shì)里的極小限制值，引入極限概念，并形象的給出其定義。

請(qǐng)看如下：

（一）“數(shù)列f（n）無(wú)縫隙靠近于某常數(shù)A”及其檢驗(yàn)方法。

請(qǐng)看例題1：比較數(shù)列f（n）={3+ }和常數(shù)3之關(guān)系。

再看例題2，比較數(shù)列f（n）={4+ }和常數(shù)3之關(guān)系。

解：通過(guò)畫圖，可以看出數(shù)列f（n）隨著項(xiàng)數(shù)n的增大，也是越來(lái)越靠近于數(shù)3的（你總不能說(shuō)f（n）越來(lái)越遠(yuǎn)離于直線y=3的吧）但是這種靠近和例題1的靠近是截然不同的。

所以對(duì)于任意小的L>0，數(shù)列f（n）= {3+}從第[lg]項(xiàng)起以后所有的一切項(xiàng)使得數(shù)列f（n）與數(shù)3的距離都小于L，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，這就是任意小的距離L，都存在著數(shù)列f（n）={3+}的項(xiàng)，因而數(shù)列f（n） ={3+}與數(shù)3不存在任何空隙，不存在任何縫隙。也就是說(shuō)數(shù)列f（n）是無(wú)任何間隙的、是無(wú)縫隙的靠近于常數(shù)y=3的。

這樣，從以上我們便得出考查數(shù)列f（n）是無(wú)縫隙的靠近于某常數(shù)A的方法是：用從數(shù)列f（n）到直線y=A的距離小于任意小的正數(shù)L的不等式，|f（n）-A|

（二）對(duì)極限原由的探索：極限可以理解為數(shù)列f（n）上升趨勢(shì)里的極大限制值，下降趨勢(shì)里極小的限制值。

我們考查如下幾個(gè)數(shù)列：

例題1、數(shù)列f（n）={3-}n∈N+，a 1=2.9 ， a2=2.99 ， a3=2.999 ， a4=2.9999， a5=2.99999，a6=2.999999……，變化趨勢(shì)是逐漸上升的，f（n）無(wú)縫隙的靠近于3，但不等于3，極大限制值是3。簡(jiǎn)稱極限是3。

例題2、數(shù)列f（n）={3+ }， n∈N+ ，a1=3.1 ， a2=3.01 ， a3=3.001 ， a4=3.0001 ， a5=3.00001， a6=3.000001變化趨勢(shì)是逐漸下降，無(wú)縫隙的靠近于3，但又不等于3，極小限制值是3。簡(jiǎn)稱極限是3。

f（n）的值忽而大于3，忽而小于3，在這里數(shù)列f（n）存在著兩個(gè)變化趨勢(shì)。一個(gè)是在直線y=3的上方是下降趨勢(shì)，在直線y=3的下方是上升趨勢(shì)，在這兩個(gè)趨勢(shì)里，在下降的趨勢(shì)下，y=3是f（n）的極小限制值。在上升的趨勢(shì)下，y=3是數(shù)列f（n）的極大限制值。綜合以上常數(shù)y=3是數(shù)列f（n）的下降趨勢(shì)的極小限制，f（n）上升趨勢(shì)的極大限制，簡(jiǎn)稱為極限。像上面數(shù)列f（n）的極限是3，f（n）不外乎是從直線y=3的上（下）方一側(cè)無(wú)縫隙的靠近于y=3的，也可能從直線y=3的上、下兩側(cè)同時(shí)無(wú)縫隙的靠近y=3的，別無(wú)他樣了。就這樣它們都被統(tǒng)一在下降（上升）趨勢(shì)里的極小（大）限制里了，簡(jiǎn)稱極限。它們都被統(tǒng)一在極限概念之下了。（至于一般數(shù)列f（n）或函數(shù)的極限是A，也是同這一樣。）

（三）f（n）極限是A；數(shù)列f（n）無(wú)縫隙靠近于A；|f（n）-A|

上面引入了極限的概念。例如數(shù)列f（n）={3+}的極小限制值是3，f（n）的極限是3。數(shù)列f（n）的極限是3也好，數(shù)列f（n）無(wú)縫隙的靠近于3也罷，它們都是在數(shù)列f（n）的項(xiàng)數(shù)n無(wú)限制的增大時(shí)才呈現(xiàn)出的一種景象，這兩個(gè)景象是一致的，是相同的，是等價(jià)的。

從而一般的說(shuō)來(lái)，“數(shù)列f（n）的極是A”；“數(shù)列f（n）無(wú)縫隙的靠近于A”，“不等式|f（n）-A|

（四）極限的定義（描述性）

由于數(shù)列f（n）的極限是A和數(shù)列f（n）無(wú)縫隙地靠近于常數(shù)A，二者是等價(jià)的，所以我們可以引用極限的定義如下：

已知數(shù)列f（n），又已知一個(gè)常數(shù)A，如果f（n）隨著項(xiàng)數(shù)n的無(wú)限制增大，f（n）無(wú)縫隙的靠近于常數(shù)A，那么常數(shù)A就叫做數(shù)列f（n）的極限。這個(gè)描述性定義，只是用于理解極限的概念之用，但不能參于算式的計(jì)算，所以還必須有極限嚴(yán)密性的定義。

（五）數(shù)列f（n）梁齊天極限的（嚴(yán)密性）定義

由于“數(shù)列f（n）的極限是A”和“對(duì)于任意小的正數(shù)L，|f（n）-A|

已知數(shù)列f（n），n∈N+，又已知一個(gè)常數(shù)A，若對(duì)于任意小的正數(shù)L，都能從f（n）與數(shù)A的距離|f（n）-A|小于L的不等式|f（n）-A|

f（n）的極限是A，就稱數(shù)列f（n）收斂于A，若A不存在，則稱f（n）發(fā)散，或稱無(wú)極限。

（六）極限的幾何解釋

所以從第[lg ]項(xiàng)起以后所有各項(xiàng)皆隱藏在這個(gè)“L”的距離里，因而“L”不是空隙了。這樣f（n）與數(shù)3不存在什么空隙了。現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論無(wú)縫隙靠近的情況。

我們可以再令代入到n>[lg ]里去，就是分?jǐn)?shù)的母子一顛倒，搖身一變便成了n>lg1000=3， n>lg10000=4， n>lg1000000=6，……n>10000……，這就是說(shuō)從第3項(xiàng)起、第4項(xiàng)起、第6項(xiàng)起，……第一萬(wàn)項(xiàng)起……以后，所有一切的項(xiàng)都有|3+ -3|<，|3+ -3|<，|3+ -3|<……；|3+ -3|<……，成立。

也就是說(shuō)從第3項(xiàng)起、第4項(xiàng)起、第6項(xiàng)起，……第一萬(wàn)項(xiàng)起，……以后所有各項(xiàng)，所有的一切項(xiàng)都統(tǒng)統(tǒng)地有序地被逼近到直線y=3上、下兩旁，但是就不能觸碰落到直線Y=3上，（讀者自己可以證明）。數(shù)列f（n）之這些項(xiàng)被逼近在以直線y=3上、下兩旁，（對(duì)于數(shù)列f（n）= {3+}只在y=3上旁，數(shù)列f（n）= {3-}只在y=3下旁）被逼近在一個(gè)以直線y=3為中軸線、向上、向下各延伸L個(gè)單位，總寬為2L，長(zhǎng)度為足夠長(zhǎng)的長(zhǎng)方形、條帶形里，被覆蓋、被關(guān)閉在寬度為2L，寬度無(wú)限制地變窄的條形長(zhǎng)帶里，f（n）被有序地，無(wú)限制地被逼近在直線y=3之上、下方，但又不能觸碰到直線y=3，就這樣被極其嚴(yán)格的限制著，這是一個(gè)非常奇怪而又有趣的景象，（取這話前面的那個(gè)“極”字，取這句話后面的那個(gè)“限”字，故名曰“極限”，因而數(shù)3就叫作數(shù)列f（n）=3+ 之極限。因而此處也可以作為引入極限的定義），以上就是極限的幾何解釋。

（七）梁氏極限定義與傳統(tǒng)極限定義的對(duì)比

①極限是數(shù)列（或函數(shù)）f（n）下降趨勢(shì)里的極小限制、上升趨勢(shì)里的極大限制，取極小限制里的“極”字，取限制里的“限”字。故名叫做“極限，這樣很貼切、很自然而然的。

②無(wú)縫隙靠近比無(wú)限制靠近更形象。這個(gè)純樸而通俗的詞語(yǔ)形象的講明了極限這個(gè)概念，而傳統(tǒng)性定義里就沒(méi)有形象的講明極限的概念。

③現(xiàn)在使用的傳統(tǒng)性極限定義是“……，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)不等式|f（n）-A|<ε都成立……”。你看詞句多么別扭。這里的大N怎么確定存在呢？怎么找呢？原傳統(tǒng)定義里沒(méi)有說(shuō)明。而梁齊天極限定義開(kāi)門見(jiàn)山地明白指出從解|f（n）-A|<ε著手，去解這個(gè)不等式，“解”被解出來(lái)了，那大N就自然而然地跳出來(lái)了，這多么順暢和輕松呀，而解不等式又是學(xué)生們?cè)诖饲敖?jīng)常接觸和熟練使用的解算工具，從而使“極限”變成了一個(gè)通俗易懂易操作的課題。

其余與“極限無(wú)縫隙論“相同。