李寅杰 徐 慧

（南京師范大學附屬中學 江蘇 南京 210003）

1 引言

在物理教學中，在講解一些具有復雜表達式的物理問題時，常受限制于學生當前的知識水平，只能一帶而過，導致學生對知識死記硬背，理解淺顯.Mathematica是Wolfram公司開發(fā)的科學計算軟件，具有強大的數(shù)值計算能力［1］.利用 Mathematica軟件可解決數(shù)學計算的困難，還可以得到直觀的圖像，讓很多復雜問題清晰直觀，使學生輕松、深入地理解物理概念、公式.本文以黑體輻射中的普朗克公式為例，通過數(shù)值擬合和符號運算，驗證在低頻率范圍與瑞利-金斯公式的符合度問題.

2 正文

2.1 概述

瑞利-金斯公式是由英國物理學家瑞利和金斯提出，用于描述黑體輻射問題光譜能量分布，表達式為

其中ρ為熱輻射能量密度，ν為熱輻射頻率，T為熱力學溫度，c為真空中光速，h為普朗克常量，k為玻爾茲曼常數(shù).該公式在長波區(qū)域與實驗符合較好，但在短波區(qū)域，會導致能量無限大的荒謬結果，也就是當時著名的“紫外災難”.

普朗克公式是德國物理學家普朗克提出，用于描述黑體輻射問題光譜能量分布的公式.表達式為

其中ρ為熱輻射能量密度，ν為熱輻射頻率，T為熱力學溫度，c為真空中光速，h為普朗克常量，k為玻爾茲曼常數(shù).這一公式彌補了之前瑞利-金斯公式和維恩位移定律的不足，與實驗吻合度高.

我們利用Mathematica軟件進行模擬時，為了使數(shù)據(jù)直觀且便于輸入，取能量的單位為10－20J，頻率ν的單位為1013Hz，熱力學溫度T的單位為100 K，普朗克常量h取6.626 069 572 9×10－34J·s［2］，光速c取299 792 458m·s－1［3］，玻爾茲曼常數(shù)k取1.380 648 813×10－23J·K－1［4］.代入數(shù)據(jù)后，普朗克公式的表達式可寫為

2.2 數(shù)值模擬

將式（1）輸入，證明普朗克公式在低頻率區(qū)域轉化為瑞利-金斯公式，按照普朗克公式在低頻率區(qū)域取值后，可以擬合為瑞利-金斯公式.首先考慮溫度為100K的情況，取溫度為1，從ν＝0.000 1開始，每次間隔0.000 1，一直到0.002，取點.得到

（0.000 1，2.049 18×10－8）

（0.000 2，8.194 77×10－8）

（0.000 3，1.843 38×10－7）

（0.000 4，3.276 33×10－7）

（0.000 5，5.118 04×10－7）

（0.000 6，7.368 21×10－7）

（0.000 7，1.002 65×10－6）

（0.000 8，1.309 28×10－6）

（0.000 9，1.656 65×10－6）

（0.001 0，2.044 76×10－6）

（0.001 1，2.473 57×10－6）

（0.001 2，2.943 04×10－6）

（0.001 3，3.453 16×10－6）

（0.001 4，4.003 88×10－6）

（0.001 5，4.595 19×10－6）

（0.001 6，5.227 05×10－6）

（0.001 7，5.899 43×10－6）

（0.001 8，6.612 30×10－6）

（0.001 9，7.365 64×10－6）

（0.002 0，8.159 42×10－6）

由于瑞利-金斯公式的形式為ρ～Tν2，所以我們對這些數(shù)據(jù)用二次函數(shù)擬合.將散點和擬合出的函數(shù)繪制出，并顯示在同一坐標系中，可以清晰地看出，完美符合二次曲線，如圖1所示.（在這里Mathematica為了使圖像美觀，將y軸右移，實質上該圖像ν≥0.）

圖1

我們依次考慮溫度為300K，500K，900K和1 000K的情況，代碼與之前幾乎相同，擬合的結果為：

300K：R＝－2.610 7×10－9＋

1.332 26 ×10－5ν＋6.133 54ν2

500K：R＝－2.611 68×10－9＋

1.332 71 ×10－5ν＋10.232 9ν2

700K：R＝－2.612 1×10－9＋

1.332 9 ×10－5ν＋14.332 2ν2

900K：R＝－2.612 33×10－9＋

1.333 01 ×10－5ν＋18.431 6ν2

1 000 K：R＝－2.612 41×10－9＋

1.333 04 ×10－5ν＋20.481 3ν2

我們著手進行兩公式的轉化，觀察不同溫度下R函數(shù)，一次項系數(shù)、常數(shù)項的數(shù)量級與二次項系數(shù)的數(shù)量級相差巨大，而且瑞利-金斯公式中只含二次項，故舍去常數(shù)項和一次項.現(xiàn)在R函數(shù)與瑞利－金斯公式在形式上相一致，只需驗證二次項系數(shù).由于二次項系數(shù)與T成正比，所以對R函數(shù)的系數(shù)與溫度（表1）進行線性擬合.

表1 函數(shù)的系數(shù)與溫度值

由于一次項系數(shù)遠大于常數(shù)項，故舍去常數(shù)項，Rho＝2.049 67t.這與現(xiàn)在單位制下的瑞利-金斯公式：ρ＝2.049 66Tν2，幾乎完全相同，由此可知，普朗克公式在長波區(qū)域可轉化為瑞利-金斯公式.

而當我們將散點范圍增大時，可見到在高頻區(qū)域，二者出現(xiàn)較大偏差.取溫度為1，ν＝0.000 1開始，每次間隔0.01，一直到0.2，取點.將瑞利-金斯公式的圖像和普朗克公式的散點繪出，并顯示在同一坐標系中，得到圖2.清晰地看出，在短波區(qū)域，二者的差別不斷增大.

圖2

3 反思

觀察數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)，在第6位有效數(shù)字處與公式不同，分析原因及改進措施：

（1）Mathematica使用過程中分布計算，導致第一步保留的有效數(shù)字不足.應當一次性鍵入算式，只保留一次有效數(shù)字.

經(jīng)過驗證，由于Mathematica本身可以儲存較多位數(shù)，所以對于此處的5位小數(shù)結果，是否一步計算并無差別.

（2）在二次擬合時選用了ax2＋bx＋c的形式，可以嘗試使用ax2，ax2＋bx，ax2＋c等形式，看是否可以減少誤差.在線性擬合時選用了kx＋b的形式，可以嘗試使用kx形式，看是否可以減少誤差.

經(jīng)過驗證，當選擇ax2和kx時，得到的結果是2.049 66T，確實可以減少誤差.我們從中可以受到啟發(fā)，既然是驗證性質的，就可以根據(jù)已知進行盡量精確的擬合，這樣才能提高結果的準確性.

4 總結

Mathematica具有清晰、直觀的特點，可較好地演示.同時其擁有強大的計算、繪圖功能，可以快速、準確地完成計算和推導.對于一些難以計算、推導過程的知識點，Mathematica的使用可能會帶來意想不到的效果.在科學飛速發(fā)展的今天，Mathematica為物理教學開辟了一條新思路.

1 https：∥zh.m.wikipedia.org／wiki／Mathematica

2 http：∥ physics.nist.gov ［Thursday，02－Jun－2011 21：00：12EDT］. National Institute of Standards and Technology，Gaithersburg，MD 20899

3 Penrose，R （2004）.The Road to Reality：A Complete Guide to the Laws of the Universe.Vintage Books.pp.410－1.ISBN 978－0－679－77631－4

4 http：∥physics.nist.gov／constants ［Thursday，02－Jun－2011 21：00：12EDT］. National Institute of Standards and Technology，Gaithersburg，MD 20899