陳義萬，陳昭蓉，李文兵，杜海霞，張群芝

（1.湖北工業(yè)大學理學院，湖北 武漢 430068；2.湖北省鄂北水資源管理局，湖北 武漢 430000；3.火箭軍工程大學，陜西 西安 710025；4.武漢市板橋中學，湖北 武漢 430072）

0 引言

光子晶體是介質(zhì)結(jié)構(gòu)在空間周期性的排列構(gòu)成的。電磁波在光子晶體中傳播也有傳播禁帶，就是在某些特定波長范圍的電磁波不能在光子晶體中傳播。光子晶體概念從1987年被提出以來[1-2]，由于它的潛在的優(yōu)越性能，成為研究熱點。光子晶體在光子晶體光柵、光子微腔、光波導、雷達全反射涂層都有潛在的良好的應(yīng)用。通過設(shè)計各種對稱性不同的結(jié)構(gòu)，獲得盡可能寬的帶隙，是光子晶體結(jié)構(gòu)研究中的一個重要內(nèi)容[3-15]。分析研究光子晶體帶隙，有平面波展開法，轉(zhuǎn)移矩陣法，有限時域差分法（FDTD）等等。本文用有限時域差分法（FDTD），分析幾種鑲嵌式光子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙。

1 二維正方格子和兩種結(jié)構(gòu)鑲嵌光子晶體的帶隙

我們選用ZnO 圓柱，它的折射率n=2.81，背景是空氣，折射率n=1。介質(zhì)柱的半徑r=0.2μm，介質(zhì)柱組成10×10 陣列，圓柱之間的距離（晶格常數(shù)）a=6r=1.2μm。入射使用平面電磁波，在前期預(yù)計算基礎(chǔ)上，入射波的波長范圍設(shè)定為λ=1.0-2.0μm，計算中使用FDTD 專用軟件計算，邊界條件使用完全匹配層（PML）。信號檢測使用100 個頻率抽樣點。ZnO 圓柱二維光子晶體的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 ZnO 圓柱二維光子晶體結(jié)構(gòu)

光波通過ZnO 圓柱二維光子晶體結(jié)構(gòu)后的能量和波長的關(guān)系圖，如圖2 所示。從圖2 中可以看出，在1.25-1.35μm，1.50-1.58μm 有明顯的兩個能量禁帶。

圖2 ZnO 圓柱二維光子晶體的透射能量與波長的關(guān)系（P-lambda 圖）

我們選用Si 圓柱，折射率n=3.45，背景是空氣，折射率n=1。介質(zhì)柱的半徑r=0.2μm，介質(zhì)柱組成10×10 陣列，圓柱之間的距離（晶格常數(shù)）a=6r=1.2μm。入射使用平面電磁波，入射波的波長范圍設(shè)定為λ=1.0 -2.0μm，計算中使用FDTD 專用軟件計算，邊界條件使用完全匹配層（PML）。信號檢測使用100 個頻率抽樣點。Si 圓柱二維光子晶體的結(jié)構(gòu)類似于圖1。光波通過Si 圓柱二維光子晶體結(jié)構(gòu)后的能量和波長的關(guān)系圖，如圖3 所示。

圖3 光波通過Si 圓柱二維光子晶體結(jié)構(gòu)后的能量和波長的關(guān)系圖（p-lambda 圖）

從圖中可以看出，在1.25-1.35μm，1.70-1.82μm，有兩個明顯的帶隙。在圖1 和圖3 的基礎(chǔ)上，我們把ZnO 圓柱鑲嵌到Si 圓柱的晶體中，可以看成ZnO 圓柱光子晶體相對于相同結(jié)構(gòu)的Si 圓柱光子晶體在平面內(nèi)發(fā)生了平移，

如圖4 所示。讓平面光波在這樣的復(fù)合結(jié)構(gòu)光子晶體結(jié)構(gòu)中的傳播，看它的帶隙與兩個子結(jié)構(gòu)的帶隙有何區(qū)別。

圖4 由ZnO 圓柱鑲嵌在Si 圓柱光子晶體中的結(jié)構(gòu)

計算中入射使用平面光波，入射波的波長范圍設(shè)定為λ=1.0 -2.0μm，邊界條件使用完全匹配層（PML）。信號檢測中采樣200 個頻率抽樣點。光波通過圖4 鑲嵌二維光子晶體結(jié)構(gòu)后的能量和波長的P-lambda 關(guān)系圖，如圖5 所示。

圖5 光波通過由ZnO 圓柱鑲嵌在Si 圓柱光子晶體中的結(jié)構(gòu)的P-lambda 圖

從圖中可以看到，帶隙在1.30-1.53μm，1.75-1.85μm。對比圖2，圖3，圖5，ZnO 圓柱光子晶體和Si 圓柱光子晶體的帶隙，在由它們鑲嵌構(gòu)成的光子晶體中，這些帶隙都出現(xiàn)并且向長波長方向發(fā)生了偏移。

下面考察一種二維正方格子光子晶體的帶隙。該光子晶體的介質(zhì)柱材料為Si，折射率n=3.45，介質(zhì)柱半徑r=0.2μm，晶格常數(shù)入射光波為平面波，波長范圍λ=1.0-2.0μm，平面波入射方向沿著正方格子的對角線方向，光波檢測采樣200 個頻率抽樣點。結(jié)構(gòu)如圖6 所示，光波通過光子晶體后透射的能量波長如圖7 所示。

圖6 介質(zhì)柱半徑r=0.2μm，晶格常數(shù)=1.6 96μm 的Si 光子晶體

圖7 介質(zhì)柱半徑r=0.2μm，晶格常數(shù)=1.6 96μm 的Si 光子晶體的光透射P-lambda 圖

從圖7 可以看到，在平面光沿光子晶體對角線入射時，帶隙波長范圍是λ=1.26-1.46μm，1.55-1.60μm。下面把圖6 的Si 圓柱光子晶體鑲嵌到圖1 的ZnO 二維光子晶體中，結(jié)構(gòu)圖如圖8 所示。

圖8 把圖6 的Si 圓柱二維光子晶體鑲嵌到圖1 的ZnO 二維光子晶體中形成的新的光子晶體

在圖8 中，入射光波為平面波，波長為λ=1.0-2.0μm，光波通過光子晶體后，在監(jiān)測點對傳播的光波數(shù)值進行200 個頻率點抽樣。二維邊界使用完全匹配層（PML）。得到的透射光的能量與波長的關(guān)系圖如圖9 所示。

圖9 把圖6 的Si 圓柱二維光子晶體鑲嵌到圖1 的ZnO 二維光子晶體中形成的新的光子晶體的光波透射圖（P-lambda 圖）

從圖9 中可以看到，光子晶體的帶隙范圍為λ=1.25-1.45μm。由于圖8 的結(jié)構(gòu)是把圖6 的結(jié)構(gòu)鑲嵌到圖1中形成的，把圖9 與圖2 和圖7 對比，在短波長部分的λ=1.25-1.35μm 的帶隙在鑲嵌光子晶體中出現(xiàn)，長波長部分的帶隙λ=1.70-1.75μm 沒有出現(xiàn)。也就是說，鑲嵌光子晶體的帶隙并不能完全出現(xiàn)子晶體的帶隙。

2 兩種不同材料的圓柱按行間隔排列，構(gòu)成的二維正方光子晶體和六角光子晶體的帶隙

下面考慮一種新的光子晶體結(jié)構(gòu)，它們由ZnO(n=2.81)和Si(n=3.45)圓柱間隔排列而成，介質(zhì)圓柱半徑r=0.2μm，圓柱之間的距離即晶格常數(shù)a=6r，20×20 陣列，結(jié)構(gòu)圖如圖10 所示。

圖10 由ZnO 和Si 圓柱介質(zhì)按行間隔排列形成的二維正方結(jié)構(gòu)光子晶體

實驗中邊界使用完全匹配層（PML），用平面電磁波入射，波長范圍為λ=0.4-2.0μm，為了使分析的數(shù)據(jù)更準確，在檢測數(shù)據(jù)時，對頻率抽樣500 個頻率點。電磁波通過該光子晶體后的P-lambda 圖如圖11 所示。

圖11 光通過由ZnO 和Si 圓柱介質(zhì)間隔排列形成的二維正方結(jié)構(gòu)光子晶體后的P-lambda 圖

從圖11 可以看出，該結(jié)構(gòu)的光子晶體的帶隙在λ=1.25-1.38μm，1.6-1.9μm，由于圖10 的結(jié)構(gòu)是Zn 圓柱和Si 圓柱間隔排列而成，把圖11 和圖1 以及圖3 對比，發(fā)現(xiàn)圖1 和圖3 中的帶隙在圖11 中都出現(xiàn)，且向長波長方向有小幅移動。

下面考慮由ZnO 圓柱（n=2.81）構(gòu)成的六角形二維光子晶體。介質(zhì)柱半徑r=0.2μm，圓柱之間距離a=4r=0.8μm，組成15×15 的六角形結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)如圖12 所示。入射波為平面電磁波，波長范圍λ=0.4-2.0μm，對透射電磁波進行500 個頻率抽樣點采樣。邊界使用完全匹配層。得到如圖13 的透射波能量與波長關(guān)系圖。

圖12 由ZnO 圓柱構(gòu)成的六角形二維光子晶體

圖13 由ZnO 圓柱構(gòu)成的六角形二維光子晶體的透射波P-lambda 圖

下面考慮由Si 圓柱（n=3.45）構(gòu)成的六角形二維光子晶體。介質(zhì)柱半徑r=0.2μm，圓柱之間距離a=4r=0.8μm，組成15×15 的六角形結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)與圖12 相同。

入射波為平面電磁波，波長范圍λ=0.4-2.0μm，對透射電磁波進行500 個頻率抽樣點采樣。邊界使用完全匹配層。得到如圖14 的透射波能量與波長關(guān)系圖。

圖14 由Si 圓柱構(gòu)成的六角形二維光子晶體的透射波P-lambda 圖

從圖14 中可以看出，該結(jié)構(gòu)的帶隙范圍是，λ=1.38-1.55μm，1.72-1.78μm。

下面考慮一種光子晶體，它由ZnO 和Si 圓柱按行間隔排列而成。介質(zhì)圓柱的半徑r=0.2μm，圓柱之間的距離a=4r=0.8μm，結(jié)構(gòu)如圖15 所示。計算中入射波為平面電磁波，波長范圍λ=0.4-2.0μm，對透射電磁波進行500 個頻率抽樣點采樣。邊界使用完全匹配層。得到如圖16 的透射波能量與波長關(guān)系圖。

圖15 由ZnO 和Si 圓柱按行間隔排列而成二維六角形光子晶體，淺色是ZnO 圓柱，深色是Si 圓柱，15×22 陣列

圖16 由ZnO 和Si 圓柱按行間隔排列而成二維六角形光子晶體的電磁波透射能量－波長圖

從圖16 可以看出，帶隙的范圍是λ=1.25-1.45μm。把圖16 和圖13，圖14 對比，圖16 的帶隙與圖13，圖14 的帶隙之間，并沒有完全的對應(yīng)關(guān)系。說明在二維六角形光子晶體中，由兩種單純成份的圓柱介質(zhì)的按行間隔排列，并不能把每一種單純成份的光子晶體的帶隙實現(xiàn)。前述各個光子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙總結(jié)見表1。

表1 二維正方格子光子晶體與鑲嵌式光子晶體以及按行間隔排列的光子晶體的帶隙

3 結(jié)語

本文研究了由ZnO 圓柱（折射率n=2.81）和Si 圓柱（折射率n=3.45）分別構(gòu)成的二維正方格子光子晶體，通過計算，得到了光波通過光子晶體后的帶隙。然后，把ZnO 圓柱晶體鑲嵌到Si 圓柱二維光子晶體中，計算了鑲嵌得到的光子晶體的帶隙，發(fā)現(xiàn)原來的ZnO 光子晶體和Si 圓柱光子晶體的帶隙，在鑲嵌后的光子晶體中都能夠出現(xiàn)，但是帶隙位置向長波方向移動。另外研究了由ZnO 圓柱和Si 圓柱按行間隔排列構(gòu)成的二維正方格子光子晶體，發(fā)現(xiàn)ZnO 圓柱光子晶體和Si 圓柱光子晶體的帶隙，在間隔排列的光子晶體中都能夠?qū)崿F(xiàn)，但是帶隙的位置向長波長方向移動。按照類似的方法，把ZnO 圓柱介質(zhì)和Si 圓柱介質(zhì)按行間隔排列，構(gòu)成二維六角形光子晶體，原來的單純由ZnO 圓柱構(gòu)成的二維六角形光子晶體的帶隙和單純由Si 圓柱構(gòu)成的二維六角形光子晶體的帶隙，在按行間隔排列的二維光子晶體中，并不能完全實現(xiàn)。這樣的結(jié)果，可能與二維六角形格子的對稱性比正方格子的對稱性低。這種鑲嵌式光子晶體和按行間隔排列光子晶體的帶隙性質(zhì)，為尋找寬帶隙的光子晶體提供了一個新途徑。