高新忙，梁宗旗

（集美大學(xué) 理學(xué)院，廈門 361021）

二維Ginzburg-Landan方程高精度分裂算法

高新忙，梁宗旗

（集美大學(xué) 理學(xué)院，廈門 361021）

對(duì)于系數(shù)相對(duì)復(fù)雜的二維方程運(yùn)用分裂法，分裂為非線性部分和線性部分，非線性部分可局部精確求解，線性部分采用有限差分法和緊致有限差分法處理，并綜合采用分裂緊交替方向隱式法來(lái)求解，最后進(jìn)行數(shù)值檢驗(yàn)。

二維方程；分裂法；交替隱格式

1 引言

考慮下列二維方程：

方程(簡(jiǎn)稱GL)是一類較為復(fù)雜的方程.近年來(lái)，數(shù)學(xué)及物理工作者對(duì)GL方程的理論和性質(zhì)進(jìn)行了廣泛的研究.此類型方程中許多系數(shù)均是復(fù)數(shù)類型的,計(jì)算時(shí)相對(duì)復(fù)雜.并且含有非線性項(xiàng)|u|2u，處于耗散狀態(tài)，具有不穩(wěn)定性，因而具有近似奇異性，是一個(gè)被稱為具有在有限時(shí)間內(nèi)形成局部奇性解的Hamiltonian方程.

2 數(shù)值解法

對(duì)方程（1）兩邊同乘i，并進(jìn)行整理得：

利用二階分裂方法，上式可分裂為：

2.1 非線性部分處理

2.2 線性部分處理

本節(jié)內(nèi)容構(gòu)造兩種格式，對(duì)于其解的精度性有不同的結(jié)果.分別構(gòu)造差分格式與緊致差分格式.

格式：緊致差分格式.

將δx2,δy2分別用代換，整理得：

2.3 數(shù)值格式處理

對(duì)于綜合處理格式，是求解微分的數(shù)值解的關(guān)鍵步驟.差分方法和緊致差分格式簡(jiǎn)單，不在此論述.以下詳述隱格式分裂方法處理數(shù)值，具體如下：SSADI方法：交替方向隱式法.

第一步：

第二步：

第三步：

第四步：

第五步：

第六步：

第七步：

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

一般地，對(duì)于二維線性方程，分裂步緊差分格式和對(duì)應(yīng)的緊交替隱格式本質(zhì)是一致的，不一樣的只是計(jì)算方式，最后達(dá)到的預(yù)期精度都可在時(shí)間上獲得四階精度，空間四階精度.并且根據(jù)文獻(xiàn)[2]可知，其收斂性和穩(wěn)定性都很好，并且分裂步差分可以借鑒對(duì)應(yīng)的交替隱格式來(lái)進(jìn)行分析，并且可以推廣到多維線性情況.但是，由于分裂步方法的理論體系還未完全建立，對(duì)非線性問(wèn)題的理論研究還有待深入.

［1］孫志忠.偏微分方程數(shù)值解法［M］.北京：科學(xué)出版社，2012.

［2］ShanshanWang，LumingZhang.Split-steporthogonal spline collocation methods for nonlinear Sch?dinger equations in one，two and three dimensions［J］. AppliedMathematicsandComputation,2011，（218）: 1903-1916.

［3］MehdiDehghan，Ameneh Taleei.A compact split-step finite difference method for solving the nonlinear Sch?dinger equations with constant and variable coefficients ［J］，Computer Physics Communications，2010,(181):43-51.

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

O13

A

1673-2015（2015）02-0063-02

2014—11—26

高新忙（1988—）女，山西臨汾人，碩士，主要從事偏微分方程的數(shù)值解法。