王建珍

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

LDG方法基本思想

王建珍

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

文章闡述了一維非線性雙曲問(wèn)題LDG方法的基本思想，給出單元熵不等式和L2-穩(wěn)定性的證明，最后給出了基函數(shù)的具體求解步驟。

LDG方法；雙曲方程；基函數(shù)；穩(wěn)定性

1 引言

局部不連續(xù)伽遼金 （Local discontinuous Galerkin）方法，簡(jiǎn)稱(chēng)LDG方法，是一種間斷有限元方法.

間斷有限元方法最早可以追溯到1973年Reed和Hill關(guān)于中子輸運(yùn)方程的論文[1]，特別是80年代以來(lái)，出現(xiàn)了各種各樣的間斷有限元方法.近年來(lái)發(fā)展的間斷Galerkin有限元方法[2][3][4]，特別是90年代以來(lái)，以Cockburn和Chi-Wang Shu為代表提出的Rung-Kutta DG方法[5]，特別引人注目，在許多應(yīng)用上顯示了前所未有的效能.

間斷有限元方法既保持了有限元方法和FVM的優(yōu)點(diǎn)，又克服了其不足，特別是易于處理復(fù)雜的邊界和邊值問(wèn)題.同時(shí)DG方法具有靈活處理間斷的能力，克服了一般有限元方法不適宜于間斷問(wèn)題的缺點(diǎn).DG方法精度的提高可以通過(guò)適當(dāng)選取基函數(shù)，即提高單元插值多項(xiàng)式的次數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn).對(duì)于含有高階空間導(dǎo)數(shù)的方程，DG方法不能被直接應(yīng)用，這是因?yàn)榻饪臻g是由不連續(xù)的分段多項(xiàng)式組成.也就是說(shuō)，近似解僅在時(shí)間上是間斷的，在空間中卻不是，空間離散是用連續(xù)有限元的標(biāo)準(zhǔn)DG方法.LDG方法卻不同，它是用間斷有限元方法進(jìn)行空間離散[5]，因而LDG方法也是對(duì)DG方法的發(fā)展.

首先LDG方法是Cockburn和Shu應(yīng)用于非定常對(duì)流-擴(kuò)散方程中，后來(lái)這個(gè)方法又被成功地推廣到一般地含有三階導(dǎo)數(shù)的Kdv型方程及含有四階和五階導(dǎo)數(shù)的偏微分方程[5]中.

LDG方法的主要思想是將原來(lái)帶有高階導(dǎo)數(shù)非定常的偏微分方程引進(jìn)輔助變量重寫(xiě)成一個(gè)一階方程，然后通過(guò)RKDG方法進(jìn)行離散.對(duì)于近似解的導(dǎo)數(shù)，引進(jìn)這些局部輔助變量是表面的，在具體問(wèn)題中很容易被消除.

LDG方法成功的關(guān)鍵因素是單元接觸面處的數(shù)值流設(shè)計(jì)，所有數(shù)值流設(shè)計(jì)必須保證數(shù)值流的穩(wěn)定性和局部相容性.

2 一般的一維非線性雙曲問(wèn)題LDG方法的基本思想：

最簡(jiǎn)單的DG方法被設(shè)計(jì)是為了去解決最簡(jiǎn)單的一次雙曲問(wèn)題.為說(shuō)明思想，首先研究一般的一維非線性簡(jiǎn)單模型：

帶有周期邊界條件

我們進(jìn)行空間離散,對(duì)于區(qū)間(0,1)任取分割

如果我們用任意光滑檢驗(yàn)函數(shù)v(x)乘以 (2,1)和(2,2)，并在Ij上積分，進(jìn)行簡(jiǎn)單的正常分部積分后得到：

這正是DG方法的起點(diǎn)，接下來(lái)，設(shè)

其中，Pk(I)表示I上最多K次多項(xiàng)式空間.我們用最多K次分段多項(xiàng)式uh和vh分別代替解u(x,t)和檢驗(yàn)函數(shù)v(x,t)，即uh,vh∈Vh,當(dāng)(2.3)中u和v被uh和vh代替時(shí)，式中的在點(diǎn)取值的最后兩項(xiàng)中，近似解uh和檢驗(yàn)函數(shù)vh在這些邊界點(diǎn)處是間斷的，將要用一種迎風(fēng)結(jié)構(gòu)處理這些項(xiàng).所以在分界點(diǎn)處，uh采用迎風(fēng)的單值數(shù)值流vh在處以IJ內(nèi)部取值，即：

vh在處仍從Ij的內(nèi)部取值分別為

若在(2.7)中取vh為常數(shù)，不妨取vh=1，(2.7)變?yōu)椋?/p>

可以看出，當(dāng)基函數(shù)取為常數(shù)時(shí)，DG方法可還原為有限體積方法，即一階的DG方法相當(dāng)于一階的有限體積方法.

剩下的工作也僅是數(shù)值流h的選擇.首先要求選擇是穩(wěn)定的，更重要地想要成為所謂的單調(diào)格式，從而達(dá)到高精度而保持穩(wěn)定性和收斂性質(zhì).

我們從K=0情況入手，也就是uh是分段常數(shù)函數(shù)時(shí)，DG空間離散產(chǎn)生的一種單調(diào)格式.

并且要求(2.6)中的h(a,b)滿(mǎn)足：

1o)它是局部滿(mǎn)足Lipschitz連續(xù)，并且和f(u)相容，即h(u,u)=f(u)

2o)它對(duì)第一個(gè)變量是不增函數(shù)

3o)它對(duì)第二個(gè)變量是不減函數(shù)

這樣的h(a,b)就定義為一個(gè)單調(diào)格式.常用的單調(diào)格式有：

⑴Godunov流：

⑵The Engquist-Osher流：

⑶The Lax-Friedrichs流：

⑷The Local Lax_Friedrichs流：

⑸帶有“熵固定”的Roe流：

我們能容易使用數(shù)值流hG.因?yàn)樗钱a(chǎn)生人工粘性最小的數(shù)值流.局部Lax-Friedrichs流比hG流產(chǎn)生更多人工粘性，但他們的性能非常相似.如果f很復(fù)雜時(shí)，通常用hLF流.然而，數(shù)值經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)逼近的多項(xiàng)式次數(shù)K增加時(shí)，數(shù)值流的選擇不影響逼近的特性.

定理2.1（單元熵不等式）對(duì)于數(shù)值格式(2.7) -(2.9)，我們有熵不等式:

其中

證明：在(2.7)中取vh=uh有

則上式可化為:

由于

定義

i)如果利用h(a,b)單調(diào)性f(↑,↓)，可知

再回到(2.12)就可以得到熵不等式：

將上式中j=1,2,…N相加，易得L2穩(wěn)定性.

定理2.2 (L2-穩(wěn)定性)對(duì)于格式(2.7)-(2.9)有,即?T＞0有

3 基函數(shù)及具體求解步驟：

由于Vh中的函數(shù)可以出現(xiàn)間斷，不同單元上的基函數(shù)可以相互無(wú)關(guān)，因此需要在每個(gè)小IJ上取局部基函數(shù).如果我們選擇Legendre多項(xiàng)式PJ作為局部基函數(shù)，可以利用他們的L2正交性，即：

和性質(zhì)Pl(1)=1,Pl(-1)=(-1)1,進(jìn)行討論.

令φl(shuí)(x)=Pl(2(x-xj)/Δj) x∈Ij近似解uh可以表示為

對(duì)于弱形式(2.7)和(2.8)，取vh(x)=φl(shuí)(x);可得下列簡(jiǎn)單形式：

?j=1,2,L,N和l=0,L,K

進(jìn)一步可化為：

是簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣.

從而，可以給出這種間斷有限元方法的具體計(jì)算步驟：

(3)計(jì)算

注意：如果我們選擇不同的局部基函數(shù)，所形成的質(zhì)量矩陣能為一個(gè)全矩陣，但它永遠(yuǎn)是k+1階方陣[6].

以上是對(duì)LDG方法的思想、穩(wěn)定性、線性情況的誤差估計(jì)和離散方法進(jìn)行了分析和討論，對(duì)于多維情況可以使用相應(yīng)的手段進(jìn)行.

［1］Reed w H and Hill T R.Trangular mesh methods for the Newtron transport equation.［M］LA Report,1973.

［2］Erirsson K,Johnson C and Thomenn V.Time discretization of parabolic problem by the discontinuous Galerkin method.RAIRO.［J］Anal Unmer 1985,（19）:912-928.

［3］Hulme B L.One-step piecewise polynormial Galerkin methods for initial value problems.Math comp,1972,（26）:415-426.

［4］Jamet P.calerkin-type approximation which are discontinuous in time for parabolic equation in a variable domain.［J］SLAM J Numer Anal,1978,（46）:1-26.

［5］CockburnB,HouSandshuC W.TVB Runge-kutta local projection discontinuous Galerkin finite eiement method for scalar conservation laws IV;The multidimensional case.［J］Math comp,1990,（54）:545-581.

［6］劉儒勛，舒其望著.計(jì)算流體力學(xué)的若干新方法.［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.160-161.

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

O241.8

A

1673-2015（2015）02-0004-04

2014—11—23

王建珍（1962—）女，山西太原人，副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。