余高鋒, 劉文奇

(1.三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004； 2.昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650093)

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基于區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的多屬性決策方法

余高鋒1, 劉文奇2

(1.三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004； 2.昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650093)

研究了區(qū)間粗糙直覺模糊多屬性決策。探討了區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的運(yùn)算法則及其性質(zhì)；定義了區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)和精確函數(shù)，進(jìn)而給出其排序方法；給出了區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的變權(quán)算術(shù)平均和變權(quán)幾何平均算子，并且建立了區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的多屬性決策模型；實(shí)例驗(yàn)證了所提出決策方法的有效性。

區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)；多屬性決策；集成算子 變權(quán)向量

0 引言

自Atanassov于1986年提出直覺模糊集的概念[1]以后，有關(guān)于直覺模糊集的研究引起了人們的高度重視。直覺模糊集的特點(diǎn)是同時考慮了隸屬度，非隸屬度和猶豫度三方面的信息，比Zadeh的模糊集[2]在處理模糊性和不確定性等方面更具有靈活性和實(shí)用性。因而引起眾多學(xué)者的關(guān)注，已經(jīng)在多屬性決策(MADM)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[3～22]。

近20年來，直覺模糊集理論也得到了進(jìn)一步的發(fā)展，目前關(guān)于它的拓展形式主要有區(qū)間直覺模糊集[3～9]、三角直覺模糊數(shù)(TIFN)[10～13]、直覺梯形模糊數(shù)(TrIFN)[14～18]和區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)(IVTrIFN)[19,20]。文獻(xiàn)[3]用區(qū)間數(shù)表示隸屬度和非隸屬度，將直覺模糊集擴(kuò)展至區(qū)間直覺模糊集。文獻(xiàn)[5]對區(qū)間直覺模糊信息的集成方法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[6]提出了區(qū)間直覺模糊數(shù)有序加權(quán)平均算子和區(qū)間直覺模糊數(shù)混合集結(jié)算子，定義了區(qū)間直覺判斷矩陣及其得分矩陣和精確矩陣等新概念。文獻(xiàn)[7]建立一種基于可能度的區(qū)間直覺模糊數(shù)的群決策方法。文獻(xiàn)[8] 建立一種基于TOPSIS方法的區(qū)間直覺模糊決策的非線性規(guī)劃求解模型。文獻(xiàn)[9]建立基于接近度的權(quán)重信息不完全的區(qū)間直覺模糊決策的非線性規(guī)劃求解模型。文獻(xiàn)[10,11]定義三角直覺模糊數(shù)運(yùn)算法則及其特征，提出基于模糊度和擴(kuò)張度的排序方法，并應(yīng)用于多屬性決策。文獻(xiàn)[12]提出三角直覺模糊數(shù)的可能性均值方差，建立一種基于三角直覺模糊數(shù)的權(quán)重信息不完全多屬性決策模型。文獻(xiàn)[13]利用VIKOR方法建立三角直覺模糊群決策模型。文獻(xiàn)[14～16]提出直覺模糊梯形集成算子和直覺模糊梯形功率平均算子及其在決策中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[17,18]討論直覺模糊梯形數(shù)的可能性均值方差及其在多屬性決策和矩陣博弈中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[19]討論了區(qū)間直覺模糊梯形數(shù)的運(yùn)算法則及其性質(zhì)，給出了區(qū)間直覺模糊梯形數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均和加權(quán)幾何平均算子，并給出了其排序方法，建立了基于區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)的多屬性決策模型。文獻(xiàn)[20]針對屬性值為區(qū)間直覺模糊梯形數(shù)且屬性權(quán)重為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題，提出一種基于分式規(guī)劃的決策方法。文獻(xiàn)[22]建立基于模糊LINMAP法的具有不同類型信息的混合型多屬性決策。

由于客觀事物的復(fù)雜性和不確定性，直覺模糊集中的隸屬度和非隸屬度有時很難用精確的實(shí)數(shù)值表達(dá)。粗糙集是兩個可計(jì)算的清晰集(上近似和下近似)刻畫的，能夠較準(zhǔn)確地描述一些具有模糊性和不確定的信息。不難發(fā)現(xiàn)，隸屬度和非隸屬度的值可通過形如([a,d],[c,d])的粗糙集來表示，而這種表示通過統(tǒng)計(jì)計(jì)算即可得到。比如隸屬度用一個區(qū)間粗糙數(shù)([0∶2;0∶3];[0∶1;0∶4])來表示，其可解釋為隸屬度肯定在0∶2到0∶3之間，而有可能在0∶1到0∶4之間。為此本文提出了區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的概念，在刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì)方面，比區(qū)間直覺模糊集[3～8]、三角直覺模糊數(shù)、直覺梯形模糊數(shù)和區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)更為精細(xì)和準(zhǔn)確，因而將IRIFN應(yīng)用于決策領(lǐng)域更為具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。為此，本文探討了IRIFN的運(yùn)算法則，定義其得分函數(shù)和精確函數(shù)，給出其排序方法，定了IRIFN的變權(quán)算術(shù)平均和變權(quán)幾何平均算子，并將其應(yīng)用于MADM領(lǐng)域。

1 預(yù)備知識

一個粗糙集是通過一個等價關(guān)系而產(chǎn)生的一個精確集，分別稱為下近似和上近似。將等價關(guān)系引申到一般情形，提出了一種不具有對稱性和傳遞性，但有自發(fā)性的二元相似關(guān)系，用符號“≌”表示，并且給出了基于相似關(guān)系的粗糙近似的一般定義。

定義1[23,24]設(shè)U是一個論域，并且X是一個表示概念的集合，其下相似和上近似分別定義為

定義3 一個區(qū)間粗糙數(shù)是上近似和下近似均為區(qū)間的粗糙集，記為([a,d],[c,d])，其中c≤a≤b≤d。

(1)ω(x)≥0 ;

(2)eTω(x)=1;

(4)變權(quán)綜合函數(shù)v(x)=xTω(x)單調(diào)遞增；

則稱ω(x)以p為激勵策略的變權(quán)向量，簡稱變權(quán)向量；稱p為變權(quán)向量ω(x)的激勵策略。

2 區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)

2.1 區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)

2.2IRIFN的運(yùn)算法則及其性質(zhì)

受文獻(xiàn)[6]的定義的區(qū)間直覺模糊數(shù)運(yùn)算法則的啟發(fā)，本節(jié)給出了IRIFN的運(yùn)算法則。

上述所有運(yùn)算結(jié)果仍然區(qū)間粗糙直覺模糊集，同時易得以下性質(zhì)：

2.3IRIFN的排序方法

(1)

(2)

式(1)以隸屬度與非隸屬度差的中間值來定義得分函數(shù)，式(2)以隸屬度與非隸屬度和的中間值來定義精確函數(shù)，不僅考慮了IRIFN的取值域，而且兼顧了IRIFN的隸屬度和非隸屬度的特點(diǎn)。

類似地可以定義小于關(guān)系、小于等于關(guān)系。

3 IRIFN的集成算子

對區(qū)間粗糙直覺模糊信息進(jìn)行集成，下面給出區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的變權(quán)算術(shù)平均算子和變權(quán)幾何平均算子等概念:

(3)

(4)

由定義9和定義10可知，若激勵策略值P=e, 即ω(x)為懲罰型變權(quán)向量，則IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA分別為懲罰型變權(quán)算術(shù)平均算子和懲罰型變權(quán)幾何平均算子；若激勵策略值P=0，即ω(x)為激勵型變權(quán)向量，則IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA分別為激勵型變權(quán)算術(shù)平均算子和激勵型變權(quán)幾何平均算子；若激勵策略值P∈{0,1}n, 即ω(x)為混合型變權(quán)，則IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA分別為混合型變權(quán)算術(shù)平均算子和混合型變權(quán)幾何平均算子。若為退ω(x)化為常權(quán)向量，則IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA也分別退化為加權(quán)算術(shù)平均算子和加權(quán)幾何平均算子。

決策者根據(jù)自己的偏好選擇激勵策略p，選取不同的值。當(dāng)屬性值高于激勵策略，權(quán)重函數(shù)是屬性值增函數(shù)，即對于屬性值高于激勵策略進(jìn)行激勵；反之，當(dāng)屬性值低于激勵策略，權(quán)重函數(shù)是屬性值減函數(shù)，即對于低于激勵策略進(jìn)行懲罰，因此比傳統(tǒng)的算子更加合理和科學(xué)，更能體現(xiàn)決策者的心理狀態(tài)和認(rèn)知程度。IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA的側(cè)重點(diǎn)有所不同，前者強(qiáng)調(diào)個人的作用，后者強(qiáng)調(diào)群體的影響，但是兩者都具有良好的均衡性。

定理1和定理2利用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明步驟如文獻(xiàn)[19]，因此這里省略。

4 基于IRIFN的多屬性決策方法

(1)對于收益型屬性，其轉(zhuǎn)化公式為

(5)

(6)

(2)對于成本型屬性，其轉(zhuǎn)化公式為

(7)

(8)

下面給出了一種基于IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA的區(qū)間粗糙直覺模糊決策的途徑：

4 實(shí)例分析

考慮某一個地區(qū)企業(yè)信用評估，選取3個企業(yè)為評價對象，選定5個屬性：創(chuàng)新能力a1，抵御市場風(fēng)險能力a2，生產(chǎn)能力a3，財(cái)務(wù)質(zhì)量a4和管理能力a5。這些指標(biāo)均為效益型定性屬性，決策者可采用不同的語言集進(jìn)行評價。假設(shè)各評價對象在各個指標(biāo)下的評估信息處理經(jīng)過統(tǒng)計(jì)處理后可表示成IRIFN，如表格1所示。各屬性的初始權(quán)重w0=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2)。

表1 模糊決策矩陣

表2 各企業(yè)的綜合區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)

表3 各企業(yè)的綜合區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)

利用IRITFN-VWAA和IRITFN-VWGA算子得到各方案的綜合IRITFN；最后計(jì)算其得分函數(shù)與精確函數(shù)。結(jié)果如表2和表3所示。可見兩種算子集成得到的得分函數(shù)都是S(A2)≥S(A3)≥S(A1)方案排序A2A3A1為最佳企業(yè)信用為A2。

5 總結(jié)

研究了區(qū)間粗糙直覺模糊多屬性決策。探討了區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的運(yùn)算法則及其性質(zhì)；定義了區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)和精確函數(shù)，進(jìn)而給出其排序方法；給出了區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的變權(quán)算術(shù)平均和變權(quán)幾何平均算子，并且建立了區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的多屬性決策模型。此模型有以下優(yōu)點(diǎn)：(1)區(qū)間粗糙直覺模糊數(shù)的隸屬度和非隸屬度值利用區(qū)間粗糙數(shù)來表示，比區(qū)間直覺模糊數(shù)能夠較準(zhǔn)確地描述一些具有模糊性和不確定的信息；(2)本文提出的區(qū)間粗糙直覺模糊信息集成算子，引入變權(quán)的思想，因此決策者根據(jù)自己的偏好，選擇激勵策略p，充分地體現(xiàn)決策過程的柔性。對于區(qū)間粗糙直覺模糊的有序加權(quán)算子、混合集成算子及其在MADM和群決策中的應(yīng)用尚有待進(jìn)一步研究。

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Multi-attribute Decision Making Method Based on Interval-valued Rough Intuitionistic Fuzzy Number

YU Gao-feng1, LIU Wen-qi2

(1.SchoolofInformation,SanmingUniversity,Saming365004,China; 2.SchoolofScience,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650093,China)

Interval-valued rough intuitionistic fuzzy number is investigated. Some operational laws of interval-valued rough intuitionistic fuzzy numbers are defined and some related properties are researched, and the weighted arithmetic average operator and weighted geometric average operator for the interval-valued rough intuitionistic fuzzy numbers are given. The score function and accurate function of rough intuitionistic fuzzy numbers are defined, and then an approach for ranking interval-valued rough intuitionistic fuzzy numbers is presented. The model of multi-attribute decision making is constructed based on interval-valued rough intuitionistic fuzzy numbers. The corresponding method of decision making is proposed. The example analysis shows the effectiveness of the method.

interval-valued rough intuitionistic fuzzy number; multi-attribute decision making; aggregation operator; variable-weight vector

2013- 06-24

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(71231003);國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71171055，70871117);福建省自然基金項(xiàng)目(2012J012802,2015J01287);福建省教育廳科技項(xiàng)目(JA14295);福建省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(201311311023)

余高鋒,(1986-)男,助教,碩士,從事決策分析和博弈論等研究；劉文奇(1965-)男,教授,從事決策分析的研究。

C934

A

1007-3221(2015)04- 0023- 07