曾慶成, 趙孝峰, 胡祥培, 楊忠振

(1.大連海事大學(xué) 交通運(yùn)輸管理學(xué)院，遼寧 大連 116026; 2.大連理工大學(xué) 系統(tǒng)工程研究所，遼寧 大連 116023 )

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集裝箱碼頭泊位計(jì)劃的魯棒優(yōu)化模型

曾慶成1, 趙孝峰1, 胡祥培2, 楊忠振1

(1.大連海事大學(xué) 交通運(yùn)輸管理學(xué)院，遼寧 大連 116026; 2.大連理工大學(xué) 系統(tǒng)工程研究所，遼寧 大連 116023 )

針對(duì)集裝箱碼頭作業(yè)中的不確定性因素，構(gòu)建泊位計(jì)劃的魯棒優(yōu)化模型與算法，目的是降低不確定性因素對(duì)集裝箱碼頭作業(yè)系統(tǒng)的影響。首先，提出泊位計(jì)劃魯棒性度量指標(biāo)，利用算例對(duì)各指標(biāo)的效果進(jìn)行分析。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)泊位計(jì)劃魯棒優(yōu)化的兩階段優(yōu)化算法。算法的第一階段不考慮泊位計(jì)劃的魯棒性，以船舶總延誤時(shí)間最小為目標(biāo)；算法的第二階段以所選擇的魯棒性指標(biāo)最大為目標(biāo)，以第一階段獲得的船舶總延誤時(shí)間為約束條件，獲得魯棒調(diào)度方案。最后，研究作業(yè)資源(裝卸橋數(shù)量)的變化對(duì)泊位計(jì)劃魯棒性的影響。算例分析表明，權(quán)重松弛量是有效的度量泊位計(jì)劃魯棒性的指標(biāo)，兩階段算法可以有效解決泊位計(jì)劃魯棒優(yōu)化問(wèn)題。

物流工程；泊位計(jì)劃；魯棒優(yōu)化；集裝箱碼頭

0 引言

泊位是集裝箱碼頭的重要作業(yè)資源，合理的泊位計(jì)劃是提高碼頭生產(chǎn)效率，減少船舶延誤的重要因素。但在集裝箱碼頭作業(yè)過(guò)程中存在各種不確定性因素，如作業(yè)事故、設(shè)備故障等。這些事件的發(fā)生可能會(huì)打亂原有泊位計(jì)劃，對(duì)正常作業(yè)造成巨大干擾，引起大量的額外成本。因此，如何有效地處理這些不確定性因素，減少其對(duì)碼頭作業(yè)系統(tǒng)的影響，已成為集裝箱碼頭作業(yè)調(diào)度領(lǐng)域的重要問(wèn)題。

本文擬在泊位計(jì)劃制定階段，通過(guò)提高泊位計(jì)劃的魯棒性，降低不確定性對(duì)集裝箱碼頭作業(yè)系統(tǒng)的影響。為此，需要解決兩方面的問(wèn)題：一是如何選擇魯棒性度量方法與指標(biāo)；二是如何在調(diào)度方案魯棒性與作業(yè)成本之間做出平衡。本文首先在不考慮不確定性因素的情況下，建立泊位分配模型，然后，建立泊位計(jì)劃魯棒性度量方法，設(shè)計(jì)優(yōu)化泊位分配方案的兩階段算法，研究泊位計(jì)劃魯棒性與作業(yè)資源投入的關(guān)系。

1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)泊位分配問(wèn)題開(kāi)展了大量的研究，代表性研究如，Nishimura等[1]、Imai[2]和Kim等[3]建立的離散型泊位分配模型，以及Imai等[4,5]和Wang等[6]建立的連續(xù)泊位分配模型。由于泊位分配與裝卸橋調(diào)度相互影響，船舶作業(yè)時(shí)間在很大程度上取決于裝卸橋的分配，而裝卸橋的調(diào)度也要依據(jù)泊位計(jì)劃，受泊位計(jì)劃的約束。因此，一些研究關(guān)注泊位與裝卸橋的集成調(diào)度問(wèn)題。如Park和Kim[7]建立了同時(shí)優(yōu)化船舶停泊位置、停泊時(shí)間、以及裝卸橋配置的混合整數(shù)規(guī)劃模型。Imai等[8]采用離散泊位分配方法，建立了泊位計(jì)劃與裝卸橋調(diào)度模型。Liang等[9]建立了泊位分配-裝卸橋調(diào)度模型，與前兩個(gè)模型不同的是，模型中考慮了裝卸橋配置數(shù)量對(duì)裝卸橋平均作業(yè)效率的影響。

上述研究主要面向確定性環(huán)境，近年來(lái)，不確定性環(huán)境下泊位與裝卸橋調(diào)度問(wèn)題受到越來(lái)越多的關(guān)注。一種方法是在泊位計(jì)劃階段，通過(guò)考慮不確定性因素，提高調(diào)度方案抵御不確定性干擾的能力。如，Han等[10]考慮船舶到達(dá)時(shí)間、裝卸橋作業(yè)時(shí)間不確定性的基礎(chǔ)上，建立了泊位分配-裝卸橋調(diào)度模型，目的是獲得泊位與裝卸橋的魯棒調(diào)度方案。周鵬飛和康海貴[11]基于隨機(jī)規(guī)劃方法，構(gòu)建了隨機(jī)環(huán)境下泊位-岸橋分配模型。Zhen和Chang[12]建立的泊位分配的多目標(biāo)模型，同時(shí)優(yōu)化作業(yè)成本和泊位計(jì)劃的魯棒性。另一種方法是研究不確定性干擾事件發(fā)生后，如何調(diào)整泊位計(jì)劃，以減小干擾事件的影響。如曾慶成等[13]分析了干擾事件對(duì)泊位分配與裝卸橋調(diào)度的影響，建立了集裝箱碼頭泊位分配-裝卸橋調(diào)度的干擾管理模型。

雖然這兩種方法分別從事前與事后角度處理不確定性因素，但事實(shí)上，二者是相互聯(lián)系的。如在泊位計(jì)劃制定階段，可以通過(guò)提高魯棒性，減低方案調(diào)整的難度和調(diào)整的成本；而干擾事件的分析與評(píng)價(jià)，也有利于魯棒調(diào)度策略的制定。魯棒調(diào)度作為研究不確定環(huán)境下生產(chǎn)調(diào)度問(wèn)題的一種重要方法，近年來(lái)受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，出現(xiàn)了大量的研究成果(Wu等[14])，但由于不同魯棒調(diào)度問(wèn)題差異較大，其魯棒調(diào)度模型與策略存在較大差異。盡管泊位計(jì)劃魯棒調(diào)度已有一些研究成果(Han等[10])，但泊位計(jì)劃的魯棒性度量、以及泊位計(jì)劃魯棒性與成本之間的權(quán)衡等問(wèn)題還需要進(jìn)一步研究，這些都是泊位計(jì)劃魯棒調(diào)度中的關(guān)鍵問(wèn)題。

2 泊位分配模型

采用連續(xù)型泊位分配方法，同時(shí)優(yōu)化泊位分配與裝卸橋調(diào)度計(jì)劃，即優(yōu)化每艘船舶的停泊位置、?？繒r(shí)間、以及裝卸橋配置數(shù)量。模型參數(shù)與變量假設(shè)如下：

模型參數(shù)：

L：泊位岸線總長(zhǎng)度，將岸線劃分為若干以10米為單位的單元；

N：一定時(shí)期內(nèi)停靠船舶的總數(shù)；

Q：裝卸橋配置總數(shù)；

T：以小時(shí)為單位的若干時(shí)間點(diǎn)的集合；

ai：船舶i預(yù)計(jì)到港時(shí)間；

di：船舶i預(yù)計(jì)離港時(shí)間，此時(shí)間通常由船公司與碼頭協(xié)議確定；

li：船舶i的長(zhǎng)度，以10米單元數(shù)量表示；

wi：完成船舶i作業(yè)需要的裝卸橋總臺(tái)時(shí)數(shù)；

M：一足夠大的常數(shù)。

決策變量：

xi：船舶i的停靠位置；

yi：船舶i的?？繒r(shí)間；

ei:船舶i作業(yè)完成時(shí)間；

假設(shè)泊位水深能充分滿足船舶停靠要求，裝卸橋單位作業(yè)效率不受同時(shí)作業(yè)裝卸橋數(shù)量的影響。于是，泊位分配模型可以表示為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

yi≥ai,?i=1,…,N

(9)

xi∈{0,1,…,L-li},?i=1,…,N

(10)

(11)

(12)

式(1)為目標(biāo)函數(shù)，表示最小化船舶延誤時(shí)間。式(2)表示裝卸橋數(shù)量約束，式(3)避免兩艘船舶之間在?？繒r(shí)間與停靠位置上的沖突，式(4)～(6)表示每艘船舶作業(yè)開(kāi)始與結(jié)束時(shí)間的關(guān)系，式(7)表示兩艘船舶?？课恢弥g的關(guān)系，式(8)表示兩艘船舶停靠時(shí)間的關(guān)系，式(9)保證每艘船舶在其到港時(shí)間之后?？?，式(10)保證每艘船均停靠在岸線范圍內(nèi)，式(11)表示分配給每艘船舶的最大與最小裝卸橋數(shù)。

3 泊位計(jì)劃魯棒性度量

3.1 魯棒性度量指標(biāo)

魯棒性度量是優(yōu)化魯棒調(diào)度方案的基礎(chǔ)，在優(yōu)化調(diào)度方案時(shí)，通過(guò)優(yōu)化魯棒性度量指標(biāo)，可以提高調(diào)度方案吸收不確定性干擾的能力。目前，機(jī)器調(diào)度領(lǐng)域的魯棒性度量問(wèn)題得到了較多的研究[15]，主要的方法包括基于后悔值、最差情景、領(lǐng)域度量、松弛度量等方法。本文基于松弛度量方法，提出以下泊位計(jì)劃魯棒性的度量指標(biāo)：

(1)平均松弛

在泊位計(jì)劃中，某一艘船舶作業(yè)的松弛量定義為在不影響后續(xù)船舶作業(yè)開(kāi)始時(shí)間的前提下，其作業(yè)開(kāi)始時(shí)間的最大延誤量。

si=LSi-ESi

(13)

其中，si表示在泊位計(jì)劃中，船舶i的松弛量，ESi表示船舶i作業(yè)最早開(kāi)始時(shí)間，LSi表示在不影響后續(xù)船舶的情況下，船舶i作業(yè)最晚開(kāi)始時(shí)間。于是，泊位計(jì)劃的松弛量可以表示為：

(14)

(2)權(quán)重松弛量

RM1假定每艘船舶具有相同的權(quán)重，事實(shí)上，后續(xù)作業(yè)任務(wù)多的船舶，其延誤造成的影響大于后續(xù)作業(yè)任務(wù)較少的船舶，因此，用權(quán)重松弛量考慮后續(xù)作業(yè)船舶量的影響：

(15)

其中，NSi表示船舶i的后續(xù)作業(yè)船舶數(shù)，可以表示為：

(16)

另外，可以以船舶的作業(yè)量作為權(quán)重，設(shè)置一下兩個(gè)指標(biāo)：

(17)

(18)

(3)松弛函數(shù)

上述4個(gè)度量指標(biāo)假設(shè)每單位的松弛量的邊際影響相同，這可能會(huì)過(guò)分高估某些任務(wù)松弛的影響，尤其是當(dāng)某作業(yè)任務(wù)松弛量非常大時(shí)。為此，采用松弛效用函數(shù)度量，即：

(19)

同時(shí)，可以采用有效松弛量度量(RM6)，其中，frac表示比例系數(shù)。當(dāng)某一作業(yè)任務(wù)的松弛量較小時(shí)，將其計(jì)算到總松弛量中，而當(dāng)某一作業(yè)任務(wù)松弛量較大時(shí)，只將其潛在的有效部分計(jì)算到總松弛量中，即：

(20)

另外，以0-1(αi)變量代替si進(jìn)行度量，當(dāng)泊位計(jì)劃中船舶i存在松弛量時(shí)，αi=1，否則=0。其計(jì)算公式如式(21)所示：

(21)

(4)其它指標(biāo)

另外，結(jié)合按照以上方法，設(shè)置以下指標(biāo)：

(22)

(23)

(24)

3.2 指標(biāo)評(píng)價(jià)方法

首先，對(duì)于通過(guò)泊位分配模型(1)～(12)獲得的泊位計(jì)劃方案，計(jì)算其船舶總延誤時(shí)間(即計(jì)劃延誤時(shí)間)。然后，利用模特卡羅發(fā)生成多個(gè)仿真情景，計(jì)算這些情景下船舶總延誤時(shí)間(即實(shí)際延誤時(shí)間)，以及魯棒性指標(biāo)RMi(i=1,…,10)。最后，計(jì)算魯棒性指標(biāo)與PM1,PM2之間的相關(guān)性，選擇相關(guān)性大的指標(biāo)作為泊位計(jì)劃魯棒性度量指標(biāo)。

其中，PM1表示在所有的仿真情景中，船舶實(shí)際延誤小于計(jì)劃延誤的比例，即，PM1=(實(shí)際延誤大于計(jì)劃延誤的情景)/情景總數(shù)；PM2表示船舶實(shí)際延誤與計(jì)劃延誤之間的差異，即，PM2=(平均實(shí)際延誤-計(jì)劃延誤)/計(jì)劃延誤

具體評(píng)價(jià)方法過(guò)程如下：

(1)泊位分配方案產(chǎn)生

按照以上方法產(chǎn)生Nf個(gè)泊位分配方案，計(jì)算每個(gè)方案的魯棒性指標(biāo)值RMi(i=1,…,10)。

(2)蒙特卡羅仿真

重復(fù)此步驟Nr次。

表1 RMi與PMi之間相關(guān)性(R2)

(3)相關(guān)性計(jì)算

計(jì)算上述步驟產(chǎn)生的Nr×Nf個(gè)情景的PM1，PM2以及RMi(i=1,…,10)與PM1,PM2的相關(guān)性，選擇相關(guān)性大的RMi作為泊位計(jì)劃魯棒性度量指標(biāo)。

3.3 評(píng)價(jià)結(jié)果

選擇天津某集裝箱碼頭7天船舶到港數(shù)據(jù)(共有22艘到港船舶)進(jìn)行分析，此碼頭岸線長(zhǎng)度1202米，共配置裝卸橋12臺(tái)，裝卸橋平均效率為30次/小時(shí)。假設(shè)Nf,Nr分別為20次、30次，步長(zhǎng)Δ為0.01，frac為0.1。計(jì)算得到RMi與PMi之間的決定系數(shù)(R2)如表1所示。

結(jié)果表明，RM2具有最大的決定系數(shù)R2，另外，RM1,RM3,RM4也與PMi之間具有較高的相關(guān)性。

4 泊位計(jì)劃的魯棒優(yōu)化算法

4.1 算法設(shè)計(jì)

選擇與PMi相關(guān)性最大的指標(biāo)RM2泊位計(jì)劃魯棒性的度量指標(biāo)，通過(guò)最大化RM2獲得魯棒調(diào)度方案，其優(yōu)化過(guò)程通過(guò)兩階段算法實(shí)現(xiàn)：

(1)第一階段

不考慮泊位計(jì)劃的魯棒性，以船舶總延誤時(shí)間(Cmax)最小為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化泊位計(jì)劃，即通過(guò)求解式(1)～(12)獲得泊位計(jì)劃方案。

(2)第二階段

魯棒性度量指標(biāo)RM2最大化為目標(biāo)函數(shù)，以第一階段獲得的船舶總延誤時(shí)間Cmax以及式(2)～(12)為約束條件，獲得魯棒調(diào)度方案。

同等條件下，作業(yè)資源(如裝卸橋數(shù)量)的增加會(huì)使RM2增加，從而提高調(diào)度方案的魯棒性。為了提高調(diào)度方案的魯棒性，在第二階段求解中，考慮變化裝卸橋數(shù)量，即Q=(1+η)Q0。另一方面，裝卸橋的增加會(huì)增加作業(yè)成本，需要在調(diào)度方案的魯棒性與作業(yè)成本之間做出平衡。為此，通過(guò)變化裝卸橋數(shù)量，分析裝卸橋配置數(shù)量與泊位計(jì)劃魯棒性RM2，以及泊位計(jì)劃實(shí)施效果PM1的關(guān)系。以第一階段獲得的Cmax為約束，通過(guò)變化裝卸橋數(shù)量分析，可以為實(shí)際調(diào)度人員平衡魯棒性和作業(yè)成本間的關(guān)系提供依據(jù)。

在算法第一、二階段，分別采用基于拉格朗日松弛的算法求解，式(1)～(12)模型的拉格朗日松弛表述為：

(25)

(27)

4.2 算例分析

圖1 裝卸橋數(shù)量與泊位計(jì)劃魯棒性關(guān)系

圖2 裝卸橋數(shù)量與泊位計(jì)劃方案效果關(guān)系

其次，分析裝卸橋配置數(shù)量與泊位計(jì)劃方案效果(采用指標(biāo)PM1度量)的關(guān)系，通過(guò)兩階段算法，獲得不同裝卸橋數(shù)量情況下的泊位計(jì)劃方案，分別假設(shè)船舶作業(yè)時(shí)間的變異系數(shù)CV等于0.5、0.3、0.2，計(jì)算PM1，得到圖2所示的結(jié)果。

從圖2可以看出，隨著裝卸橋數(shù)量的增加，泊位計(jì)劃方案的PM1值隨之增加，即船舶按照泊位計(jì)劃完成作業(yè)的比例增加。這說(shuō)明，裝卸橋數(shù)量的增加，提高了泊位計(jì)劃的魯棒性。另一方面，隨著裝卸橋數(shù)量的繼續(xù)增加，PM1值改進(jìn)的速度越來(lái)越慢。

在實(shí)際應(yīng)用中，決策者需要在作業(yè)資源投入與泊位計(jì)劃魯棒性之間做出平衡。這里，以下模型決定裝卸橋投入數(shù)量：

(28)

(29)

其中，c1表示如果船舶沒(méi)有在規(guī)定時(shí)間完成作業(yè)，其單位延誤時(shí)間的懲罰成本，c2表示裝卸橋單位臺(tái)時(shí)的成本，E[Cmax(η)]表示在投入Q0(1+η)臺(tái)裝卸橋情況下，考慮船舶作業(yè)時(shí)間的不確定性，船舶延誤時(shí)間的期望值。由于裝卸橋數(shù)量為整數(shù)值，因此這里η為離散變量，即Q0(1+η)為整數(shù)的取值。

假設(shè)c2=5000元/艘，c2為1300元/小時(shí)。在實(shí)際中，c2結(jié)合集裝箱碼頭與船公司簽訂的作業(yè)合同確定。利用圖2中數(shù)據(jù)計(jì)算可得，CV取值0.5時(shí)，最優(yōu)裝卸橋配置數(shù)量分為17臺(tái)，CV取值0.3與0.2時(shí)，裝卸橋配置數(shù)量為15臺(tái)。

5 結(jié)論

為了降低不確定性因素對(duì)集裝箱碼頭船舶作業(yè)系統(tǒng)的影響，研究泊位計(jì)劃魯棒性度量與優(yōu)化問(wèn)題，提出了泊位計(jì)劃魯棒性的度量方法，設(shè)計(jì)了泊位計(jì)劃魯棒優(yōu)化的兩階段優(yōu)化算法，分析了研究作業(yè)資源的變化對(duì)調(diào)度方案魯棒性的影響。方案的魯棒性度量是魯棒調(diào)度的關(guān)鍵問(wèn)題之一，本文為泊位計(jì)劃的魯棒性度量提供了一種有效方法，為集裝箱碼頭計(jì)劃制定者如何平衡作業(yè)成本與調(diào)度方案魯棒性提供了新思路，有助于拓展魯棒優(yōu)化應(yīng)用領(lǐng)域。實(shí)際應(yīng)用方面，提出了通過(guò)裝卸橋數(shù)量變化調(diào)整調(diào)度方案魯棒性的方法，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)碼頭自身資源狀況靈活選擇魯棒性策略，模型的實(shí)用性更強(qiáng)。

本文在優(yōu)化泊位計(jì)劃只考慮泊位計(jì)劃的魯棒性，以及裝卸橋配置數(shù)量對(duì)魯棒性的影響。沒(méi)有考慮裝卸橋調(diào)度(即裝卸橋在泊位前沿以及不同作業(yè)船舶間的移動(dòng)路徑)魯棒性的影響。事實(shí)上，裝卸橋的調(diào)度直接影響泊位計(jì)劃的實(shí)施，因此，裝卸橋調(diào)度魯棒性也會(huì)影響泊位計(jì)劃的魯棒性，二者之間的影響與相互關(guān)系是值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

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Robust Optimization Model for Berth Planning Problem in Container Terminals

ZENG Qing-cheng1, ZHAO Xiao-feng1, HU Xiang-pei2, YANG Zhong-zhen1

(1.SchoolofTransportManagement,DalianMaritimeUniversity,Dalian116026,China; 2.InstituteofSystemsEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116023,China)

To tackle the uncertainties that happen in operations of container terminals, robust optimization model and algorithms for berth planning problem are developed. The objective is to decrease the impact of uncertainties on operation efficiency of container terminals. Firstly, the robustness measures for berth schedule are proposed, and the each measure is assessed through computational experiments. Then, a two-stage robust optimization algorithm is designed: the first stage is to minimize the total delay of berthing vessels without considering the schedule robustness, and the total delay obtained is taken as a threshold value for the next stage. The second stage is to maximize the robustness measures while keeping the total vessel delay at a level equal to or smaller than the threshold value obtained by the first stage. Finally, the impact of operation resource(the number of quay cranes)on schedule robustness is analyzed. Numerical experiments indicate that weighted slack index is a valid robustness measure and the proposed two-stage algorithm can solve the robust optimization of berth plan efficiently.

logistics engineering; berth planning; robust optimization; container terminals

2012- 08-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71001012, 71370137)；教育部“新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃”(NCET-11- 0859)

曾慶成 (1978-)，男，教授，工學(xué)博士，研究方向，港口與物流系統(tǒng)優(yōu)化。

U691

A

1007-3221(2015)02- 0071- 07