高 歡， 童小嬌, 張海斌

(1.衡陽師范學(xué)院，湖南 衡陽 421002； 2.北京工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)理學(xué)院, 北京 100124； 3.湖南第一師范學(xué)院,湖南 長沙 410205)

?

離散橢球分布下兩階段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)利潤優(yōu)化模型及應(yīng)用

高 歡1,2， 童小嬌3, 張海斌2

(1.衡陽師范學(xué)院，湖南 衡陽 421002； 2.北京工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)理學(xué)院, 北京 100124； 3.湖南第一師范學(xué)院,湖南 長沙 410205)

本文研究隨機(jī)變量非完全分布下的兩階段風(fēng)險(xiǎn)-利潤優(yōu)化問題。采用最壞情況下條件風(fēng)險(xiǎn)(Worst-case Conditional Value-at-Risk:WCVaR) 度量指標(biāo)，在離散橢球分布下建立了兩階段WCVaR 約束下利潤期望最大優(yōu)化模型，運(yùn)用優(yōu)化對(duì)偶方法將復(fù)雜的Max-Min 結(jié)構(gòu)化簡(jiǎn)，理論上證明了簡(jiǎn)化模型和原模型的同解性，以發(fā)電商電能分配組合優(yōu)化為數(shù)值實(shí)例，驗(yàn)證了模型和計(jì)算方法的有效性。

最壞情況下條件風(fēng)險(xiǎn)(WCVaR)；兩階段風(fēng)險(xiǎn)-利潤優(yōu)化；離散橢球分布；對(duì)偶方法；組合優(yōu)化

0 引言

風(fēng)險(xiǎn)值VaR(Value at risk)[1]作為風(fēng)險(xiǎn)度量方法在金融領(lǐng)域中已有廣泛的應(yīng)用,但由于VaR方法缺乏次可加性,不滿足一致性公理等缺點(diǎn),從而導(dǎo)致在投資組合優(yōu)化上的應(yīng)用存在不足[2]。為克服VaR的不足,Duffie和Pan[3]提出CVaR(Condition VaR),Artzner[4]證明了CVaR具有次可加性和凸性,因此被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[5,6]。CVaR方法要求隨機(jī)變量信息。分布完全已知,但絕大多數(shù)情況下,隨機(jī)變量的可能性分布不能完全確定(比如電力市場(chǎng)),這就意味著CVaR方法不能精確地描述其風(fēng)險(xiǎn)。Zhu和Fukushima[7]提出了WCVaR (Worst-Case VaR)理論就解決了這一問題。

風(fēng)險(xiǎn)度量WCVaR的分析都是建立在單時(shí)段的情況,雖然單時(shí)段的連續(xù)度量方法可以處理多時(shí)段決策問題,但很多情況常常導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的結(jié)論。基于此,國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)多時(shí)段CVaR進(jìn)行了大量研究,如1973年P(guān)rekopa[8]提出了帶有概率約束且約束中有條件期望約束的兩階段模型,并證明了該模型的有效性。Fabian[9]建立了兩階段CVaR優(yōu)化和約束的隨機(jī)模型,并對(duì)目標(biāo)函數(shù)與約束條件進(jìn)行分解及采用L-shaped方法進(jìn)行求解。張興平、陳玲[10]建立了加權(quán)CVaR下的發(fā)電商多時(shí)段投標(biāo)組合模型,根據(jù)這一模型發(fā)電商可在不同時(shí)段、不同市場(chǎng)分配電量比例來使期望收益最大且風(fēng)險(xiǎn)最小.基于以上各文思路及童小嬌和劉青[11]一文考慮能否研究離散橢球分布下兩階段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)利潤優(yōu)化模型及其應(yīng)用是本文研究動(dòng)機(jī)。

本文以電力市場(chǎng)為應(yīng)用背景,以WCVaR為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo),建立離散橢球分布下兩階段的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)約束下期望收益最大化模型。由于該模型具有復(fù)雜的Max-Min結(jié)構(gòu),采用對(duì)偶理論化為常規(guī)的線性規(guī)劃問題,最后數(shù)值仿真表明該模型的有效性。

1 WCVaR魯棒優(yōu)化模型及其簡(jiǎn)化

1.1 WCVaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法

設(shè)決策變量x∈χ?Rn，且χ為閉凸集。隨機(jī)變量y?Rs的分布為p(·),損失函數(shù)為f(x,y)。對(duì)于給定的x∈χ，VaR的定義為在一定的置信水平β下，損失函數(shù)f(x,y)不超過α的概率大于β的閥值:

(1)

根據(jù)Rockafellar-Uryasev[12,13]定義的條件風(fēng)險(xiǎn)(CVaR)為其損失函數(shù)超過風(fēng)險(xiǎn)Varβ(x)的條件期望值即

(2)

由上述表達(dá)式直接計(jì)算CVaRβ(x)非常難,因此Rockafellar-Uryasev在文獻(xiàn)[13]中構(gòu)造一個(gè)關(guān)于α的連續(xù)可微凸函數(shù)Fβ(x,α)來計(jì)算CVaRβ(x),其中

(3)

和[t]+=max{t,0}，而且有以下結(jié)果[7]

φβ(x)=CVaRβ(x)=minα∈RFβ(x,α)

(4)

在實(shí)際應(yīng)用中,y的概率密度p(y)一般采用樣本點(diǎn)的近似方法,則Fβ(x,α)可近似為

(5)

CVaR模型應(yīng)用于隨機(jī)變量y分布信息完全已知的情形,對(duì)于隨機(jī)變量y只有部分信息已知時(shí)(如已知p(·)∈PE,PE為某分布集合),最壞情況下的條件風(fēng)險(xiǎn)(WCVaR)[7]被提出。

定義1 設(shè)隨機(jī)變量y的分布p(·)∈PE,對(duì)于任意x∈χ的WCVaR定義為:

WCVaRβ(x)=supp(·)∈PCVaRβ(x)

(6)

將(4)式代入(6)式從而得到:

WCVaRβ(x)=supp(·)∈Pminα∈RFβ(x,α)

(7)

假設(shè)PE為閉凸緊集,對(duì)于給定置信水平β和任意p(·)∈PE,記

(8)

其中

(9)

從而有:

(10)

(10)式中最后一個(gè)等式利用文獻(xiàn)[7]的引理1可以得到。

1.2 單時(shí)段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)-利潤魯棒優(yōu)化模型

基于此建立單時(shí)段WCVaR的風(fēng)險(xiǎn)約束下期望收益最大優(yōu)化模型即:

(11)

1.3 兩時(shí)段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)-利潤魯棒優(yōu)化模型

假定n有市場(chǎng),r0表示投資初始資產(chǎn)，ωB為預(yù)期期望得到的最后資產(chǎn)，由決策者確定。

y1=(y11,…,yi1,…yn1)T為第一階段的收益率,是一個(gè)已知分布的隨機(jī)變量,且的每個(gè)元素都是非負(fù),yi1表示第i市場(chǎng)第一階段的市場(chǎng)收益率。

r1=y1Tx1表示所有市場(chǎng)第一階段末的資產(chǎn)；x2=(x12,…,xi2,…xn2)T表示發(fā)電商在第i個(gè)市場(chǎng)第二階段所選擇的投資組合,且是一個(gè)決策變量,可行的投資組合用x2∈χ表示,分量xi2表示發(fā)電商的年度總電量在第i個(gè)市場(chǎng)第二階段的資產(chǎn)值,滿足1Tx2=r1。

y2=(y12,…,yi2,…yn2)T為第二階段的收益率,是一個(gè)隨機(jī)變量,y2的每個(gè)元素都是非負(fù),yi2表示第i市場(chǎng)第二階段的市場(chǎng)收益率,且隨機(jī)變量y1,y2的聯(lián)合分布是已知。

考慮最后時(shí)刻的風(fēng)險(xiǎn)和利潤，建立兩階段的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)-利潤優(yōu)化模型

(12)

2 離散橢球分布下兩階段WCVaR的利潤-風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化模型

本文主要考慮兩階段的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)約束下期望收益最大化模型即式(12),該模型具有高維復(fù)雜的min-max結(jié)構(gòu),本節(jié)將考慮離散橢球約束分布下的非完全信息分布,應(yīng)用對(duì)偶理論將其化簡(jiǎn)為min優(yōu)化模型。

進(jìn)一步，若其離散點(diǎn)的概率滿足

(13)

(14)

證明 對(duì)模型(12)化簡(jiǎn)，其中離散橢球分布為

(15)

化簡(jiǎn)模型(12)的目標(biāo)函數(shù)

(16)

考慮函數(shù)

(17)

利用對(duì)偶理論原問題(17)式等價(jià)于

(18)

‖ε(jt)‖≤‖ξ(j)‖,λ(jk)≥0,z(j)∈R

從而模型(12)目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于

(19)

對(duì)模型(12)約束條件化解

(20)

采用類似模型(12)目標(biāo)函數(shù)方法考慮上述max部分

(21)

通過計(jì)算上述問題等價(jià)于

(22)

‖ι(jt)‖≤‖δ(j)‖,τ(jk)≥0

從而約束條件等價(jià)于

(23)

綜述所述，模型(12)等價(jià)于以下問題

(24)

證畢。

由于(24)式的約束中含有極小化問題,為使問題更簡(jiǎn)便分別記

(25)

U=(x,ξ,z,λ,ε,α,τ,δ,ι,σ),V=(x,ξ,z,λ,ε)

(24)式去掉約束中min后的表達(dá)式為

(26)

以下定理2表明優(yōu)化問題(24)和(26)同解。

(27)

的解。Ω(x)定義參考式(25)。

先證明約束條件的可行性。記

(28)

從而

(29)

(30)

所以

(31)

(32)

3 基于離散橢球分布下兩時(shí)段WCVaR的發(fā)電資產(chǎn)組合計(jì)算

一個(gè)完整的電力市場(chǎng)一般包括日前交易市場(chǎng)(現(xiàn)貨交易市場(chǎng)),遠(yuǎn)期合約市場(chǎng),實(shí)時(shí)交易(平衡)市場(chǎng)和輔助服務(wù)交易市場(chǎng)。遠(yuǎn)期合約市場(chǎng)和輔助服務(wù)交易市場(chǎng)電價(jià)波動(dòng)小風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)小,收益也相對(duì)偏低;現(xiàn)貨交易市場(chǎng)和實(shí)時(shí)交易市場(chǎng)電價(jià)波動(dòng)大風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)大,收益也相對(duì)高。由于現(xiàn)貨市場(chǎng)和和合約市場(chǎng)是電力市場(chǎng)的主要交易類型,占電力交易的90%,因此本文只考慮現(xiàn)貨市場(chǎng)、遠(yuǎn)期合約市場(chǎng)的影響,本文將采用離散橢球分布下兩時(shí)段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)約束下期望收益最大化模型研究電力資產(chǎn)的分配問題，決策變量x表示兩市場(chǎng)的資產(chǎn)分配所占比列，隨機(jī)變量y表示兩市場(chǎng)的年度利潤。隨機(jī)變量y采用Monto-Carlo方法取點(diǎn),由于經(jīng)濟(jì)學(xué)中損失一般用數(shù)量表示,從而取WCVaR中的ωB=0。

本文數(shù)值實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)來源文獻(xiàn)[14],樣本點(diǎn)取50個(gè),離散橢球分布A可采用randn產(chǎn)生，特別地A=In×n，計(jì)算環(huán)境為Pentium(R) Dual-Core CPU T4400@2.20GHZ,2.19GHZ,1.99GB的內(nèi)存，Microsoft Windows XP Professional Operating System。

3.1 模型計(jì)算結(jié)果分析

根據(jù)簡(jiǎn)化模型(26)的計(jì)算結(jié)果分析結(jié)果如圖1。

(i)圖(1)可知,隨著兩階段的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)水平或利潤的增大,遠(yuǎn)期合約市場(chǎng)所占比例越來越小,相應(yīng)的現(xiàn)貨市場(chǎng)所占的比例越來越大,這是因?yàn)樵诂F(xiàn)貨市場(chǎng)的利潤波動(dòng)性較大,其面臨的風(fēng)險(xiǎn)也越大.這說明愛好風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)電商將選擇增大現(xiàn)貨市場(chǎng)比例以期望獲得更大利潤,而厭惡風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)電商將選擇加大遠(yuǎn)期合約市場(chǎng)所占比例.當(dāng)分配比例全部分配到現(xiàn)貨市場(chǎng)時(shí)期望收益可能為最大,但此時(shí)兩階段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值也趨向于無限大。從以上可知，投資者在進(jìn)行決策時(shí)要充分考慮收益與風(fēng)險(xiǎn)兩方面,片面追求利潤最大只會(huì)使?jié)撛诘膿p失無限增大。這符合實(shí)際的市場(chǎng)行為。

(ii)圖(2)中的3條效率前沿曲線都是單調(diào)遞增,這表明隨著期望值收益增大,兩階段的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值也逐漸增加。反之亦然,這符合實(shí)際的市場(chǎng)行為.同時(shí)從可以看到,期望收益有一個(gè)大致范圍,因此發(fā)電商在一定置信水平β下,確定投標(biāo)策略時(shí)期望收益不能太高也不能太低。當(dāng)置信水平β越大,效率前沿曲線向右移,在相同的期望收益下,得到的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)值越大,意味著發(fā)電商的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越大,趨向于采取保守投資策略；反之,當(dāng)置信水平β越小,效率前沿曲線向左移,在相同的期望收益下,得到的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)值越小,意味著發(fā)電商的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越小,趨向于采取激進(jìn)投資策略。

圖1 現(xiàn)貨與期貨最優(yōu)配置

圖2 兩階段模型的效率前沿

4 結(jié)論與展望

本文以WCVaR為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，在離散橢球分布下建立兩階段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)約束下的期望收益最大化模型，運(yùn)用對(duì)偶理論將復(fù)雜的優(yōu)化模型化簡(jiǎn)為易算的線性規(guī)劃問題，數(shù)值試驗(yàn)表明該模型的有效性。該模型能在部分信息已知下計(jì)算出風(fēng)險(xiǎn)-利潤值，且對(duì)參數(shù)變化敏感度不高，因此可以應(yīng)用于對(duì)市場(chǎng)有高穩(wěn)定性要求的市場(chǎng)管理。

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Two Stages WCVaR Risk-profit Optimization Model under the Ellipsoidal Discrete Distribution and Application

GAO Huan1,2, TONG Xiao-jiao3, ZHANG Hai-bin2

(1.HengyangNormalUniversity,Hengyang421002,China; 2.BeijingUniversityofTechnology,CollegeofAppliedSciences,Beijing100124,China; 3.HunanFirstNormalUniversity,Changsha410205,China)

This paper presents two-stage risk-profit optimization problem under the know part information of random variable. Taking worst-case Conditional Value-at-Risk (WCVaR) as a measuring index, we establish two-stage profit expectation maximization model under WCVaR constraint. By means of the dual method, the complex structure of the Max-Min becomes simple. The optimal solution between the original problem and the reduced optimization problem is proved to have the same solution. Taking optimal allocation of generation assets in power markets as numerical experiments, numerical results show the validity of the proposed model and computation method.

Worst-case Conditional Value-at-Risk(WCVaR);two-stage risk-profit optimization; ellipsoidal discrete distribution; dual method; portfolio optimization

2012- 05-28

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171095,71371065,61179033)

高歡(1988-)，女，博士(在讀)， 主要研究方向：最優(yōu)化理論與方法，電力市場(chǎng)等；童小嬌(1962-)，女，教授，博士，主要研究方向：最優(yōu)化理論與方法，電力系統(tǒng)分析研究等； 張海斌(1965-)，男，教授，博士，主要研究方向：最優(yōu)化理論與方法，自動(dòng)微分的研究等。

0224.2

A

1007-3221(2015)02- 0221- 08