徐惠

摘要：本章研究對象為無限大平板雙向拉伸Ⅰ型裂紋混凝土板。應(yīng)用Muskhelishvil應(yīng)力函數(shù)全場解導(dǎo)出裂紋尖端微裂區(qū)和斷裂過程區(qū)的過程值及臨界值的解析表達(dá)式，在假設(shè)混凝土的拉應(yīng)變軟化曲線為冪函數(shù)形式的情況下分析混凝土軟化指數(shù)對斷裂過程區(qū)過程值和臨界值的影響，并求得了等效斷裂過程區(qū)的表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：軟化指數(shù)；混凝土斷裂；尺度；影響

混凝土是當(dāng)代最廣泛的建筑材料之一，它是由粗骨料、細(xì)骨料和水泥組成的多相材料。從微觀上講，混凝土是非均質(zhì)的、多孔多相的，并且在骨料和膠結(jié)物質(zhì)之間存在和許多微裂紋，所以相對于金屬而言，混凝土結(jié)構(gòu)的斷裂情況是更為復(fù)雜的，而且混凝土在破壞之前會有顯著的微裂區(qū)和斷裂過程區(qū)。并且微裂區(qū)的尺寸較大，因此除了大體積混凝土之外，應(yīng)用線彈性斷裂力學(xué)解決這類問題是不合適的。此外，混凝土的塑性區(qū)和金屬的塑性區(qū)也完全不同，除了微裂區(qū)和斷裂過程區(qū)的尺寸比本金屬材料的塑性區(qū)大幾個數(shù)量級之外，其物理性能也有很大的差別。對于金屬材料來說，在其裂紋尖端會隨著荷載的增加，而發(fā)生屈服，并且在屈服后其應(yīng)力保持不變或增大（考慮金屬的硬化現(xiàn)象）。但是混凝土不存在屈服區(qū)，而是當(dāng)荷載達(dá)到材料的屈服強(qiáng)度之后會產(chǎn)生微裂區(qū)，這使得裂紋尖端部分區(qū)域的承載力將會下降，但是由于骨料的橋連作用，使得其還能傳遞一定的內(nèi)力。從宏觀角度看表現(xiàn)為材料粘結(jié)力的下降，人們將這種由于裂紋尖端由于微裂區(qū)的出現(xiàn)而消弱了裂紋前緣部分傳遞內(nèi)力的能力的現(xiàn)象稱為材料的軟化行為。各國研究者試圖通過各種實驗方法來測得斷裂過程區(qū)（FPZ）的尺寸，如激光散斑法、聲發(fā)射法、光彈性貼片法等，但是都沒有得到非常理想的結(jié)果。

胡若鄰等基于Westergaard應(yīng)力函數(shù)和Muskhelishvil應(yīng)力函數(shù)根據(jù)冪指數(shù)描述的拉應(yīng)變軟化模型確定了考慮應(yīng)力松弛影響的斷裂過程區(qū)臨界值的解析表達(dá)式，討論了不同的破壞強(qiáng)度準(zhǔn)則及材料參數(shù)對斷裂過程區(qū)臨界值的影響。

虛擬裂紋模型：帶裂紋的混凝土構(gòu)件在受到外界荷載后，在裂紋尖端會產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，在裂紋尖端會產(chǎn)生很多微小的裂紋，并且在裂紋尖端的地方微裂紋較為密集，寬度也較大，隨著遠(yuǎn)離裂紋尖端微裂紋會慢慢減少直至消失。在微裂區(qū)（軟化區(qū)）內(nèi)，混凝土傳遞內(nèi)力的能力與微裂紋的變形存在著某種反比關(guān)系，即隨著微裂區(qū)擴(kuò)展寬度的增加，傳遞內(nèi)力的能力會降低，當(dāng)微裂區(qū)的寬度達(dá)到材料的極限寬度W時，混凝土傳遞內(nèi)力的能力變?yōu)榱悖⒊霈F(xiàn)宏觀的裂紋即真實的裂紋。基于混凝土裂紋擴(kuò)展的特點，A.Hillerborg等人與1976年提出了虛擬裂紋模型，將裂紋尖端的微裂區(qū)簡化成為一條可以傳遞內(nèi)力的“虛裂紋”，（1）當(dāng)裂紋尖端的最大拉應(yīng)力達(dá)到混凝土的最大壓應(yīng)力σu時，微裂紋開始出現(xiàn)并隨著外力的增加逐漸發(fā)展成為微裂縫區(qū)。（2）裂紋尖端雖然形成了微裂區(qū)，但材料依然可以傳遞部分的內(nèi)力，該微裂區(qū)用一約束裂紋代替。微裂區(qū)傳遞應(yīng)力的能力由其張開寬度W決定，也就是遵循微裂區(qū)和FCM模型σ-W規(guī)律。這種將能夠傳遞部分應(yīng)力的微裂區(qū)看成是虛擬的約束裂紋的模型就是虛擬裂紋模型。（3）假設(shè)虛裂紋初始的張開寬度W是零，并隨著外力的增加逐漸增大。當(dāng)張開寬度達(dá)到材料的臨界值W時，微裂紋完全喪失傳遞內(nèi)力的能力，此時虛裂紋就變成了真是的裂紋，與此同時，在前面又形成新的虛擬裂紋。這就是裂紋的亞臨界擴(kuò)展。（4）就整個結(jié)構(gòu)而言，除了微裂區(qū)以外的區(qū)域均處于線彈性狀態(tài).裂紋尖端應(yīng)力分布和裂紋的亞臨界擴(kuò)展過程中展示了裂紋尖端的應(yīng)力分布。

在虛擬裂紋中，軟化指數(shù)和斷裂能是兩個重要的基本參數(shù)。軟化指數(shù)是指材料在受拉時，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到材料的最大抗拉強(qiáng)度后，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。斷裂能是材料單位面積完全開裂所吸收的能量。為了數(shù)值計算的方便，常用的混凝土軟化曲線有直線型、折線形和冪指數(shù)形。

微裂區(qū)的解析表達(dá)式：

眾所周知，彈性力學(xué)平面問題可以歸結(jié)為求解一個滿足調(diào)和方程22φ=0。的應(yīng)力函數(shù)φ，并使其在彈性體邊界上滿足全部邊界條件。當(dāng)確定了Airy應(yīng)力函數(shù)φ以后，就可以根據(jù)式（2-1）求出各應(yīng)力分量（不記體力），然后可以根據(jù)平面問題中的物理方程和幾何方程就可以求出應(yīng)變分量和位移分量。因此解決問題的關(guān)鍵是得到雙調(diào)和函數(shù)φ。在數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)，復(fù)變解析函數(shù)的實數(shù)部分和虛數(shù)部分都是雙調(diào)和函數(shù)。

可以看出，解析函數(shù)Z（z）的導(dǎo)數(shù)Z′（z）與積分Zz的實數(shù)部分和虛數(shù)部分也是雙調(diào)和函數(shù)，并且它們與x，y的線性組合也都是雙調(diào)和函數(shù)。

混凝土的斷裂過程區(qū)過程值及臨界值：

為了便于處理混凝土的斷裂過程區(qū)出現(xiàn)的軟化，本文采用了冪函數(shù)模型描述混凝土斷裂過程區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

基本假設(shè)：

（1）斷裂過程區(qū)處于裂紋尖端并沿裂紋方向呈帶狀分布，即與σ1相垂直；

（2）斷裂過程區(qū)內(nèi)的最大拉應(yīng)力等于σu，由冪函數(shù)表示拉應(yīng)變軟化曲線。當(dāng)θ=0時，設(shè)rp為斷裂過程區(qū)的長度，0rrapp=是無量綱參數(shù)。在此范圍內(nèi)，Ⅰ型裂紋尖端的應(yīng)力σy表示。

（3）斷裂過程區(qū)以外均處于彈性狀態(tài)，且拉、壓彈性模量相同（實用上，可以更嚴(yán)格的假定壓應(yīng)力水平在混凝土強(qiáng)度的50%以內(nèi)）；

（4）與Dugdale模型相仿，考慮裂紋尖端的應(yīng)力松弛現(xiàn)象，根據(jù)合力等效原則當(dāng)斷裂過程區(qū)沒有完全形成時，即當(dāng)KI等效斷裂過程區(qū)的解析表達(dá)式：將（a+ry）和（rp-ry）代替公式中的a和r00c，可以得到基于Muskhelishvil應(yīng)力函數(shù)應(yīng)用最大拉應(yīng)力強(qiáng)度理論確定的等效斷裂過程區(qū)臨界值的表達(dá)式將（a+ry）和（rp-ry）代替公式中的a和r01c，可以得到基于Muskhelishvil應(yīng)力函數(shù)應(yīng)用最大拉應(yīng)變強(qiáng)度理論（平面應(yīng)力）確定的等效斷裂過程區(qū)臨界值的表達(dá)式將（a+ry）和（rp-ry）代替公式中的a和r02c，可以得到基于Muskhelishvil應(yīng)力函數(shù)應(yīng)用最大拉應(yīng)變強(qiáng)度理論（平面應(yīng)變）確定的等效斷裂過程區(qū)臨界值的表達(dá)式

軟化指數(shù)對斷裂過程區(qū)過程值及臨界值的影響：各個參數(shù)取值取值情況：混凝土的斷裂韌度K=0.5MPa·m1/2IC，極限強(qiáng)度σu=2.6MPa，初始裂紋a=0.05m?；谧畲罄瓚?yīng)變強(qiáng)度理論，在平面應(yīng)力或平面應(yīng)變狀態(tài)下，不同軟化指數(shù)n和泊松比ν下斷裂過程區(qū)過程值rp與應(yīng)力強(qiáng)度因子KI的關(guān)系；軟化指數(shù)n對斷裂過程區(qū)臨界值rpc的影響。從中可以得出斷裂過程區(qū)的過程值和臨界值隨著軟化指數(shù)的增加而增加，且在不同的泊松比下這種變化規(guī)律相近。

應(yīng)用Muskhelishvil應(yīng)力函數(shù)全場解，根據(jù)冪指數(shù)函數(shù)描述的混凝土拉應(yīng)變軟化模型導(dǎo)出的斷裂過程區(qū)（FPZ）過程值及臨界值的解析表達(dá)式，分析了在最大拉應(yīng)變強(qiáng)度理論下軟化指數(shù)對斷裂過程區(qū)過程值及臨界值的影響，可以描述混凝土斷裂過程區(qū)形成和擴(kuò)展的全過程?；谔摂M裂紋模型，假設(shè)斷裂過程區(qū)沿裂紋延長線呈帶狀分布，將不同泊松比下軟化指數(shù)對應(yīng)的斷裂過程區(qū)過程值及臨界值進(jìn)行比較。結(jié)果表明混凝土的斷裂過程區(qū)過程值及臨界值都隨著軟化指數(shù)的增加而增加，不同泊松比下具有類似變化規(guī)律；平面應(yīng)變下斷裂過程區(qū)尺度小于平面應(yīng)力下的尺度。應(yīng)用Muskhelishvil應(yīng)力函數(shù)全場解，給出了等效斷裂過程的表達(dá)式。（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)建材產(chǎn)品質(zhì)量檢驗院）