☉浙江省義烏市上溪中學(xué) 朱學(xué)軍

突出教材地位展現(xiàn)習(xí)題功能
——以一道拋物線問題為例

☉浙江省義烏市上溪中學(xué) 朱學(xué)軍

近幾年來的新課程高考數(shù)學(xué)試題，多數(shù)來源于課本，即使是綜合題也是課本例題、習(xí)題的組合、加工和拓展，充分體現(xiàn)教材的基礎(chǔ)作用，對課本上的例、習(xí)題不能孤立地對待，要抓重點，并且從各個方面精心挖掘其潛能，使課本中的每一個例、習(xí)題的作用發(fā)揮到極致，以達到最佳的教學(xué)效果，本文以一道拋物線的課本習(xí)題為例來進行說明.

題目（人教A版選修2-1第73頁練習(xí)A第5題）如圖1，M是拋物線y2=4x上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以Fx為始邊，F(xiàn)M為終邊的∠xFM=60°，求|FM|.

解析：如圖2，過點M作MB垂直于準線x=-1于點B，過點F作FA垂直MB于點A，因為∠xFM=60°，所以∠AFM=30°，據(jù)拋物線的定義|MB|=|MF|，所以|AM|= |MB|-|AB|=|MF|-2，所以2（|MF|-2）=|MF|，所以|MF|=4.

評注：對圓錐曲線定義的考查，是高考對重要考點考查的視角之一，本解法從定義入手，使問題的解答回歸解析幾何問題的幾何本質(zhì)，思路簡潔明了.

圖1

圖2

一、拓展探究，深化主題

變式1過拋物線y2=4x的焦點F作傾斜角為60°的直線與拋物線交于M、N兩點，點M在x軸上方，求|MF| |NF|的值.

解析：如圖3，分別過點M、N作MB、NC垂直準線l于點B、C，過點F作FA垂直MB于點A，過點N作NE垂直O(jiān)F于點E.

據(jù)拋物線的定義知|MB|=|MF|，|AB|= 2，所以|MA|=|MB|-2=|MF|-2.

圖3

因為∠xFM=60°，所以∠AFM=30°，在Rt△AFM中|MF|，所以|MF|=4.同理

評注：拓展探究是以類比、歸納推理的數(shù)學(xué)思想方法為基礎(chǔ)，使用有目的性、規(guī)律性、適應(yīng)性、參與性的原則進行有層次的各種引申與推廣；由一道題變?yōu)橐活愵}，再由一類題變?yōu)槎囝愵}，題題相連，類類相連，形成一片，可以達到舉一反三的功效.

二、逆向應(yīng)用，鍛煉能力

變式2（2013年新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l過F且與拋物線C交于A、B兩點.若|AF|= 3|BF|，則l的方程為（）.

A.y=x-1或y=-x+1

解法1：如圖4所示，作出拋物線的準線l1及點A、B到準線的垂線段AA1、BB1，并設(shè)直線l交準線于點M.設(shè)|BF|=m，由拋物線的定義可知|BB1|=m，|AA1|=|AF|=3m.由BB1∥ AA1，可知，所以|MB|=2m，則|MA|=6m.故∠AMA1=30°，得∠AFx=∠MAA1=60°.故選C.

圖4

評注：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，意在考查考生的運算求解能力及對知識綜合應(yīng)用的能力.通過多種解題方法的訓(xùn)練，學(xué)生的數(shù)學(xué)技能和思維在變式教學(xué)中得到了培養(yǎng)，通過對數(shù)學(xué)問題進行多角度、多方面的變式探索研究，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，從而優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力及素質(zhì).

三、深入探究，回歸一般

變式3過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為60°的直線，交拋物線于M、N兩點，點M在x軸的上方，求的值.

解析：如圖5，分別過點M、N作MB、NC垂直準線l于點B、C，過點N作NA垂直MB于點A.

據(jù)拋物線的定義知|MB|=|MF|，|NC|= |NF|=|AB|，所以|MA|=|MB|-|AB|=|MF|-|NF|.因為∠xFM=60°，所以∠ANM=30°，在Rt△ANM中整理得

圖5

評注：數(shù)學(xué)探究的核心是問題展示，探究過程需要把握以下幾方面：（1）變式問題要有明確的目標(biāo)，要在學(xué)生已有的認識基礎(chǔ)上結(jié)合教學(xué)內(nèi)容有目的地提出，有助于學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解和掌握；（2）變式問題應(yīng)關(guān)注學(xué)生的參與度，滿足課堂教學(xué)對象中各層次的現(xiàn)實需要；（3）變式問題要滲透數(shù)學(xué)思想方法，從特殊到一般，啟迪學(xué)生思維，開拓解題思路，讓學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)問題有更深層次的理解.

四、條件改變，能力呈現(xiàn)

變式4（2012年安徽）過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點.若|AF|=3，則|BF|=________.

解析：拋物線y2=4x的準線為x=-1，焦點為F（1，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.由拋物線的定義可知|AF|=x1+1=3，所以x1=2，所以y1=±2.由拋物線關(guān)于x軸對稱，假設(shè)A（2，2），由A、F、B三點共線可知直線AB的方程為y-0=2（x-1），代入拋物線方程消去y得2x2-5x+2=0，求得x=2或

變式5（2013年重慶）過拋物線y2=2x的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，若則|AF|= ________.

變式6（2013年浙江）設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點P（-1，0）的直線l交拋物線C于A、B兩點，點Q為線段AB的中點.若|FQ|=2，則直線l的斜率等于________.

解法1：注意到|FQ|=2，正好是拋物線通徑的一半，所以點Q為通徑的一個端點，其坐標(biāo)為（1，±2），這時A、B、Q三點重合，直線l的斜率為±1.

變式7（2013年大綱卷）已知拋物線C：y2=8x與點M（-2，2），過拋物線C的焦點且斜率為k的直線與拋物線C交于A、B兩點.若，則k=（）.

解析：如圖6所示，設(shè)F為焦點，取AB中點P，過A、B分別作準線的垂線，垂足分別為點G、H，連接MF，MP，由知 MA⊥MB，則所以MP為直角梯形BHGA的中位線，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM=∠AMP=∠MAP.又|AG|=|AF|，AM為公共邊，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM=∠AGM=90°，則MF⊥AB，所以故選D.

圖6

評注：這一組變式是在原題的基礎(chǔ)上進一步發(fā)散，題目的難度逐漸提高，解題方法注重基本知識、體現(xiàn)能力，試題的特點從特殊性到一般性的考查；貼近高考，讓學(xué)生提前進入高考的角色.

五、結(jié)論變換，收獲不斷

變式8（2012年北京）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y2=4x的焦點F，且與該拋物線相交于A、B兩點，其中點A在x軸上方.若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________.

變式9（2013年新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點（0，2），則拋物線C的方程為（）.

A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x

評注：改變例題的結(jié)論主要表現(xiàn)為：在數(shù)據(jù)相同的情況下設(shè)置不同的問題情景來考查學(xué)生對知識的掌握及靈活應(yīng)用程度.在一題多變的發(fā)散思維中，學(xué)生可以看到同一道例題在不同情景下的相關(guān)性，也可以看到不同人思維的差異，還可以看到建立在獨立思考的基礎(chǔ)上的合作交流，意義重大.

總之，高考數(shù)學(xué)試題具有“源自教材，但高于教材；題在書外，但根在書里”的特點，因此，在課堂解題教學(xué)活動中，需要時刻立足教材，對課本中有潛質(zhì)的習(xí)題進行變式；例題、習(xí)題的變式問題是對教材的合理補充和拓展，也是在學(xué)生思維水平“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)，可以啟迪學(xué)生的思維，開拓解題思路，激活數(shù)學(xué)思維方法.FH