PRUDNIKAU MIKALAI

摘 要：針對機器人操縱裝置或機器人路徑的平滑性研究，對軌跡節(jié)點的平滑離散是很有必要，此外，還建立了滿足標(biāo)準(zhǔn)平滑度的軌跡路徑。平滑起點和機器人的最終位置必須要精確定義，所以經(jīng)典最小二乘法是不適用的。為了解決這個問題，提出了一種改進(jìn)的最小二乘法。該方法要求首先建立一個平滑的運動軌跡，同時使其起點和終點保持一致，而且減小了機器人的驅(qū)動單元的動態(tài)負(fù)載和計算時間。

關(guān)鍵詞：路徑規(guī)劃 機器人 最小二乘法

中圖分類號：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）04（c）-0218-02

目前用于創(chuàng)建一個平滑軌跡的方法比較多，例如：采用運動規(guī)劃的采集點，采用分段線性化的方法解決軌跡平滑性問題，該方法是用兩點之間的直線替代光滑曲線上兩點間的實際曲線，但這些算法往往沒有考慮障礙物等實際情況，而且在狹窄的空間中應(yīng)用不是很好[1-2]。其他的方法便是使用數(shù)值計算的方法[3-5]，其中樣條函數(shù)是較為經(jīng)典的方法[6-8]。樣條函數(shù)可以很好地解決平面和空間路徑的任務(wù)，該算法廣泛應(yīng)用于陸地、海水和空中運行的無人操作機器人等方面。GilimyanovR.F提出了遞歸的方法[9]。在他的工作基礎(chǔ)上，科技工作者開發(fā)了一個工作窗口，可以實時顯示、存儲有約束的長軌跡平滑曲率。

在出現(xiàn)大量實驗點時，因為插值函數(shù)的不穩(wěn)定性以及給定點的波動性太大，所以利用多項式插值計算平滑度是沒有意義的。常用的方法（例如樣條法）也不能給出較好的結(jié)果。因此，基于多項式的離散特定函數(shù)對軌跡平滑性研究有很大的幫助，其系數(shù)是通過平均積分點集的平滑函數(shù)的最小偏差來確定的，該方法稱為最小二乘法。

該文提出了一種改進(jìn)的最小二乘法。改進(jìn)點主要是需要保持軌跡的起點和終點不變。

1 運動學(xué)分析

沿著離散點和在特定障礙物環(huán)境中，機器人的運動方向會發(fā)生較大的變化。因此，機器人的動態(tài)負(fù)載增加較快，這樣就加快機械磨損速度，增加了能量消耗。這個問題的解決方案包括平滑離散軌跡規(guī)劃，以此來減少從初始位置到目標(biāo)位置運動過程中引起機器人的動態(tài)負(fù)載。

構(gòu)建軌跡必須滿足系統(tǒng)的約束，因為輪式機器人不能在橫向上運動或打滑，再加上車輪的旋轉(zhuǎn)角度和速度都是受限的。運動軌跡曲率不應(yīng)超過其最大值Kmax=1/Rmin，相應(yīng)地，車輪的最小轉(zhuǎn)彎半徑為Rmin。

機器人的運動學(xué)模型為：

（1）

其中：

-機器人的基準(zhǔn)點在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)；

-機器人的速度矢量；

-機器人的速度矢量與x軸正向之間的角度；

-分別是左、右輪的角速度；

-車輪的半徑。

輸入的數(shù)據(jù)是一個在三維空間中的初始軌跡的n個節(jié)點的序列。

（2）

其中，-軌跡點的坐標(biāo)；

-節(jié)點數(shù)。

用一個序列替換（2）的點序列，進(jìn)行平滑軌跡，

（3）

其中，-平滑軌跡點的坐標(biāo)。

平滑后軌跡的起點和終點保持不變，即滿足條件：

（4）

此外，平滑的軌跡要盡可能接近原來的軌跡路徑，同時要保證避開障礙物。

2 改進(jìn)的最小二乘法

根據(jù)最小二乘法[10]，為了得到平滑路徑，可以通過多項式Fm（i）得到：

（5）

其中，m-多項式的階數(shù)；

K-多項式系數(shù)的個數(shù)；

ak-多項式的系數(shù)，可從線性代數(shù)方程組系統(tǒng)（SLAE）得到：

（6）

其中，j-系統(tǒng)方程的數(shù)目。

這里和下面的公式中，坐標(biāo)Y和Z是相同的。

將式（4）代入式（5）中可以得出：

（7）

根據(jù)條件（7），方程式（6）可寫成：

（8）

為了滿足方程式（4），必須要根據(jù)方程（7）替換（8）中的任意兩個方程。例如，更換方程式（7）中的第M和M-1個方程，SLAE的形式為：

（9）

SLAE的矩陣形式為：

（10）

其中：—矩陣SLAE；

—自由變量；

—多項式方程（5）中的系數(shù)變量。

偏離初始軌跡的最大允許偏離度不應(yīng)超過，本標(biāo)準(zhǔn)可用于多項式要求度的自動選擇。

通過生成和求解系統(tǒng)方程來尋找X，Y和Z的軌跡分量：

（11）

由上述公式可知平滑性軌跡偏離初始軌跡的最大偏差量如下：

1.平滑軌跡被分割成一序列在時間上均勻地分布的節(jié)點，節(jié)點數(shù)目與初始軌跡節(jié)點數(shù)目相等。

2.搜尋初始軌跡和平滑軌跡節(jié)點之間的最大距離。

該算法的結(jié)果較好，因為各個節(jié)點之間的距離小于初始軌跡節(jié)點到平滑軌跡節(jié)點之間的距離。此外，尋找空間上兩點之間的距離要比從初始軌跡節(jié)點到平滑軌跡節(jié)點的距離更容易、更快，而且這種替代使最大允許偏差的標(biāo)準(zhǔn)更為規(guī)范，并減少了搜索時間。

3 仿真結(jié)果

通過MATLAB程序進(jìn)行以上算法的數(shù)值仿真，在實驗中，假設(shè)（機器人）初始軌跡由虛線表示，其坐標(biāo)值在表1中給出。在有障礙物的環(huán)境下運動時，將會導(dǎo)致其在運動方向上發(fā)生較大變化，進(jìn)而使機器人驅(qū)動單元動態(tài)負(fù)載過大。

從圖2可以看出平滑計算需要較少的時間；從圖3可以看出，改進(jìn)的方法要求平滑前后軌跡的起點和終點保持不變，且平滑性較好。

程序會自動計算得到，當(dāng)M=6時的多項式的平滑度最高，進(jìn)而進(jìn)行軌跡規(guī)劃。同時使得從給定的點（xi，yi）到（xi，y（n）（xi））的距離的平方和最小。

為了確保多項式是獨一無二的，所以多項式的次數(shù)必須小于給定點的數(shù)量。例如，如果有三個點，多項式可以是零階或一級（直線）或拋物線來近似運算。此外，拋物線將完全通過已知的三點，即距離的平方和等于零，因為二次多項式的三個系數(shù)可以通過給定的三個點唯一確定。這并不是數(shù)據(jù)近似求解，而是數(shù)據(jù)插值。

用Matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，在使用最小二乘法進(jìn)行擬合時，經(jīng)常使用“polyfit（）”函數(shù)。根據(jù)給定的點找出被刪除的多項式曲線圖離給定的距離是多少，在數(shù)據(jù)擬合處理時，“polyfit（）”函數(shù)需要兩個輸出參數(shù)，分別與多項式系數(shù)，近似值相關(guān)。

可以從多項式P的系數(shù)可得到，用R，Df和normr表示的S也可以得到。normr是擬合誤差：

（12）

Df：表示了點的數(shù)目和多項式系數(shù)數(shù)目之間的差值。

增加多項式的階數(shù)可以減小誤差，但近似值的準(zhǔn)確度并不會一直提高。

例如，對于所給定的數(shù)據(jù)，六階多項式會產(chǎn)生誤差normr=0，1442。

此外，將沿原軌跡走過的路徑長度與沿著平滑的軌跡走過的路徑長度進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)路徑長度可減少15%，從而減少運動時間，節(jié)約能源。因此，沿著平滑的軌跡移動所需要的能量（由實線表示）要比沿初始軌跡移動的能量少得多。

4 結(jié)語

針對于平滑離散軌跡提出的改進(jìn)最小二乘法，該方法是在MATLAB中實現(xiàn)的。具有以下優(yōu)點：

1.構(gòu)建平滑運動路徑，消耗能量較少，運動路徑的所消耗時間減少。

2.顯著降低在機器人作業(yè)時的動態(tài)負(fù)載。

在程序運行過程中可知，當(dāng)M=6時的多項式的平滑度最高，進(jìn)而進(jìn)行軌跡規(guī)劃，六階多項式產(chǎn)生的擬合誤差為normr=0.1442，并縮短路徑長度15%，這極大地縮短了運動時間，減少了能量消耗。

與經(jīng)典的最小二乘法相比，該算法增加了初始軌跡和平滑軌跡二者之間的重合度，節(jié)省計算機資源。為機器人機械手的工作路徑平滑性研究和軌跡規(guī)劃提供了依據(jù)。

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