唐寧，馮長煥

（西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川南充637002）

VaR準確性檢驗的T檢驗法

唐寧，馮長煥

（西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川南充637002）

根據(jù)VaR失敗率檢驗法的定義，通過利用組合的方式獲取檢驗樣本和構(gòu)造服從T分布的統(tǒng)計量，得到檢驗VaR準確性的新方法——T檢驗法。T檢驗法所接受的模型不僅在似然比檢驗法下能被接受，且在同一置信度下T檢驗法所接受的模型比似然比檢驗法所接受的模型的準確性更高。最后通過實證分析進一步說明T檢驗法比似然比檢驗法能更好地檢驗VaR的準確性。

失敗率檢驗；VaR；T檢驗

引言

VaR（value at risk）字面解釋就是“在險價值”，其含義指：在市場正常波動下，在一定概率水平（置信度）下，某一金融資產(chǎn)或證券組合價值在未來特定時期內(nèi)的最大可能損失。因VaR的大小直接關(guān)系著金融投資者的利益，故關(guān)于VaR的計算方法也在不斷完善。不管是最初的歷史模擬法、方差－協(xié)方差法和蒙特卡洛法，還是現(xiàn)在已經(jīng)完善的極值理論法計算出的VaR都是一個估計值，故對VaR準確性的檢驗就顯得尤為重要。而對于VaR準確性檢驗的方法主要有失敗率檢驗法、正態(tài)檢驗法、似然比檢驗法和貝葉斯檢驗法［1-2］（其中似然比檢驗法最常用），都是通過把檢驗失敗率轉(zhuǎn)化為檢驗失敗次數(shù)來檢驗VaR準確性。正態(tài)檢驗法和似然比檢驗法這兩種方法都是以失敗次數(shù)N服從二項分布B（T，p）（其中T為實驗總天數(shù)，p為失敗率）為出發(fā)點。其中正態(tài)性檢驗是當T充分大時，由中心極限定理得出統(tǒng)計量

服從標準正態(tài)分布，從而得到失敗次數(shù)N的接受域。似然比檢驗是由統(tǒng)計量［3］的極限分布，是自由度為1的χ2分布得到失敗次數(shù)N的接受域（α是置信水平）。從正態(tài)檢驗法和似然比檢驗法可看出，兩種方法都是在大樣本的前提下得出的結(jié)果，且這兩種檢驗方法不可避免的問題是：雖然總的失敗次數(shù)落在接受域內(nèi)，但是失敗是連續(xù)出現(xiàn)在一段時間內(nèi)，而未失敗的VaR又連續(xù)出現(xiàn)在另一段時間內(nèi)，即預測的失敗具有前后相關(guān)的關(guān)系，那么，仍不能說相應的VaR模型可靠，而利用正態(tài)檢驗法和似然比檢驗法都不能拒絕此模型。針對這一問題，本文直接從失敗率的定義出發(fā)，構(gòu)建了在大樣本和小樣本情況下均適用的T檢驗法來檢驗VaR準確性。

1 失敗率檢驗法定義

VaR的準確性通常是利用失敗率來衡量。當在置信水平α下估計出VaR時，將t時刻的損失與t時刻的VaR進行比較，如果損失大于VaR，則記為失敗。若總天數(shù)為T的實驗中，其失敗的天數(shù)為N，則失敗率p記為：p＝，而失敗率檢驗的定義為：將失敗率p與置信水平α（α＝1－c，c為置信度）進行比較，若p＝α，則說明估計出的VaR比較準確，相應的VaR模型較好［3］。相反，若p值與α相差較大，則說明估計出的VaR不可靠，相應的VaR模型存在不足。然而通常情況下，可能會因為原始數(shù)據(jù)的選取和隨機誤差項干擾等因素使得失敗率p與置信水平α不是絕對相等，就不能說明估計出的VaR不可靠，故需要對p與α是否具有顯著性差異進行檢驗。

2 T檢驗

2．1 T檢驗原理

從失敗率檢驗的定義可知，希望得到的失敗率p與置信水平α不具有顯著性的差異。然而，對所有數(shù)據(jù)進行樣本內(nèi)檢驗時，得到的某個特定的失敗率p大多情況下與α是不同的，即使p與α相同，但又因為預測失敗可能存在前后相關(guān)關(guān)系，所以不能輕易得出模型是否可靠的結(jié)論。為了解決這一問題，可以選取不同時間段數(shù)據(jù)作為檢驗樣本或者選取不同的樣本容量，如果得到的p值與α均無顯著性差異，那么就可以說估計出的VaR比較準確。但是因數(shù)據(jù)選取等偶然性原因，很難使每個p都與α均無顯著性差異，所以對于選擇n個檢驗樣本得到的n個p（這n個失敗率p中有些p值相同有些不同），只要它們的均值ˉp與α沒有顯著性差異就可以說估計出的VaR比較準確。

對于成立時間較長的金融行業(yè)，它具有充足的歷史數(shù)據(jù)，既可以選擇不同時間段的數(shù)據(jù)作為檢驗樣本也可以改變樣本容量獲得多個p值，但是對于發(fā)展歷史較短的行業(yè)，能夠利用的歷史數(shù)據(jù)有限，得到的p值數(shù)據(jù)很少，這樣就會因偶然性得出與實際情況不一致的結(jié)果。為了克服小樣本數(shù)據(jù)不足對結(jié)果造成的影響，選取檢驗樣本可按隨機抽取的方式進行，即：如果共有n個歷史數(shù)據(jù)，那么從中隨機抽取適當數(shù)據(jù)（記為m個，m＜n），重復抽取k次，即可得到k個p值（這些p值可能相同也可能不同），按照隨機抽取的方法，由組合原理知一共可抽取Cmn個不同的樣本，即可得到Cmn個p值，增加了檢驗樣本。

設(shè)p1，p2，．．．，pn是由隨機抽取的方式得到的n個p值，ˉp是這n個p值的均值，若ˉp與α沒有顯著性差異，那么由統(tǒng)計學原理可知統(tǒng)計量

應該服從自由度為（n－1）的t分布［4］（其中s為樣本p1，p2，．．．，pn的標準差），那么對于給定的假設(shè)檢驗顯著性水平ξ，ˉp的接受域為：

故當檢驗VaR準確性時，只要ˉp落在該接受域內(nèi)，則稱ˉp與α無顯著性差異，即估計出的VaR具有較高的準確性，反之，若ˉp落在了接受域外，則說明ˉp與α顯著不同，相應的VaR具有高估或低估價值風險的嫌疑，故估計出VaR的VaR模型有待進一步改善。通過此方法可以克服預測失敗存在相關(guān)關(guān)系對模型優(yōu)良判斷的影響。因為此檢驗方法是構(gòu)造服從t分布的統(tǒng)計量T，所以將此種方法稱為T檢驗法。

2．2 實證分析

選取上證指數(shù)2013年1月4日至2014年1月28日的257個日收盤價為樣本，經(jīng)

（Pt為資產(chǎn)在t時刻的價格）處理后得256個數(shù)據(jù)。利用eviews6.0對序列Xt進行一系列相關(guān)的分析后建立EGARCH模型［5］為：

由風險價值VaR的定義可得VaR在統(tǒng)計學上的定義為［6］：

其中，Rt為資產(chǎn)在第t期的收益率，VaRt為t時刻α顯著水平下的VaR，取值為正。

2.2.1正態(tài)假設(shè)下T檢驗法與似然比檢驗法比較

為了計算VaR，假設(shè)序列Xt服從正態(tài)分布，則VaRt＝ut＋σtZ1－α，其中，ut和σt分別是t時刻Xt序列的均值和標準差。結(jié)合已建立的EGARCH模型得到的σt可得99%置信度下255天的VaR（表1）。

通過失敗率檢驗，總天數(shù)為255天的VaR中失敗總天數(shù)為5天，該值落在Kupiec提出的似然比檢驗法下的接受域（0，7）內(nèi)，即似然比檢驗結(jié)果說明在正態(tài)假設(shè)下計算出的VaR可靠。

表1正態(tài)假設(shè)下的部分VaR值

T檢驗法檢驗：在255天中隨機抽取100天并計算這100天內(nèi)的失敗率，重復抽取30次，得到30個失敗率p，對這30個p值進行均值是否為0.01的T檢驗［7］，檢驗結(jié)果（表2）顯示Sig．值為0.000，說明這30個失敗率p的均值與0.01存在顯著性差異。即：T檢驗法的檢驗結(jié)果為正態(tài)假設(shè)下計算出的VaR不可靠，還有待改進。

表2正態(tài)分布下T檢驗結(jié)果

分析T檢驗法拒絕正態(tài)假設(shè)下的VaR模型的原因：（1）對Xt進行統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)Xt序列的偏度為0.327 529，峰度為5.320 699，且JB統(tǒng)計量的伴隨概率為0.000，即Xt不服從正態(tài)分布，T檢驗法拒絕正態(tài)假設(shè)下的VaR模型正好與Xt實際不服從正態(tài)分布相吻合。（2）從T檢驗法的檢驗樣本獲取方法可知，T檢驗法是拒絕失敗的發(fā)生具有前后相關(guān)關(guān)系的模型，而正態(tài)分布下總數(shù)為255天的5次失敗主要發(fā)生在前110天內(nèi)，所以T檢驗法拒絕相應的VaR模型。

2.2.2極值理論下T檢驗法與似然比檢驗法比較

首先對收益率序列建立EGARCH模型，再對殘差建立極值模型，最后根據(jù)收益率序列的VaREGARCH與經(jīng)EGARCH模型過濾后得到的殘差序列的VaRε之間的關(guān)系：VaREGARCH＝μt＋σtVaRε［3］，計算到99%置信度下255天的VaR，見表3。

表3極值理論下的部分VaR值

經(jīng)檢驗，255天中共有3天失敗，該值也落在似然比檢驗法下的接受域內(nèi)，說明運用極值理論計算出的VaR通過了似然比檢驗，即極值理論下的VaR模型可靠。同樣在255天中隨機抽取100天計算失敗率，重復30次，對得到的30個失敗率p進行均值是否為0.01的t檢驗［7］，檢驗結(jié)果（表4）的Sig．值為0.083，說明這30個失敗率p的均值與0.01無顯著性差異。故通過T檢驗法檢驗，表明在極值理論下計算出的VaR可靠。

T檢驗法接受極值理論下的VaR的原因是：（1）VaR主要研究極值，所以利用極值理論計算結(jié)果比正態(tài)假設(shè)更加準確，且本文不是直接對Xt序列建立極值模型，而

表4極值理論下T檢驗結(jié)果

是對經(jīng)過EGARCH模型過濾后得到的殘差序列建立極值模型，這樣更能滿足極值理論需序列獨立同分布這一條件。所以在理論上極值理論的VaR模型可靠，而T檢驗結(jié)果與此相符。（2）極值理論下總數(shù)為255天的3次失敗分別發(fā)生第29、36和108這3個交易日內(nèi)，可認為失敗的發(fā)生不具有前后相關(guān)關(guān)系，所以T檢驗法接受相應的VaR模型。

3 結(jié)束語

本文根據(jù)失敗率的定義確定了檢驗VaR準確性的T檢驗法，利用組合的方式獲取檢驗樣本和構(gòu)造統(tǒng)計量得到了失敗率均值ˉp的接受域，通過上證指數(shù)的應用比較發(fā)現(xiàn)：在99%置信度下，T檢驗法拒絕了似然比檢驗法所接受的正態(tài)假設(shè)下的VaR模型，這一結(jié)果與序列不服從正態(tài)分布相吻合，說明在同一置信度下T檢驗法比似然比檢驗法對模型的準確性要求更高，且在99%置信度下，T檢驗法和似然比檢驗法都接受了極值理論下的VaR模型，這說明T檢驗法能接受較好的模型?？傊甌檢驗既能拒絕有待改進的模型又能接受較好的模型，能達到檢驗VaR準確性的目的。

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The T-test of VaR Accuracy Test

TANG Ning，F(xiàn)ENG Changhuan
（School of Mathematics and Information，China West Normal University，Nanchong 637002，China）

According to the definition of VaR failure test，a new method to test the accuracy of VaR is obtained，which using combination method to get testing samples and structure statistics that obey T distribution，that is T-test.Themodel accepted by the T-test can also accepted by likelihood ratio test，and at the same confidence，it ismore accurate.by the end，through the empirical analysis，it is further explained that，compared to the likelihood ratio test，T-test can test the accuracy of the VaR preferably.

failure test；VaR；T-test

F224.7

A

1673-1549（2015）01-0083-04

10．11863／j．suse．2015．01．20

2014-12-11

西華師范大學基本科研業(yè)務費專項資金項目（14C004）；南充市社科規(guī)劃項目（NC2013B027）

唐寧（1991-），女，四川蓬安人，碩士生，主要從事統(tǒng)計學理論及應用方面的研究，（E-mail）422706724＠qq.com