汪軍芳，張民悅

（蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，蘭州730050）

兩個(gè)相依部件并聯(lián)系統(tǒng)和有冷貯備部件串聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠性

汪軍芳，張民悅

（蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，蘭州730050）

利用普通可靠性和模糊可靠性的基本理論，建立了兩個(gè)相依部件并聯(lián)系統(tǒng)和有冷貯備部件串聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠性的數(shù)學(xué)模型，討論了系統(tǒng)的模糊可靠度、模糊失效率和模糊平均壽命之間的關(guān)系，為類似復(fù)雜系統(tǒng)提供了更切合實(shí)際的系統(tǒng)表述方式。

相依部件；模糊可靠度；模糊失效率；模糊平均壽命

引言

在實(shí)際工程中，模糊數(shù)學(xué)理論應(yīng)用越來(lái)越廣泛，隨著系統(tǒng)工程日趨復(fù)雜，復(fù)雜部件的系統(tǒng)也越來(lái)越多的運(yùn)用于工程中。文獻(xiàn)［1－4］研究了典型不可修系統(tǒng)的模糊可靠性，文獻(xiàn)［5－8］研究了幾個(gè)典型不可修系統(tǒng)組成的新系統(tǒng)的模糊可靠性，文獻(xiàn)［9］是在文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上，對(duì)可修的并串聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行模糊可靠性研究，文獻(xiàn)［10］對(duì)冗余系統(tǒng)進(jìn)行模糊可靠性研究，文獻(xiàn)［11－12］對(duì)有優(yōu)先權(quán)兩部件組成的冷貯備系統(tǒng)和溫貯備系統(tǒng)討論了模糊可靠性。本文將利用以上模型及相應(yīng)公式，對(duì)兩個(gè)特殊系統(tǒng)：兩個(gè)相依部件的并聯(lián)系統(tǒng)和有冷貯備部件的串聯(lián)系統(tǒng)，進(jìn)行模糊可靠性分析。

1 模糊條件概率基礎(chǔ)

用A表示普通可靠性定義中“產(chǎn)品在規(guī)定的使用條件，預(yù)期的使用時(shí)間內(nèi)，保持其特定功能”這一清晰事件。Aj表示“第j個(gè)部件正常工作”。~A1，~A2，…，~An分別表示各個(gè)模糊功能子集所代表的模糊事件。表示~Ai所要討論的模糊功能子集。顯然，A在不同程度上分別屬于~A1，~A2，…，~An。由模糊條件概率的定義得

式中，Δ為三角范算子（代數(shù)積）。

根據(jù)模糊可靠性［13］和普通可靠性［14］的基本理論得

由式（1）－式（3）得i式中，Rs，Rj分別表示系統(tǒng)和第j個(gè)部件的清晰可靠度，~Rs，~Rj分別表示系統(tǒng)和第j個(gè)部件的模糊可靠度。

由文獻(xiàn)［13］知，各部件模糊故障率~λj和普通故障率λj之間的關(guān)系：

2 兩個(gè)特殊系統(tǒng)

2．1 兩個(gè)相依部件的并聯(lián)系統(tǒng)

系統(tǒng)由兩個(gè)相依部件并聯(lián)而成，這兩個(gè)部件的壽命X1和X2遵從二維指數(shù)分布，其聯(lián)合生存概率為：

其中，λ1，λ2，λ12＞0，因此邊緣生存概率為：

此時(shí)，系統(tǒng)的壽命X＝max（X1，X2），因此系統(tǒng)的可靠度為：

平均壽命：由于兩部件的壽命X1和X2遵從二維指數(shù)分布，因此

所以，系統(tǒng)的模糊可靠度為：

系統(tǒng)的模糊平均壽命為：

將（6）式代入（11）式得：

式中，μ~Ai（Rs）m是μ~Ai（Rs）在工作時(shí)間的區(qū)間［0，∞）上的平均值，它是常數(shù)。

2．2 冷貯備部件的串聯(lián)系統(tǒng)

系統(tǒng)由n＋l個(gè)同型部件組成，其中系統(tǒng)需有l(wèi)個(gè)部件串聯(lián)工作，其他部件作冷貯備。當(dāng)l個(gè)工作部件中有一個(gè)失效時(shí)，若還有貯備部件，則貯備部件之一立即去替換，系統(tǒng)繼續(xù)工作；當(dāng)l個(gè)工作部件中有一個(gè)失效時(shí)，若貯備部件已用完，則系統(tǒng)失效。假定所有部件的工作壽命均遵從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，且相互獨(dú)立。

在一個(gè)l個(gè)部件的串聯(lián)系統(tǒng)中，直到有一個(gè)部件失效的時(shí)間（即串聯(lián)系統(tǒng)的壽命）分布是1－e－lλt。當(dāng)其中一個(gè)部件失效后，貯備部件之一去替換，替換后仍是l個(gè)部件的串聯(lián)工作。由于指數(shù)分布無(wú)記憶性，可認(rèn)為這l個(gè)部件都是在新的條件下同時(shí)開始工作。因此，直到一個(gè)部件失效時(shí)間分布仍為1－e－lλt。由于有n次替換，因此系統(tǒng)的壽命是n＋1個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，每個(gè)隨機(jī)變量的分布均為1－e－lλt。所以，這個(gè)系統(tǒng)等價(jià)于n＋1個(gè)獨(dú)立部件的冷貯備系統(tǒng)，其他每個(gè)部件的工作壽命均遵從參數(shù)為lλ的指數(shù)分布，即Fj（t）＝1－e－lλt，t≥0。

假設(shè)這n＋1個(gè)部件的壽命分別為X1，X2，…，Xn＋1，且它們相互獨(dú)立。易見，冷貯備系統(tǒng)的壽命是X＝X1＋X2＋…＋Xn＋1。

定理1［14］隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布Γ（1，λ；t），則X＝X1＋X2＋…＋Xn遵從Γ（n，λ；t），其分布函數(shù)為：

該系統(tǒng)的可靠度和平均壽命分別為：

利用各部件普通可靠度Rj（t）與故障率lλ之間的關(guān)系Rj（t）＝e－lλt，j＝1，2，…，n＋1，代入（13）式得

將（5）式、（6）式和（15）式代入（4）式得系統(tǒng)的模糊可靠度為：系統(tǒng)的模糊平均壽命為：

由（6）式得

式中，μ~Ai（Rs）m是μ~Ai（Rs）在工作時(shí)間的區(qū)間［0，∞）上的平均值，它是常數(shù)。

3 結(jié)束語(yǔ)

隨著人們對(duì)可靠性研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)許多實(shí)際工程問題不僅存在隨機(jī)性，而且存在廣泛的模糊性，特別是在對(duì)小樣本進(jìn)行可靠性分析時(shí)，模糊性對(duì)分析結(jié)果起到?jīng)Q定性的影響。因此，人們將模糊理論引入到可靠性的研究中，開展了模糊可靠性的研究［15］。本文的研究結(jié)果為類似系統(tǒng)提供了更切合實(shí)際的系統(tǒng)表述方法，為人們?cè)趯?shí)際工程中對(duì)類似系統(tǒng)的分析提供一定的指導(dǎo)。

［1］陳勝軍，顏梁平.串聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠性分析［J］.現(xiàn)代機(jī)械，1997（2）：46-17.

［2］李廷杰.表決系統(tǒng)的模糊可靠性［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，1989（6）：13-16.

［3］冷護(hù)基，李廣安，陳勝軍，等.冷貯備系統(tǒng)的模糊可靠性［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，1997（11）：113-123.

［4］冷護(hù)基，李廣安，顏景平，等.溫貯備系統(tǒng)的模糊可靠性［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，1998（6）：1-3.

［5］姚滔，許芙蓉.多部件溫貯備系統(tǒng)模糊可靠性分析［J］.長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，7（2）：130-132.

［6］姚滔，張民悅，代文華.混貯備系統(tǒng)的模糊可靠度分析［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2009，21（4）：117-119.

［7］冷護(hù)基，李廣安，顏景平，等.串-表決系統(tǒng)的模糊可靠性［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，1997（3）：8-9.

［8］李東娜，張民悅，馬長(zhǎng)青.并串聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠性分析［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2007，19（4）：141-144.

［9］馬長(zhǎng)青，張民悅，李東娜.可修并-串聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠性分析［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2009，21（1）：143-146.

［10］郭凡，張民悅.兩不同型部件冗余系統(tǒng)的模糊可靠性分析［J］.沈陽(yáng)理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，31（5）：84-90.

［11］姚滔，錢存華，劉敏.有優(yōu)先權(quán)兩部件冷貯備可修系統(tǒng)的模糊可靠性［J］.自動(dòng)化儀表，2011，32（8）：33-39.

［12］包林濤，張民悅，段紅星.有優(yōu)先權(quán)兩部件溫貯備可修系統(tǒng)的模糊可靠性［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008，22（1）：169-174.

［13］李廷杰，高和.模糊可靠性［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，1988，2（2）：11-23.

［14］曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［15］李廷杰，高和.可靠性設(shè)計(jì)［M］.北京：北航印刷所，1988.

The Fuzzy Reliability of Two Dependent Com ponents of The Parallel System and Series System w ith Cold-store Com ponents

WANG Junfang，ZHANGMinyue（School of Science，Lanzhou University of Technology，Lanzhou 730050，China）

by the help of the basic theories of common reliability and fuzzy reliability，themathematicalmodel to calculate the fuzzy reliability for two dependent components of the parallel system and series system with cold-store components is established.Furthermore，the relationship between fuzzy reliability，fuzzy failure rate and fuzzy average life-span of the system is discussed，which provides amore practical system expression for similar complex systems.

dependent components；fuzzy reliability；fuzzy failure rate；fuzzy average life-span

O213.2

A

1673-1549（2015）01-0080-03

10．11863／j．suse．2015．01．19

2014-11-13

甘肅省自然科學(xué)基金（3ZS042-B25-016）

汪軍芳（1987-），女，甘肅天水人，碩士生，主要從事可靠性理論方面的研究，（E-mail）554624664＠qq.com張民悅（1958-），男，河南南樂人，教授，主要從事可靠性理論方面的研究，（E-mail）zhangminyue＠lut.cn