黑龍江省鶴崗市第一中學(xué) 舒敬宇 高 昕

有關(guān)球的問(wèn)題在歷年的高考中既是熱點(diǎn)，又是難點(diǎn)。從近幾年新課標(biāo)高考的試題來(lái)看，對(duì)本部分知識(shí)的考查多為一道小題，注重考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力。將空間向量法引入到立體幾何中，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)中解方程的問(wèn)題，從而得到了解決此類問(wèn)題的又一方法。

【例題】已知某個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），如果這個(gè)幾何體內(nèi)接于一個(gè)球O1，那么這個(gè)球O1的半徑是____________cm。

【試題分析】本題是研究幾何體外接球問(wèn)題，借助空間向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)球心到該幾何體每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，列方程，解方程，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問(wèn)題。

解：根據(jù)三視圖還原出該幾何體的直觀圖，如（圖一）取BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則

設(shè)球心O1(x,y,z)，球的半徑為R，則

【變式】將例題中的如果這個(gè)幾何體內(nèi)接于一個(gè)球O1，變?yōu)檫@個(gè)幾何體內(nèi)切球?yàn)榍騉2，那么這個(gè)球O2的半徑是___________cm。

【試題分析】本題是研究幾何體內(nèi)切球問(wèn)題，借助空間向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)球心到該幾何體每一個(gè)面的距離都相等，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題。

解：根據(jù)三視圖還原出該幾何體的直觀圖，如（圖一）取BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則

設(shè)球心O2(x,y,z)，球的半徑為r，球心O2到平面ABP的距離為d1，到平面BCP的距離為d2，到平面CDP的距離為d3，到平面ADP的距離為d4，到底面ABCD的距離為d5，則d1=d2=d3=d4=d5=r。

設(shè)平面ABP的法向量

令y1=1，則z1=1,x1=0，

所以

同理可得

解得