花歆悅，徐志京

（上海海事大學(xué)信息工程學(xué)院，上海201306）

基于壓縮感知的聲納圖像超分辨率重建算法*

花歆悅，徐志京

（上海海事大學(xué)信息工程學(xué)院，上海201306）

超分辨率重建通用方法中，圖像分解后對(duì)應(yīng)小波基只能有效稀疏表示單一成分，往往只側(cè)重邊緣成分而忽略了光滑成分等。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文改進(jìn)了一種基于壓縮感知的聲納圖像超分辨率重建算法。該算法基于三種不同稀疏字典小波變換模型，運(yùn)用一種基于K-均值聚類(lèi)算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法，并采用Newton-Raphson法進(jìn)行迭代算法處理，實(shí)現(xiàn)聲納圖像壓縮感知的超分辨率重建。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了此種算法的可行性和有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法獲得的超分辨率圖像能夠很好地重建并保持原圖像的特征，能高效地改善并提高重建質(zhì)量。

壓縮感知；超分辨率重建；稀疏字典；K-均值聚類(lèi)算法；Newton-Raphson迭代法

0 引言

聲納圖像技術(shù)以其系統(tǒng)的先進(jìn)、穩(wěn)定、高分辨率、高質(zhì)量等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域中。而高分辨率的聲納圖像可獲得更全面更充足的水下情況信息，為聲納圖像技術(shù)的應(yīng)用提供更可靠的數(shù)據(jù)。要獲得高分辨率圖像，最直接的辦法是采用高分辨率圖像傳感器。但由于傳感器和光學(xué)器件制造工藝和成本的限制，在很多場(chǎng)合和大規(guī)模部署中很難實(shí)現(xiàn)[1]。

超分辨率（Super-resolution，SR）重建即通過(guò)序列低分辨率（Low-resolution，LR）圖像獲得高分辨率（Highresolution，HR）圖像的過(guò)程。近年來(lái)，壓縮感知與圖像處理技術(shù)的融合已成為該領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究對(duì)象，各研究成果層出不窮，取得很大的進(jìn)展。壓縮感知理論指出：利用隨機(jī)測(cè)量矩陣可把一個(gè)稀疏（或可壓縮）的高維信號(hào)投影到低維（相對(duì)于高維）的空間上，并證明了這樣的隨機(jī)投影包含了重建信號(hào)的足夠信息，即利用信號(hào)的稀疏性（或可壓縮性）先驗(yàn)條件，通過(guò)一定的線性或非線性的解碼模型可以以很高的概率重建原始信號(hào)[2]。近年來(lái)，基于字典學(xué)習(xí)方法的圖像重建[3]成為各界學(xué)者研究的主流。

本文將壓縮感知中的字典學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于聲納圖像超分辨率重建中，改進(jìn)了一種基于壓縮感知多重稀疏表示的聲納圖像超分辨率重建方法。該方法針對(duì)聲納圖像所包含的光滑、邊緣和紋理這三種形態(tài)信息特點(diǎn)，分別建立符合類(lèi)內(nèi)強(qiáng)稀疏且類(lèi)間強(qiáng)不相干的過(guò)完備稀疏字典，并在傳統(tǒng)字典學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用一種基于K-均值聚類(lèi)算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法，且采用Newton-Raphson迭代算法快速求解交替迭代的運(yùn)算過(guò)程。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在聲納圖像重建中的可行性與有效性。

1 超分辨率模型、稀疏字典及重建

1.1 超分辨率模型

低分辨率圖像由高分辨率圖像經(jīng)過(guò)相對(duì)運(yùn)動(dòng)、光學(xué)模糊、下采樣或添加噪聲等處理得到。具體在實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)為數(shù)字圖像采集處理過(guò)程中的圖像分辨率的下降，其主要現(xiàn)象為圖像模糊、噪聲與變形。

設(shè)第N幀低分辨率圖像序列為{Vk|k=1，…，N}，每幀中的圖像大小為：L=I1×I2。利用超分辨率圖像重建，擬獲得大小為M=r1I1×r2I2的高分辨率圖像I，其中，r1、r2分別表示水平和垂直方向的分辨率提高因子，則超分辨率的通用退化數(shù)學(xué)模型[4]表示為：

其中，Vk∈RL表示第k幀低分辨率圖像，Ik∈RM表示原高分辨率圖像，Hk表示Vk相對(duì)于I的運(yùn)動(dòng)變形矩陣，Bk表示光學(xué)模糊矩陣，Dk表示下采樣矩陣，ηk是系統(tǒng)引入的加性且均值為零的高斯白噪聲。

1.2 稀疏字典

字典學(xué)習(xí)是通過(guò)稀疏表示來(lái)尋找最優(yōu)基結(jié)構(gòu)的過(guò)程，匹配且合適的字典可滿(mǎn)足稀疏表示的各類(lèi)約束，也能使信號(hào)獲得更為精確的表示。字典學(xué)習(xí)主要包含兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：稀疏編碼與字典更新。是否能夠選取匹配的過(guò)完備字典與信號(hào)的稀疏性息息相關(guān)。通過(guò)訓(xùn)練樣本來(lái)構(gòu)建過(guò)完備字典從而確保信號(hào)稀疏性，是通用字典學(xué)習(xí)的算法之一。

1.3 壓縮感知超分辨率重建

[5]提出了一種使用成分稀疏表示來(lái)實(shí)現(xiàn)超分辨率的方法，該方法在進(jìn)行超分辨重建時(shí)，提取圖像中的卡通成分和紋理成分，接著用兩種不同的小波基對(duì)各自成分進(jìn)行壓縮感知。然而，基于形態(tài)學(xué)分析的圖像，其卡通成分通常被分解為光滑成分和邊緣成分，而一種小波基只能有效地稀疏表示一種成分，一般情況下只側(cè)重邊緣成分而忽略了光滑成分。但對(duì)于聲納圖像來(lái)說(shuō)，噪聲在一定程度上影響了其成像效果，因此對(duì)聲納圖像的光滑成分的研究對(duì)于超分辨率重建也起著重要的作用。

根據(jù)Meyer提出的卡通紋模式圖像分解模型[6]，圖像分解成光滑、邊緣、紋理三種結(jié)構(gòu)形態(tài)后，選用不同的過(guò)完備字典稀疏來(lái)表示每個(gè)成分。所選用的字典應(yīng)盡可能匹配各部分的結(jié)構(gòu)形態(tài)，且各成分的字典需保持類(lèi)內(nèi)強(qiáng)稀疏、類(lèi)間不相干的特性。因此，根據(jù)離散平穩(wěn)小波變換（Discrete Stationary Wavelet Transform，DSWT）[7-8]、輪廓小波變換[9]即塔型方向?yàn)V波器組（Pyramidal Directional Filter Bank，PDFB）、伽柏小波變換[10]建立對(duì)應(yīng)稀疏字典。設(shè)圖像I的光滑成分、邊緣成分、紋理成分分別為Is、Ie和It，其對(duì)應(yīng)的三個(gè)類(lèi)內(nèi)強(qiáng)稀疏且類(lèi)間不相干的過(guò)完備字典為ψs、ψe、ψt。

對(duì)于圖像I，在過(guò)完備字典的作用下，其壓縮感知稀疏表示為：

根據(jù)超分辨率退化模型，基于壓縮感知的退化模型可表示為：

而超分辨率圖像的重建是上述過(guò)程的逆過(guò)程，其過(guò)程表示為α~，則超分辨率圖像可表示為：

圖像I的光滑、邊緣、紋理三個(gè)成分分別為Is、Ie和It，對(duì)應(yīng)三個(gè)類(lèi)內(nèi)強(qiáng)稀疏且類(lèi)間不相干的過(guò)完備字典為ψs、ψe、ψt，可得圖像壓縮感知超分辨率退化模型如下：

運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法可求解壓縮感知稀疏表示退化模型，得：

2 基于壓縮感知的聲納圖像超分辨率重建算法設(shè)計(jì)

其中，γs、γe、γt是用來(lái)平衡各部分比重的參數(shù)，其能夠控制誤差和稀疏性之間的平衡，而迭代過(guò)程中的方程模型可看做三個(gè)非線性凸優(yōu)化問(wèn)題，即可通過(guò)基追蹤去噪法對(duì)其進(jìn)行求解。

上述過(guò)程的逆過(guò)程為超分辨率圖像的重建，則超分辨率圖像的獲得可表示為：

基于壓縮感知聲納圖像超分辨率重建算法首先對(duì)原始圖像進(jìn)行K-均值聚類(lèi)算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練，得到光滑、邊緣、紋理成分對(duì)應(yīng)的過(guò)完備字典，然后運(yùn)用Newton-Raphson迭代法求解圖像退化模型中各成分的系數(shù)，最后通過(guò)超分辨率重建，獲得重建圖像。

2.1 本文基于壓縮感知的聲納圖像超分辨率重建算法實(shí)現(xiàn)

本文分別建立三個(gè)符合類(lèi)內(nèi)強(qiáng)稀疏且類(lèi)間強(qiáng)不相干的過(guò)完備稀疏字典，運(yùn)用一種基于K-均值聚類(lèi)算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法，并采用Newton-Raphson迭代算法快速求解迭代過(guò)程，最后選取各數(shù)據(jù)重建聲納圖像。

基于壓縮感知的聲納圖像超分辨率重建框圖如圖1所示。

圖1 基于壓縮感知的聲納圖像超分辨率重建框圖

綜合算法步驟如下：

（1）輸入原始圖像I，圖像維度M，平衡參數(shù)γs、γe、γt，迭代閾值N。

（3）運(yùn)用基于K-均值聚類(lèi)算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法獲得光滑、邊緣、紋理成分對(duì)應(yīng)的過(guò)完備字典ψs、ψe和ψt。

（4）運(yùn)用Newton-Raphson迭代法稀疏表示退化模型中光滑、邊緣、紋理成分的系數(shù)α?s、α?e、α?t。

（5）輸出~I=ψsα?s+ψeα?e+ψtα?t。

2.2 本文K-均值聚類(lèi)算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練算法的設(shè)計(jì)

字典訓(xùn)練方法有很多，如最大似然法、最優(yōu)方向法、最大后驗(yàn)法等，而結(jié)構(gòu)化的字典訓(xùn)練可以反映數(shù)據(jù)中隱藏的結(jié)構(gòu)，并構(gòu)造結(jié)構(gòu)化字典，從而提高稀疏表示的精度。

運(yùn)用一種基于K-均值聚類(lèi)算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法作為綜合算法獲得各過(guò)完備字典的第一步。將字典中的原子平均分配到K個(gè)聚類(lèi)中，并利用原子聚類(lèi)索引計(jì)算得出拉普拉斯矩陣L，從而進(jìn)一步利用GOMP算法[11]最后得到結(jié)構(gòu)化過(guò)完備字典ψ。

整個(gè)過(guò)完備字典訓(xùn)練過(guò)程算法如下：

（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行初始化設(shè)置：設(shè)迭代次數(shù)n=1，聚類(lèi)中心矩陣μ0∈Rn×Z，J=1；

（3）將字典ψs中的原子dj分到與聚類(lèi)中心最相似的Z個(gè)聚類(lèi)集合中，并通的第z列更新，其中，

聚類(lèi)集合可表示為：

（4）J=J+1；循環(huán)（3）～（5）步，獲得穩(wěn)定聚類(lèi)原子索引；

（5）根據(jù)原子索引d計(jì)算權(quán)重矩陣Ws、對(duì)角矩陣Cs及拉普拉斯矩陣Ls，并根據(jù)GOMP算法求出稀疏表示系數(shù)βs，最后更新字典ψs，其過(guò)程為：

（6）n=n+1；循環(huán)（3）～（6）步至滿(mǎn)足停止條件；

（7）輸出光滑成分對(duì)應(yīng)的過(guò)完備字典ψs。

同理，運(yùn)用該結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法獲得邊緣成分及紋理成分對(duì)應(yīng)的過(guò)完備字典ψe和ψt。

2.3 結(jié)合New ton-Raphson迭代算法流程

（1）根據(jù)式（5），恒定Ie、It，更新Is，計(jì)算α?s，具體表達(dá)式為：

（2）同理，在恒定Is、It的條件下更新Ie，計(jì)算；在恒定Is、Ie的條件下更新It，計(jì)算αnt+1；

（3）n=n+1；循環(huán)迭代直至滿(mǎn)足閾值N時(shí)迭代停止。

（4）輸出α?s、α?e、α?t。

3 仿真結(jié)果及分析

圖2 原始高分辨率圖像和退化后低分辨率圖像

平衡參數(shù)rs=re=rt選取值為10，噪聲方差為15時(shí)，分別用MSRSR法、未使用基于K-均值聚類(lèi)算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練一般方法及本文方法對(duì)圖像L進(jìn)行超分辨率重建。各方法重建效果如圖3所示。

圖3 各方法重建效果圖

噪聲方差為15時(shí)，重建結(jié)果的峰值信噪比變化函數(shù)及峰值信噪比的相對(duì)誤差變化曲線如圖4所示。

圖4 噪聲方差為15時(shí)，峰值信噪比及其相對(duì)誤差變化曲線

由圖4可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，峰值信噪比值先上升直至趨于平穩(wěn)，相對(duì)誤差值先下降直至趨于平穩(wěn)。因此，為達(dá)到更好的實(shí)驗(yàn)效果，選取停止參數(shù)N＞相對(duì)誤差值時(shí)迭代停止。多次實(shí)驗(yàn)表明，10-4≤N≤10-3時(shí)，可得到較好的重建效果。因此，在重建實(shí)驗(yàn)中選取N=10-3。

實(shí)驗(yàn)中，在不同噪聲方差的條件下分別使用MSRSR、一般字典訓(xùn)練重建法及本文方法來(lái)觀察聲納圖像重建的效果。具體比較結(jié)果如表1。

表1 各噪聲方差條件下重建效果比較

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，三種方法都具有較好的重建效果。MSRSR法所得的峰值信噪比值略小于本文算法，而一般字典訓(xùn)練重建法的峰值信噪比與本文算法結(jié)果近似。但MSRSR方法更易受噪聲影響，且由于稀疏字典與各成分匹配需要一定時(shí)間，因而本文算法的運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)于MSRSR法；一般字典訓(xùn)練重建法運(yùn)算時(shí)間較本文算法略大。即t一般字典訓(xùn)練法＞t本文方法＞tMSRSR。

4 結(jié)論

本文把壓縮感知的方法運(yùn)用到聲納圖像超分辨率重建中，著重研究了超分辨率模型三種稀疏字典的建立，并結(jié)合K-均值聚類(lèi)結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法訓(xùn)練稀疏字典，最后采用Newton-Raphson迭代法求解圖像退化模型中各成分的系數(shù)，代入超分辨率重建模型算法實(shí)現(xiàn)重建。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該改進(jìn)的基于壓縮感知的超分辨率圖像重建綜合算法與傳統(tǒng)的重建算法相比較，重建質(zhì)量與效果在各個(gè)方面都有了較大的改善。

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Algorithm on super-resolution reconstruction of sonar image based on com pressive sensing

Hua Xinyue，Xu Zhijing
（College of Information Engineering，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China）

In general ways of super-resolution reconstruction，the corresponding wavelet basis of the after-dissection image can only effectively sparsely represent a single component and usually focus on the edge components instead of the smooth components. An algorithm on super-resolution reconstruction of sonar image is proposed to solve this problem.This algorithm first establishes three sparse dictionaries based on three transforms.Then it uses a structuring dictionary training method based on K-average clustering algorithm and Newton-Raphson iterative algorithm method to realize the reconstruction.Finally，the simulation experiments demonstrated the feasibility and effectiveness of this algorithm.The experiment results show that this algorithm can reconstruct and obtain the features of the original image and get great results，and effectively improve the quality of the reconstruction.

compressive sensing；super-resolution reconstruction；sparse dictionary；K-average clustering algorithm；Newton-Raphson iterative algorithm

TP391

A

1674-7720（2015）13-0049-04

2015-03-06）

花歆悅（1991-），通信作者，女，碩士研究生，主要研究方向：智能信息處理及應(yīng)用。E-mail：1034759180@qq. com。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61404083）；上海海事大學(xué)?；痦?xiàng)目（20120108）

徐志京（1972-），男，博士，副教授，主要研究方向：水環(huán)境信號(hào)的采集處理、水聲信號(hào)的采集處理、水聲通信、水下通信網(wǎng)、水聲圖像處理。