王衛(wèi)杰，任 元，李怡勇，羅 元

（1．裝備學院航天裝備系，北京101416；2．裝備學院航天指揮系，北京101416；3．裝備學院訓練部，北京101416）

航天器非線性魯棒自適應姿態(tài)機動控制律

王衛(wèi)杰1，任 元1，李怡勇2，羅 元3

（1．裝備學院航天裝備系，北京101416；2．裝備學院航天指揮系，北京101416；3．裝備學院訓練部，北京101416）

針對存在未知轉(zhuǎn)動慣量和外部干擾力矩的敏捷航天器快速大角度姿態(tài)機動問題，結合非線性反步法和Lyapunovo穩(wěn)定性分析方法設計控制力矩和轉(zhuǎn)動慣量估計值的非線性魯棒自適應控制律。在控制力矩控制律中，加入非線性阻尼項對外部干擾力矩進行補償，證明了系統(tǒng)的全局一致最終有界穩(wěn)定性。引入非線性動系數(shù)增加系統(tǒng)的動態(tài)性能，提高了姿態(tài)快速機動后的快速穩(wěn)定能力。在Maltlab／Simulink環(huán)境下進行航天器姿態(tài)機動控制仿真研究，仿真結果驗證了所設計控制器的有效性和可行性。

航天器；Lyapunovo穩(wěn)定性；姿態(tài)機動；非線性反步法；魯棒自適應控制

0 引 言

敏捷航天器三軸姿態(tài)控制通常采用動量交換裝置作為執(zhí)行機構，如反作用飛輪和控制力矩陀螺，而動量裝置的轉(zhuǎn)動會導致航天器轉(zhuǎn)動慣量的不確定性。同時，航天器在軌運行不可避免地受到各種干擾力矩的影響，如重力梯度力矩、太陽輻射力矩、氣動力矩以及地磁力矩，一般的干擾力矩通常都是不確定的，無法進行精確估算。航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的設計必須考慮包括轉(zhuǎn)動慣量和干擾力矩等不確定性因素以提高姿控系統(tǒng)的性能指標。由于航天器在大角度姿態(tài)機動時，姿態(tài)運動及動力學方程組是一組多變量、強耦合的非線性方程，因此三軸航天器機動控制律的設計本質(zhì)上是一個復雜的非線性控制問題［1］。

反步法作為一種非線性控制的有效方法［2］，多名學者將其和其他控制方法相結合，開發(fā)出多種用于飛行器姿態(tài)控制的算法。文獻［3］結合反步法和模糊邏輯分析了航天器的自適應容錯姿態(tài)控制問題；文獻［4］基于模糊自適應反步法研究了存在變參數(shù)和外部干擾的飛艇平臺控制問題；文獻［5］針對剛體航天器的姿態(tài)控制問題，基于反步法提出了一種自適應滑?？刂撇呗?；文獻［6］基于自適應反步滑模控制方案設計了撓性航天器的姿態(tài)容錯控制器；文獻［7］基于反步法研究了航天器編隊飛行的協(xié)同控制問題；文獻［8］結合抗飽和技術和反步法，設計了一種魯棒自適應集成控制方案。

對于存在外部干擾力矩和轉(zhuǎn)動慣量不確定性的航天器姿態(tài)控制問題，文獻［9］提出了一種自適應反步控制算法，文獻［10］將自適應反步法與非線性阻尼算法結合起來，設計了一種魯棒自適應控制器，但他們均未考慮陀螺耦合力矩的影響。文獻［11］給出了一類基于反步法的魯棒自適應控制器。文獻［9- 11］均考慮了控制器的自適應性，但選取的都是線性反步跟蹤函數(shù)。文獻［12］和文獻［13］分別設計了一種非線性反步控制律，但均未考慮系統(tǒng)的自適應性。上述研究還有一個共性的不足就是控制律系數(shù)均為常數(shù)，未考慮航天器姿態(tài)機動對控制器動態(tài)性能的需求。文獻［14］設計了參數(shù)分段的自適應控制器以增加系統(tǒng)的動態(tài)性，但未考慮外部干擾的影響。

針對上述研究存在的不足，本文以帶動量裝置的航天器姿態(tài)機動控制系統(tǒng)為研究對象，采用由無奇異的四元數(shù)描述的航天器姿態(tài)機動數(shù)學模型，選取非線性反步跟蹤函數(shù)設計控制力矩和未知轉(zhuǎn)動慣量估計值的魯棒自適應控制律。在控制力矩控制律中，加入非線性阻尼項對外部干擾力矩進行補償，并引入非線性動系數(shù)增加系統(tǒng)的動態(tài)性能，提高了姿態(tài)快速機動后的快速穩(wěn)定能力，并基于Lyapunovo函數(shù)進行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。理論分析和仿真結果表明，所設計的非線性魯棒自適應控制律能夠快速光滑地降低控制力矩峰值，實現(xiàn)了對未知轉(zhuǎn)動慣量的估計，抑制了外部干擾力矩，增強了系統(tǒng)的動態(tài)性，保證了系統(tǒng)的全局一致最終有界穩(wěn)定。

1 航天器姿態(tài)描述

航天器三軸姿態(tài)控制的主要方式為角動量交換方式，帶動量裝置（如反作用飛輪或控制力矩陀螺）的剛體航天器姿態(tài)動力學方程的一般形式為

式中，u表示動量裝置對航天器的控制力矩矢量。h為動量裝置轉(zhuǎn)動部件相對星體的角動量；外部干擾力矩d未知但有界，且滿足

式中，‖d‖2為d的2-范數(shù)；d0為未知正常數(shù)。J為航天器未知正定對稱的轉(zhuǎn)動慣量矩陣

ω為航天器本體坐標系Fb相對于慣性坐標系Fi的角速度在本體系下的分量，ω×表示斜對稱矩陣

為了避免大角度機動，用歐拉角描述引起的奇異問題，引入四元數(shù)描述航天器姿態(tài)

式中，I3為3×3的單位矩陣；ω＝［ω1ω2ω3］T表示本體系相對于地心慣性系的旋轉(zhuǎn)角速度在本體系中的分量；q＝｛q0qv｝∈R×R3（Rn為n維歐氏空間）表示航天器本體系相對于慣性系的實際四元素，q滿足正交約束方程q20＋qvTqv＝1，其中qv＝［q1q2q3］T，qv×表示qv的斜對稱矩陣。

將航天器繞其慣量主軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角分別記為：滾轉(zhuǎn)角φ、俯仰角θ、偏航角。由于敏捷航天器機動時間很短，可以忽略軌道角速度的影響，則四元素q與歐拉角之間的轉(zhuǎn)換關系為

在航天器姿態(tài)機動任務中，期望坐標系與地心慣性坐標系成固定的夾角，該夾角可由指令四元素qc＝｛qc0qcv｝∈R×R3表示，指令四元素同樣也滿足約束q2c0＋qTcvqcv＝1。

姿態(tài)機動的誤差四元素qe＝｛qe0qev｝∈R×R3表示實際四元素q與指令四元素qc之差，三者這間的關系可描述為

式中，?代表四元素乘法。

誤差四元素可表示為

對式（9）求導可得

2 非線性魯棒自適應控制律設計

由式（5）運動學描述，考慮選取Lyapunov函數(shù)使子系統(tǒng)穩(wěn)定

對式（12）求導，有

為了滿足Lyapunov穩(wěn)定性，使˙V1≤0，進行設計。

對于運動學方程式（10），將ω看作虛擬控制輸入，設計鎮(zhèn)定函數(shù)ωr穩(wěn)定運動學系統(tǒng)式（10）。

定義新的變量

設計非線性跟蹤函數(shù)［15］為

式中，α、β是正常數(shù)。

將式（14）和式（15）帶入式（13），可得

將式（16）帶入式（17），得

則當x1≠0，x2＝0時，結合反正切函數(shù)的性質(zhì)，得

因此V1漸進穩(wěn)定。

對式（15）求導，可得

定義新變量

將式（20）兩邊左乘J后，再將式（1）和式（22）帶入，得

令

則式（23）可寫為

式中，η為未知常數(shù)，表示航天器轉(zhuǎn)動慣量的真實值

Y的表達式為

定義航天器轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)的估計誤差

對式（11）進行增廣，得到系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)式中，G為轉(zhuǎn)動慣量估計參數(shù)矩陣，對式（30）求導，得

由式（28）可知η＝ηˉ＋η～，將η和式（25）、式（29）帶入式（31），得

易知

將式（18）、式（33）帶入式（32），可得

為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，選取自適應控制律

式中，k1、k2均為正常數(shù)，其中非線性阻尼項k2x2用于補償外部干擾的不確定性。

將式（35）和式（36）帶入式（34），得

為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，介紹以下引理。

引理［16］若正定函數(shù)V（t）滿足

式中，λ為正常數(shù)；φ（t）＞0，?t＞0。若φ（t）＝C為常數(shù)，則系統(tǒng)是全局一致最終有界穩(wěn)定的。

結合引理，可以證明系統(tǒng)V的穩(wěn)定性，具體證明如下。

證明 根據(jù)不等式的性質(zhì)有

將式（2）帶入式（39），改寫為

將式（40）帶入式（37），得

由式（30）可得

式中，χJ為矩陣J的最大特征值，對于航天器而言，均有

由式（42）可得

將式（43）帶入式（41），有

對比式（38），顯然式（44）符合引理條件，故系統(tǒng)V是全局一致最終有界穩(wěn)定的。證畢

航天器姿態(tài)在進行大角度快速機動初始階段，姿態(tài)角偏差較大，如果控制律式（36）中的系數(shù)k1、k2也較大，就會造成指令力矩超過執(zhí)行機構實際輸出力矩能力。在姿態(tài)機動的末尾階段，姿態(tài)角偏差較小，需要姿態(tài)快速穩(wěn)定控制，為了縮短姿態(tài)穩(wěn)定階段的時間，可以適當增大系數(shù)。為了增加系統(tǒng)的動態(tài)性能，可以根據(jù)姿態(tài)角誤差的大小對系數(shù)進行動態(tài)調(diào)整，以達到更好的快速機動和快速穩(wěn)定的效果。

本文基于雙曲正弦函數(shù)構造以下非線性作用函數(shù)：

式（45）對應的圖像如圖1所示?？梢钥闯?，當s→0時，f（s）→1。

圖1 雙曲正弦函數(shù)示意圖

將s記為以角度表示的姿態(tài)角誤差，利用式（45）構造控制律u的非線性動系數(shù)表示為

將式（46）和式（47）帶入式（36），控制律u可修改為

結合式（46）～式（48）可以看出，在姿態(tài)趨于穩(wěn)定時，控制律u的系數(shù)將增加一倍，從而使系統(tǒng)快速穩(wěn)定。

3 仿真分析

為了驗證本文設計的非線性魯棒自適應控制律的有效性和可行性，在Matlab／Simulink環(huán)境下，按照以下參數(shù)［9，13］進行仿真研究。

航天器初始姿態(tài)角為

航天器初始角速度為

航天器轉(zhuǎn)動慣量為

航天器慣量矩陣的估計參數(shù)矩陣為

指令四元素為

控制參數(shù)設置為

航天器的干擾力矩為

其中，t為時間，單位為s。

采用式（35）和式（36）的非線性魯棒自適應控制器進行仿真，仿真結果如圖2～圖7所示。圖2是控制力矩u的時間歷程，圖3是姿態(tài)角速度的時間響應，圖4是跟蹤誤差x2的時間響應，圖5是航天器轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)估計值的時間響應，圖6是由式（46）得到的控制律動系數(shù)z1的響應情況?？梢钥闯觯谧藨B(tài)接近穩(wěn)定時，控制律系數(shù)光滑地增大了一倍，實現(xiàn)了系統(tǒng)的快速穩(wěn)定，并且由于動系數(shù)是姿態(tài)角誤差的函數(shù)，所以根據(jù)三軸誤差分量的實際值，自動調(diào)節(jié)系數(shù)的大小，誤差分量的不同導致三軸系數(shù)的差異，這與傳統(tǒng)的定系數(shù)有著本質(zhì)的區(qū)別。圖7是式（36）陀螺耦合力矩項（ω×h）的時間響應，對比圖2的控制力矩，耦合力矩不到控制力矩u的2%。

圖2 控制力矩的時間歷程

圖3 姿態(tài)角速度的時間響應

圖4 跟蹤誤差x2的時間響應

圖5 轉(zhuǎn)動慣量估計值的時間響應

圖6 動系數(shù)z1的響應

圖7 陀螺耦合力矩的時間響應

從仿真結果來看，所設計的非線性魯棒自適應控制律快速光滑地降低了控制力矩峰值，實現(xiàn)了對未知航天器轉(zhuǎn)動慣量的估計，增強了控制律的動態(tài)性能。保證了航天器快速大角度姿態(tài)機動時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 結 論

本文設計了一種非線性魯棒自適應控制律。針對帶動量裝置的航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)，采用由無奇異的四元數(shù)描述的航天器姿態(tài)機動數(shù)學模型，選取非線性反步跟蹤函數(shù)設計控制力矩和未知轉(zhuǎn)動慣量估計值的魯棒自適應控制律。在控制力矩控制律中，加入非線性阻尼項對外部干擾力矩進行補償，證明了系統(tǒng)的全局一致最終有界穩(wěn)定性，并引入非線性動系數(shù)增加系統(tǒng)的動態(tài)性能，提高了姿態(tài)快速機動后的快速穩(wěn)定能力，考慮了陀螺耦合力矩對控制力矩的影響?；贛atlab／Simulink平臺進行仿真研究，結果表明，本文所設計的非線性魯棒自適應控制律能夠快速光滑地降低控制力矩峰值，實現(xiàn)了對未知轉(zhuǎn)動慣量的估計，抑制了外部干擾力矩，增強了系統(tǒng)的動態(tài)性，驗證了該控制律的有效性和可行性。

［1］Yang B H．Spacecraft guidance，navigation&control［M］．Beijing：China Science and Technology Press，2010：96- 97．（楊保華．航天器制導、導航與控制［M］．北京：中國科學技術出版社，2010：96- 97．）

［2］Khalil H K．Nonlinear system［M］．3rd ed．New Jersey：Prentice Hall，2002．

［3］Zou A M，Kumar K D．Adaptive fuzzy fault-tolerant attitude control of spacecraft［J］．Control Engineering Practice，2011，19（1）：10- 21．

［4］Yang Y N，Wu J，Zheng W．Station-keeping control for a stratospheric airship platform via fuzzy adaptive backstepping approach［J］．Advances in Space Research，2013，51（7）：1157- 1167．

［5］Cong B L，Liu X D，Chen Z．Backstepping based adaptive sliding mode control for spacecraft attitude maneuvers［J］．Aerospace Science and Technology，2013，30（1）：1- 7．

［6］Jiang Y，Hu Q L，Ma G F．Adaptive backstepping fault-tolerant control for flexible spacecraft with unknown bounded disturbances and actuator failures［J］．ISA Transactions，2010，49（1）：57- 69．

［7］LüY Y，Hu Q L，Ma G F，et al．6 DOF synchronized control for spacecraft formation flying with input constraint and parameter uncertainties［J］．ISA Transactions，2011，50（4）：573- 580．

［8］Zhang F，Duan G R．Robust adaptive integrated translation and rotation control of a rigid spacecraft with control saturation and actuator misalignment［J］．Acta Astronautica，2013，86：167- 187．

［9］Hu Q L，Li B，Huo X，et al．Spacecraft attitude tracking control under actuator magnitude deviation and misalignment［J］．Aerospace Science and Technology，2013，28（1）：266- 280．

［10］Song B，Li C J，Ma G F．Robust adaptive controller design for spacecraft during attitude maneuver［J］．Journal of Astronautics，2008，29（1）：121- 125．（宋斌，李傳江，馬廣富．航天器姿態(tài)機動的魯棒自適應控制器設計［J］．宇航學報，2008，29（1）：121- 125．）

［11］Li B，Hu Q L，Shi Z，et al．Backstepping and dynamic controlallocation for attitude maneuver of spacecraft with redundant reaction fly-wheels［J］．Control Theory&Application，2012， 29（11）：1419- 1425．（李波，胡慶雷，石忠，等．基于反步法與動態(tài)控制分配的航天器姿態(tài)機動控制［J］．控制理論與應用，2012，29（11）：1419- 1425．）

［12］Ali I，Kim J，Radice G．Large angle reorientation manoeuvre of spacecraft using robust backstepping［C］∥Proc.of the 59th International Astronautical Congress，2008．

［13］He Y．Research on attitude maneuvers control of SGCMG based agile small satellite［D］．Harbin：Harbin Institute of Technology，2011．（何昱．基于單框控制力矩陀螺的敏捷小衛(wèi)星姿態(tài)機動控制研究［D］．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2011．）

［14］Yan N．Research on the simulation and experiment of attitude control method for agile small satellite［D］．Beijing：Beihang University，2011．（焉寧．敏捷機動小衛(wèi)星姿態(tài)控制方法的仿真與實驗研究［D］．北京：北京航空航天大學，2011．）

［15］Kim K S，Kim Y．Robust backstepping control for slew maneuver using nonlinear tracking function［J］．IEEE Trans.on Control Systems Technology，2003，11（6）：822- 829．

［16］Qu Z，Dawson D，Dorsey J．A new class of robust control laws for tracking of robots［J］．The International Journal of Robotics Research，1994，13（4）：355- 363．

Nonlinear robust adaptive attitude maneuver control law for spacecraft

WANG Wei-jie1，REN Yuan1，LI Yi-yong2，LUO Yuan3
（1.Department of Space Equipment，Equipment Academy，Beijing 101416，China；2.Department of Space Command，Equipment Academy，Beijing 101416，China；3.Department of Training，Equipment Academy，Beijing 101416，China）

In the presence of uncertainties in the moment of inertia and the external disturbance torque，the nonlinear robust adaptive control law for the control torque and estimation of moment of inertia is designed combining the nonlinear backstepping and Lyapunovo stability．In the control law for the control torque，the nonlinear damping is added to compensate the external disturbance torque，and the globally uniformly ultimately bounded stability of the system is demonstrated．The nonlinear dynamic coefficient is introduced to increase the dynamic performance of the system，shortening the regulating time after fast attitude maneuver．By Matlab／Simulink programming，the simulation of spacecraft attitude manoeuver control is discussed，and the simulation results demonstrate the effectiveness and feasibility of the proposed controller．

spacecraft；Lyapunovo stability；attitude maneuver；nonlinear backstepping；robust adaptive control

V 448．2

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．22

王衛(wèi)杰（1983-），男，講師，博士，主要研究方向為航天器制導、導航與控制。

E-mail：wangwjie＠126．com

任 元（1982-），男，講師，博士，主要研究方向為航天器制導、導航與控制。

E-mail：renyuan_823＠aliyun．com

李怡勇（1982-），男，講師，博士，主要研究方向為航天器制導、導航與控制。

E-mail：lyygod＠163．com

羅 元（1984-），男，碩士研究生，主要研究方向為航天器制導、導航與控制。

E-mail：lolo1108＠126．com

1001-506X（2015）01-0135-06

網(wǎng)址：www．sys-ele．com

2014- 01- 02；

2014- 03- 13；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2014- 06- 17。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140617．1827．015．html基金項目：國家自然科學基金（51475472，61403396）資助課題