楊艷 宋國(guó)杰

【摘要】從Malthus模型出發(fā)，說明由初值產(chǎn)生的誤差可能會(huì)對(duì)方程的解產(chǎn)生較大的影響，從而說明微分方程解的穩(wěn)定性的意義，然后得到穩(wěn)定性的概念。

【關(guān)鍵詞】Lyapunov穩(wěn)定性 ?初值條件 ?問題性教學(xué)

【基金項(xiàng)目】西南石油大學(xué)校級(jí)青年教師教改項(xiàng)目資助（2014JXYJ-39）。

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）05-0145-02

李雅普諾夫穩(wěn)定性是常微分方程中的難點(diǎn)之一。由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性以及學(xué)生認(rèn)知能力的局限性， 學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)往往只停留在表面的抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)上， 其更深層次的含義理解不到位， 導(dǎo)致對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)也會(huì)一知半解。該定義刻劃的是微分方程由初值產(chǎn)生的擾動(dòng)對(duì)方程的解的影響。

先看一個(gè)具體實(shí)例——Malthus模型： 假設(shè)人口的凈增長(zhǎng)率（單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長(zhǎng)數(shù)與人口總數(shù)之比）是一個(gè)常數(shù)r（r>0），若用x（t）表示t時(shí)刻某區(qū)域的人口，那么該模型為：

■=rx， ? ? ?＼？鄢MERGEFORMAT （1）

若已統(tǒng)計(jì)出t0時(shí)刻的人口數(shù)量為x0，即x（t0）=x0，那么結(jié)合可求得：

x（t）=x0ert ? ? ＼？鄢MERGEFORMAT ?（2）

據(jù)此表達(dá)式可預(yù)測(cè)出未來的人口發(fā)展趨勢(shì). 但是這里的初值條件x（t0）=x0通常是由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到的， 誤差時(shí)難免的， 那么自然會(huì)問： 該誤差對(duì)我們的求解影響大嗎？

假設(shè)真實(shí)的數(shù)據(jù)是x（t0）=？準(zhǔn)0， 那么在此初值條件下的解為？準(zhǔn)（t）=？準(zhǔn)0ert.當(dāng)時(shí)間t→+∞時(shí)， 在這兩種初值條件下的誤差：

？準(zhǔn)（t）-x（t）=？準(zhǔn)0-x0ert→+∞ ＼？鄢MERGEFORMAT ?（3）

上式說明： 若初始值即使有很小的誤差， 這個(gè)誤差會(huì)隨著時(shí)間t的增加而被無限放大， 最終會(huì)導(dǎo)致“差之毫厘， 謬之千里”的結(jié)果. 實(shí)際上， Malthus模型將問題簡(jiǎn)單地線性化， 假設(shè)人口凈增長(zhǎng)率為一常數(shù)， 而忽略了人口的制約因素， 與實(shí)際規(guī)律不符. 那么， 對(duì)一個(gè)實(shí)際模型， 如何從這個(gè)角度來驗(yàn)證該模型的合理性呢？ 這就是穩(wěn)定性要討論的問題。

考慮一般的一階微分方程

■=f（t，x） ? ? ? ? ? ? ＼？鄢MERGEFORMAT ?（4）

這里假設(shè)f（t，x）在開區(qū)域G？哿R×R內(nèi)連續(xù)， 關(guān)于變量x滿足局部Lipschitz條件.

假設(shè)真實(shí)初值為

x（t0）=？準(zhǔn)0 ? ? ? ? ? ＼？鄢MERGEFORMAT ?（5）

那么， 根據(jù)前面假設(shè)， 問題在條件下有唯一解

x=？準(zhǔn)（t） ? ? ? ? ?＼？鄢MERGEFORMAT ?（6）

若有另一組初始值

x（t0）=x0 ? ? ? ? ?＼？鄢MERGEFORMAT ?（7）

問題在條件下的解與初始值x0相關(guān)，不妨將該解記為

x=x（t，t0，x0） ? ? ? ? ? ＼？鄢MERGEFORMAT ?（8）

既然初值條件都不可避免地存在誤差， 我們自然希望當(dāng)初始誤差不大時(shí)， 在這兩組初始值下得到的方程的解的誤差也不大。即解的誤差能由初始誤差控制. 這樣， 用極限的語言描述， 即：

當(dāng)x0→？椎0時(shí)，對(duì)任意t≥t0，有x（t，x0）→？準(zhǔn)（t）

根據(jù)上式， 得到如下李雅普諾夫穩(wěn)定性。

定義 ?假設(shè)f（t，x）在開區(qū)域G？哿R×R內(nèi)連續(xù)， 關(guān)于變量x滿足局部Lipschitz條件. 如果對(duì)于任意的？著>0， 存在一個(gè)？啄=？啄（？著）>0，使得對(duì)于滿足的解？椎（t）以及滿足和的解x=x（t，t0，x0），只要？椎0-x0<？啄時(shí)，就有

？準(zhǔn)（t）-x（t，t0，x0）<？啄 ? ? ?＼？鄢MERGEFORMAT ?（9）

對(duì)于所有的t≥t0成立， 則方程■=f（t，x）的解x=？椎（t）是Lyapunov意義下穩(wěn)定的.

穩(wěn)定性這一概念是100多年前由Lyapunov提出來的， 穩(wěn)定性是一個(gè)永恒的課題。凡涉及到運(yùn)動(dòng)的變化或者狀態(tài)的變化等， 穩(wěn)定性都是首要的研究性能。不穩(wěn)定的模型， 通常是不科學(xué)的，剛才的Multhus模型在短期內(nèi)模擬人口問題沒太大的問題， 但是在長(zhǎng)時(shí)間， 比如100年來看就是不合理的。再如“蝴蝶效應(yīng)”， 在亞馬遜熱帶雨林的一只蝴蝶翅膀偶爾振動(dòng)， 兩周后可能會(huì)引起美國(guó)德克薩斯州的一場(chǎng)龍卷風(fēng)。這也說明了不穩(wěn)定可能會(huì)導(dǎo)致不可預(yù)測(cè)的結(jié)果。現(xiàn)在隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，很多新的學(xué)科， 如非線性控制， 生物數(shù)學(xué)， 基因網(wǎng)絡(luò)， 混沌控制與同步以及基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的理論等都是穩(wěn)定性理論的具體應(yīng)用。

注1上式是針對(duì)一階微分方程給出的穩(wěn)定性的概念。若對(duì)一般的微分方程組， 只需將上述定義中的絕對(duì)值換成向量范數(shù) （廣義的距離） 即可。

注2 關(guān)于穩(wěn)定性的概念， 學(xué)生容易和解的存在唯一性理論中的解對(duì)初值的連續(xù)依賴性這一知識(shí)點(diǎn)混淆。這兩個(gè)概念討論的都是因初值產(chǎn)生的誤差對(duì)方程的解的影響。穩(wěn)定性是在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)討論的， 也就是自變量t是可以趨于正無窮的， 而后者對(duì)自變量只要求在有限的區(qū)間內(nèi)即可。

小結(jié) 在數(shù)學(xué)課程一些概念的講解中， 可以先結(jié)合實(shí)際問題說明這一概念產(chǎn)生的背景， 然后引出概念。這也是“問題性教學(xué)”所倡導(dǎo)的。本文通過Malthus模型說明， 在微分方程的初值問題中， 若初始值有小小的誤差， 隨著時(shí)間的增加， 這一誤差被無限放大， 此時(shí)該解不穩(wěn)定， 根據(jù)此意義即得到穩(wěn)定性的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。

參考文獻(xiàn)：

[1]張祥云. 由“非問題性教學(xué)”走向“問題性教學(xué)”[J].高等教育研究.1995，5.

[2]王高雄等. 常微分方程（第三版）[M]. 高等教育出版社： 北京. 2010.

作者簡(jiǎn)介：

楊艷（1984.11-），女， 漢族， 河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣人， 碩士， 講師， 研究方向：微分方程數(shù)值解。