浙江省寧波市北侖明港中學(xué) 甘大旺 (郵編：315806)

初數(shù)研究

笛沙格的調(diào)和點(diǎn)列及其現(xiàn)實(shí)運(yùn)用

浙江省寧波市北侖明港中學(xué) 甘大旺 (郵編：315806)

從古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼(奧)斯(P.Apollonius，約前262～約前190年)對圓錐曲線的研究成果中，可以窺見調(diào)和點(diǎn)列的雛形；在古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯(Menelaus，活躍于公元100年前后)、帕波斯(Pappus，活躍于公元300～350年間)探索到交比不變形的基礎(chǔ)上，法國數(shù)學(xué)家笛沙格(G.Desargues,1591 ～ 1661)首次建構(gòu)了圓錐曲線中調(diào)和點(diǎn)列的理論框架，并豐富了阿波羅尼(奧)斯的圓錐曲線的知識體系.本文以兩個(gè)引例為基礎(chǔ)，通俗地介紹調(diào)和點(diǎn)列的基本概念，然后著重解答和詮釋以調(diào)和點(diǎn)列為命題背景的相關(guān)現(xiàn)實(shí)問題，供參考！

熟悉上述兩個(gè)引例的結(jié)論后，我們就會(huì)認(rèn)同笛沙格關(guān)于“調(diào)和點(diǎn)列”概念的自然性和必要性.

性質(zhì)1 若共線四點(diǎn)A、M、B、N構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，則四點(diǎn)B、N、A、M也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，四點(diǎn)M、A、N、B也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，四點(diǎn)N、B、M、A也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，四點(diǎn)A、N、B、M也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

命題專家以調(diào)和點(diǎn)列為題根，可以翻新編擬出相關(guān)的高考題、競賽題.

例1 (2009年四川競賽題)如圖，已知PA、PB是⊙O的兩條切線(A、B是切點(diǎn))，PCD是⊙O的一條割線(C、D是交點(diǎn))，E是AB與PD的交點(diǎn)．

證明 連結(jié)AC、AD、BC、BD，那么

補(bǔ)注 在此例中，定點(diǎn)P與切點(diǎn)連線AB是關(guān)于⊙O相伴的極點(diǎn)與極線，此例把極點(diǎn)、極線與調(diào)和點(diǎn)列密切聯(lián)系起來，可得到上述引例2的推廣結(jié)論“過圓非切點(diǎn)的極點(diǎn)作直線與圓、極線相交，則所出現(xiàn)的四點(diǎn)順次構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列”.

(2) (2009年陜西競賽題)已知PA、PB圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，過點(diǎn)P的直線交圓O于C、D兩點(diǎn)，交弦AB于點(diǎn)Q，求證：PQ2=PC·PD-QC·QD.

(2)如下左圖，以P為原點(diǎn)建立一維數(shù)軸Px，則P(0)，設(shè)C(c)、Q(q)、D(d)，則與(1)同理得2cd=q(c+d).于是，PC·PD-QC·QD=cd-(q-c)(d-q)=2cd-q(c+d)+q2=PQ2，證畢.

(3)如上右圖，以A為原點(diǎn)建立一維數(shù)軸Ax，則A(0)，設(shè)B(b)、P(p)、C(c)，則與(1)同理得2bc=p(b+c)，則

AP·BC-2PC·AB=p(c-b)-2(c-p)b=p(b+c)-2bc=0，

則AP·BC=2PC·AB.

最后兩邊除以BC·PC，得到原等式正確.

補(bǔ)注 本例的3個(gè)小題結(jié)論的形態(tài)不同，但它們都是例1結(jié)論的必要條件，讀者還可以反推它們也是例1結(jié)論的充分條件.于是，我們可以得到下面的性質(zhì).

?AB2=AM·AN-BM·BN.

將兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2，y2)的坐標(biāo)代入橢圓C的方程x2+2y2=4，并整理得

相減得8λ(2x0+y0-2)=0(其中λ>1)，

則 2x0+y0-2=0.

所以，點(diǎn)Q總在定直線2x+y-2=0上.

補(bǔ)注 如右圖，目標(biāo)直線2x+y-2=0恰恰是題設(shè)定點(diǎn)P(4，1)關(guān)于已知橢圓C：x2+2y2=4的極線(即過橢圓C外一點(diǎn)P向該橢圓所作兩條切線的兩個(gè)切點(diǎn)的連線)，這說明例1、例2的結(jié)論的逆命題可以類比到橢圓來探究.

例4 (2014年河南競賽題)已知拋物線C：x2=2y與直線l：y=kx-1沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為定直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，其中A、B為切點(diǎn).

(1)證明：直線AB恒過定點(diǎn)Q;

解 (1)設(shè)A(x1,y1)，則x12=2y1．運(yùn)用判別式法或?qū)?shù)法求得拋物線在A點(diǎn)處的切線方程為y+y1=x1x.設(shè)P(x0,kx0-1)，則代入得

(kx0-1)+y1=x0x1.

設(shè)B(x2,y2)，同理有kx0-1+y2=x0x2. 于是，兩切點(diǎn)連線AB的方程為

kx0-1+y=x0x，化成直線系方程為

設(shè)M(x3,y3)、N(x4,y4)，則

?2x3x4+2kx0=(k+x0)(x3+x4)

?2[(2k2-2)x0-2k]+2kx0(x0-k)

=(k+x0)(2kx0-4)

?0=0.

因?yàn)榇说仁斤@然正確，故原等式正確.證畢.

補(bǔ)注 ①根據(jù)極點(diǎn)(線)的結(jié)論，可以直接寫出切點(diǎn)連線AB的方程為x0x=y+(kx0-1)，其實(shí)，點(diǎn)P與連線AB是關(guān)于拋物線x2=2y相伴的極點(diǎn)與極線，點(diǎn)Q與直線l也是關(guān)于拋物線x2=2y相伴的極點(diǎn)與極線；②第(2)小題說明四點(diǎn)P、M、Q、N四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

綜上四例，你能頓悟下面一個(gè)推廣結(jié)論嗎？

定理1 如果經(jīng)過定點(diǎn)P可以向圓錐曲線Ω作兩條切線，切點(diǎn)分別是T1、T2，再經(jīng)過定點(diǎn)P作動(dòng)直線l與圓錐曲線Ω相交于兩點(diǎn)A、B．

(1)當(dāng)動(dòng)直線l與連線T1T2相交于點(diǎn)Q(不重合于T1、T2兩點(diǎn))時(shí)，順次四點(diǎn)P、A、Q、B構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列；

(2)當(dāng)動(dòng)直線l上的點(diǎn)Q使得順次四點(diǎn)P、A、Q、B構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列時(shí)，點(diǎn)Q在連線T1T2上(不重合于T1、T2兩點(diǎn)).

限于篇幅，把定理1的驗(yàn)證留給讀者完成.因勢利導(dǎo)，下面介紹笛沙格的一個(gè)研究成果.

定理2 如果圓錐曲線Ω的內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對邊AD與BC的延長線交于點(diǎn)P1，另兩條對邊AB與CD的延長線交于點(diǎn)P2，且圓錐曲線Ω與其割線P1O交于兩點(diǎn)M1、N1，圓錐曲線Ω與其割線P2O交于兩點(diǎn)M2、N2(如上圖)，那么內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對角線相交于O點(diǎn)的充分必要條件是順次四點(diǎn)P1、M1、O、N1構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，且順次四點(diǎn)P2、M2、O、N2也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

用極限的思想琢磨，定理1是定理2的退化情形.近幾年來以定理1為背景，是專家編擬高考題、競賽題的熱點(diǎn)；預(yù)計(jì)以定理2的特例為背景，可能是專家在不遠(yuǎn)的將來編擬高考題、競賽題的新熱點(diǎn).

1 李文林. 數(shù)學(xué)史概論[M].北京：高等教育出版社，2002：133-134

2 傅海倫.中外數(shù)學(xué)史概論[M].北京：科學(xué)出版社，2007：234-235

3 傅鐘鵬.數(shù)學(xué)名人漫記[M].天津：新蕾出版社，2001：43-45

4 杜瑞芝主編.數(shù)學(xué)史辭典[M].濟(jì)南：山東教育出版社，2002：100,423

2014-12-28)