曲昭偉，段宇洲，宋現(xiàn)敏，陶鵬飛，邢 巖

(吉林大學 交通學院，長春130022)

0 引 言

環(huán)形交叉口作為一種特殊的交通控制設施，在通行能力、延誤以及安全性等方面都有著獨特的優(yōu)勢。車頭時距作為聯(lián)系微觀交通和宏觀交通的橋梁，不僅是微觀仿真模型的基本輸入?yún)?shù)，同時也是預測通行能力的基礎，直接影響著交通系統(tǒng)模型的精確程度。Ha 等［1］將車頭時距的概率分布模型精確地劃分為單一模型、組合模型和混合模型3 類。目前存在的兩種混合模型為Buckley 提出的半泊松分布和Cowan 和Branston所提出的GQM 模型［2-3］。針對雙車道公路，基于對車輛行駛狀態(tài)的分類，常玉林等［4］提出了改進的M3 分布模型。Zhang 等［5］提出了一種新的參數(shù)估計方法，采用GQM 模型和DDNED 模型對高速公路數(shù)據(jù)進行擬合檢驗。臧曉冬等［6］利用絕對值韋布爾模型對城市快速路合流區(qū)的車頭時距進行了建模。Al-Ghamdi［7］通過劃分流量界限，在快速路和城市干線車頭時距分析中證明了愛爾朗分布的優(yōu)良擬合性。陶鵬飛等［8］針對快速路路段的車頭時距構建了包含負指數(shù)分布和正態(tài)分布的混合模型。韓萍［9］初步建立了環(huán)形交叉口的車頭時距混合模型。He 等［10］建立了移位負指數(shù)分布乘以高斯分布的綜合概率分布模型，使車頭時距和速度從宏觀上得到結合。Mauro 等［11］從統(tǒng)計意義上闡釋了移位對數(shù)正態(tài)分布，并結合實際交通問題驗證了其實用性。劉明君［12］通過對信號交叉口處排隊消散進行研究，提出了基于風險分析的釋放車頭時距模型。

綜上，目前所研究的大都是針對高速公路、城市快速路及一般路段的車頭時距的結果，而對于環(huán)形交叉口車頭時距的研究成果相對較少。且由于單車道環(huán)島車輛運行情況相對簡單，而多車道情況下由于車道之間的差異性對整個環(huán)島的影響更為突出，所以對多車道環(huán)島的車頭時距研究更加迫切。

本文針對不同類型環(huán)島的不同區(qū)域和不同車道，利用多種分布模型對車頭時距進行擬合，并利用最大似然法和Levenberg-Marquardt 法來估計參數(shù)，采用單樣本Kolmogorov-Smirnov(KS)檢驗來比較各個模型之間的優(yōu)劣。并通過雙樣本KS 檢驗對不同組合的車頭時距分布情況進行了探討，為環(huán)形交叉口系統(tǒng)的基本特性研究提供了參考。

1 數(shù)據(jù)采集及預處理

選取長春市賽德廣場和新民廣場作為調(diào)查對象，其中，賽德廣場為無信號控制，新民廣場為單停車線信號控制。兩者均為多車道大型環(huán)島，環(huán)島平均直徑大于150 m。采用錄像調(diào)查方式，選取調(diào)查地點周邊高層進行俯拍，并采用視頻處理軟件Corel VideoStudio 對車頭時距進行人工提取，精度可達0.04 s。按照車流的運行方式，將環(huán)形交叉口的區(qū)域劃分為環(huán)流區(qū)和交織區(qū)。其中環(huán)流區(qū)車輛行為相對簡單，主要為環(huán)道內(nèi)車輛的繞環(huán)行為，而交織區(qū)中的車輛行為相對復雜，大量的車輛交織行為對通行能力產(chǎn)生了較大影響。如圖1 所示，斷面A 所處的位置為環(huán)流區(qū)，斷面B 所處的位置為交織區(qū)。為了敘述方便，將最內(nèi)側車道定義為車道1，相鄰車道為車道2，以此類推。選取賽德廣場仙臺大街南段至南湖大路東段、新民廣場工農(nóng)大路北段至延安大街段作為研究路段，在正常氣候和交通條件下進行數(shù)據(jù)采集，對主要數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，如表1 所示。

圖1 區(qū)域劃分示意圖Fig.1 Diagram of area dipartition

由表1 可以看出，兩種控制方式下，在環(huán)流區(qū)，平均車頭時距從內(nèi)車道向外車道有遞增趨勢;對于交織區(qū)，由于新民廣場的車流量較大，三條車道的平均車頭時距相差較小，最大相差為15.96%;但在賽德廣場，由于無信號控制，車輛為了避免在外側車道中受進口車輛的干擾便傾向于在內(nèi)側車道行駛，平均車頭時距也呈由內(nèi)到外遞增的趨勢。為了更加直觀地分析兩個環(huán)島的車頭時距情況，繪制出箱線圖，如圖2 所示。

圖2 中，按照箱線圖所計算的可信度區(qū)間，原樣本數(shù)據(jù)中有異常值存在。賽德廣場中從交織車道到環(huán)流車道，車頭時距分布呈逐漸擴大趨勢，而新民廣場各個車道的分布形式則較為集中，同標準差的結果一致。

表1 不同區(qū)域車道的車頭時距描述統(tǒng)計特性Table 1 Statistic description of headway of different lanes

圖2 各車道車頭時距箱線圖Fig.2 Boxplot of different headways

為了精確地得到各個車道的車頭時距分布情況，以實際調(diào)查數(shù)據(jù)為樣本繪制出累計概率分布圖，如圖3 所示。從圖3 中可以看出:對于不同的控制方式，其分布形式差異較大;相對而言，信號控制方式所得到的車頭時距分布情況更為集中，而無信號控制方式由于車流在入口處呈隨機到達，所以車流的分布較為分散。此外，還可以看出，車道由內(nèi)到外，出現(xiàn)大時距的可能性逐漸增加。

圖3 調(diào)查地點樣本累計概率分布圖Fig.3 Cumulative probability distribution of the survey sample

2 分布模型及參數(shù)估計

對公路交通的車頭時距描述中，經(jīng)常采用韋布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布等基本形式，部分學者也指出用Cowan M3 模型來擬合環(huán)島車道的車頭時距分布較為合適［13］。為了更加精確地描述車頭時距，Wasielewski 提出Buckley 所建立的半泊松分布將更加適合描述車頭時距［14-15］。而Branston［3］根 據(jù) 排 隊 系 統(tǒng) 提 出 了GQM 模 型，Cowan［2］也提出了適合一般情況的M4 分布模型，Zhang 等［5］對這兩種分布模型進行了簡單的推導，結果表明兩者實際上為同一形式的不同表達。但如式(1)(2)所示，不論是半泊松分布模型還是GQM 模型，由于其本身函數(shù)定義的復雜性和待定參數(shù)較多，在實際應用過程中受到限制，如半泊松分布模型需對跟馳車頭時距進行拉普拉斯變換，所以本文只對Cowan M3 分布進行研究，其基本形式如式(3)所示。

式中:f(t)為概率密度函數(shù);φ 為跟馳流比例;g(t)為跟馳車流的概率密度函數(shù);h(t)為自由流概率密度函數(shù);λ 為衰減常量;τ 為最小車頭時距。

Jang 用JohnsonSB 模型對郊區(qū)干線的車頭時距分布進行了擬合［16-17］，由于此模型中帶有兩個形狀參數(shù)，能根據(jù)實際情況而做出靈活調(diào)整，其基本模型如式(4)所示:

式中:z=(x－ξ)/λ;x 為車頭時距變量，范圍值為［ξ，ξ+λ］;γ 為形狀參數(shù);δ 為另一形狀參數(shù)，δ ＞0;λ 為尺度參數(shù)，λ ＞0;ξ 為位置參數(shù)。

廣義極值分布(Generalized extreme value distribution)的概率密度函數(shù)如式(5)所示:

式中:z ≡(x－μ)/σ，σ 為尺度參數(shù)，且σ ＞0;μ為位置參數(shù);k 為形狀參數(shù)。

Griffiths 和Hunt［18］提出了雙移位負指數(shù)模型(DDNED)，其概率密度函數(shù)如式(6)所示:

式中:φ 為權重系數(shù)，0 ＜φ ≤1;γ1和γ2為流量影響系數(shù);d 為移位參數(shù)。

最大似然估計方法(MLE)對參數(shù)預測效果較為顯著，本文采用MLE 和Levenberg-Marquardt法［19-20］對3 種模型的參數(shù)進行了非線性回歸分析預測，參數(shù)估計值如表2 所示。其中，α、β、γ 分別代表形狀參數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)。

表2 模型參數(shù)估計值Table 2 Estimated values of model parameters

3 分布擬合比較和檢驗

選取賽德廣場和新民廣場的不同區(qū)域位置的車頭時距數(shù)據(jù)作為樣本集，利用上述方法對車頭時距分布模型進行擬合。為了對分布模型的擬合性能進行定量比較，選用單樣本KS 檢驗對擬合效果進行定量測試，其中選用0.05 對應的顯著性水平的臨界值進行檢驗，檢驗結果如表3 所示。為了更形象地表現(xiàn)分布特性，選取概率密度函數(shù)圖和P-P 圖進行表達。其中，P-P 圖表示經(jīng)驗分布累計概率和理論模型累計概率之間的關系，點集越趨于線性表明其理論分布函數(shù)越接近真實分布。在模型參數(shù)標定的基礎上，選取幾條典型車道進行擬合對比分析。

表3 各種模型的擬合優(yōu)度K-S 檢驗值Table 3 Goodness of fit test for various models

首先選取賽德廣場的環(huán)流車道2 進行分析，結合圖4(a)(b)和表3 中的數(shù)據(jù)，移位負指數(shù)分布、Cowan M3 分布和Weibull 分布擬合效果較差，而其他幾種分布模型的擬合效果較好，最大KS 檢驗值為0.46，小于檢驗臨界值，圖4(b)的P-P 圖也呈現(xiàn)出這種趨勢。圖4(c)(d)為賽德廣場的交織車道2 的概率分布擬合圖，其中移位負指數(shù)的擬合效果較差，結合KS 檢驗值，極值分布模型中的檢驗值為0.052，而Cowan M3 的檢驗值為0.225，差距較大，從側面也體現(xiàn)了分布模型對結果影響的重要性。從圖4 可以看出，P-P 圖反映出幾種分布模型對環(huán)流車道2 的擬合效果要優(yōu)于對交織車道2 的擬合效果，表3 的KS 檢驗結果中也證實了這種趨勢。

圖4 賽德廣場環(huán)流車道2 和交織車道2 的概率分析圖Fig.4 Probability distribution of circulating lane 2 and weaving lane 2 at Saide square

圖5 新民廣場環(huán)流車道1 和交織車道3 的概率分析圖Fig.5 Probability distribution of circulating lane 1 and weaving lane 3 at Xinmin square

圖5 為新民廣場的環(huán)流車道1 和交織車道3的概率分析圖。對于環(huán)流車道1，用Johnson SB模型所得到的KS 檢驗值最小，為0.076;而交織車道3 中，用Johnson SB 模型同樣達到的最優(yōu)的擬合效果，KS 檢驗值最小。但可能是受到參數(shù)估計方法的精度影響，所得到的結果并未通過KS檢驗。結合P-P 圖分析可知，當車頭時距較小時，理論累計分布概率均小于經(jīng)驗累計分布概率值，此時擬合的效果稍差，但是這種差異的波動性會隨著車頭時距的增大而逐漸減小。

采用類似方法對其他車道的車頭時距分布情況進行分析，分析結果如表3 所示。從平均水平上分析，移位負指數(shù)效果最差，KS 檢驗平均值為0.197，而移位對數(shù)logistic 分布效果最好，KS 檢驗平均值為0.062。從各個車道的角度進行分析，Gen.Extreme Value 分布、Johnson SB 分布、移位Log-Logistic 分布、移位 Lognormal 分布和DDNED 分布的表現(xiàn)性能較好;而移位負指數(shù)分布、Cowan M3 分布和Weibull 分布的檢驗效果稍差，對應于不同車道處的KS 臨界值，其都未能通過檢驗。相比而言，由于環(huán)流區(qū)車流運行形式較為簡單，車輛換道等行為相對較少，所以用本文的幾種分布模型對其擬合的效果相對較好。而由于交織區(qū)的車輛受到其他車輛匯入或駛出的影響，車頭時距的分布情況較為復雜，傳統(tǒng)的分布模型如移位負指數(shù)分布等擬合效果較差，無法滿足擬合精度要求;對于混合分布的擬合，由于參數(shù)估計方法本身的不足，雖然擬合精度較傳統(tǒng)分布模型已有很大提高，但部分結果還是未能通過檢驗，需對模型參數(shù)進一步標定。

綜上，對于不同的控制類型以及不同的區(qū)域條件，上述模型中均有能夠合理表達車頭時距分布狀況的模型，但不同條件下各個模型具有適應性差異。例如，對于賽德廣場的環(huán)流區(qū)，DDNED分布均能達到一個較好的效果，最大KS 檢驗值小于0.048，而移位對數(shù)正態(tài)分布和移位對數(shù)logistic 分布在環(huán)流道2 和環(huán)流道3 的擬合效果較好;對于賽德廣場的交織區(qū)，廣義極值分布和DDNED 的檢驗效果優(yōu)于其他分布形式。對于新民廣場，受信號控制的影響其車流的到達形式也發(fā)生了變化，對于環(huán)流區(qū)，Johnson SB 模型和移位對數(shù)正態(tài)分布模型的擬合效果較好;而對于交織區(qū)的不同車道，其擬合形式變化較大，對于交織車道1、2、3，其最優(yōu)擬合分布模型分別為廣義極值分布、移位對數(shù)logistic 分布和Johnson SB 分布。所以，在實際應用中應根據(jù)不同的條件選用合適的分布模型，并且進行精確的參數(shù)標定，為交通系統(tǒng)的運行提供準確的參考。

4 車道間分布模型相關性檢驗

以上分析均是將不同的分布模型應用于不同車道，獨立進行分析的。為從整體上把握環(huán)形交叉口的車頭時距分布情況，假設各個車道之間獨立分布，對兩兩車道間的分布情況進行分析，采用雙樣本KS 檢驗法對各個車道之間的分布相關性進行檢驗。用矩陣來表示各車道間的相關性，其中，矩陣的行分別為［{環(huán)流車道1}，{環(huán)流車道2}，{環(huán)流車道3}，{交織車道1}，{交織車道2}，{交織車道3}］，列為行的轉置項。原假設H0為兩個樣本總體分布相同，用F1(X)和F2(X)表示兩個樣本的累計經(jīng)驗分布函數(shù)，則KS 統(tǒng)計量為，臨界值的計算如式(7)所示:

式中:n1、n2為樣本量。

以新民廣場為例，判斷矩陣用A表示，臨界矩陣用B 表示，檢驗矩陣用C 表示。若A［i，j］＜B［i，j］，則C［i，j］=1，接受原假設，否則拒絕原假設。檢驗矩陣結果如C 所示，其中矩陣元素1 表示兩者分布相同，0 表示兩者分布不同。

由矩陣C 可以看出，對于新民廣場，環(huán)流車道1 和環(huán)流車道2 之間的分布類型近似相同。交織車道1 和交織車道2，交織車道1 和交織車道3之間的分布也近似相同。類似地可得到賽德廣場的判斷矩陣、臨界矩陣以及檢驗矩陣分別如矩陣D、E、F 所示。從結果可以看出，賽德廣場只有交織車道1 和交織車道2 之間的分布類似，其他車道的車頭時距的分布都為不同形式。

為了對同區(qū)域同車道在不同控制類型下的分布特性進行分析，采用同樣的方法，對新民廣場和賽德廣場的環(huán)流車道和交織車道進行雙樣本KS檢驗，結果如表4 所示。經(jīng)計算得到的KS 統(tǒng)計值均大于臨界值，所以拒絕原假設，即分布形式不相同?？梢娛苄盘柨刂频挠绊懀嚵髟诃h(huán)形交叉口內(nèi)運行的形式發(fā)生了變化，車頭時距分布形式亦發(fā)生了改變。

表4 賽德廣場/新民廣場同車道之間雙側KS 檢驗Table 4 Two sample KS test at Saide/Xinmin square

5 結束語

通過對不同控制類型的環(huán)形交叉口的不同區(qū)域的車頭時距進行采集，結合最大似然估計方法和Levenberg-Marquardt 法等參數(shù)估計方法，采用8 種分布模型對其分布形式進行擬合，并通過KS檢驗對模型的擬合性能進行定量測試。此外，利用雙樣本KS 檢驗分析了車道間的相關性。結果表明，不同控制類型下的不同區(qū)域中的不同車道，其車頭時距分布形式均有所不同，應選用不同的分布模型并對其進行精確標定。

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