王京萌，張愛武，趙寧寧，孟憲剛

(1.首都師范大學 資源環(huán)境與旅游學院，北京100048;2.三維信息獲取與應用教育部重點實驗室，北京100048;3.資源環(huán)境與地理信息系統(tǒng)北京市重點實驗室，北京100048;4.城市環(huán)境過程與數(shù)字模擬國家重點實驗室培育基地，北京100048)

0 引 言

遙感技術的發(fā)展使高質(zhì)量遙感圖像的應用成為現(xiàn)實，國外先進的遙感圖像分辨率越來越高。通過改進硬件設備提高分辨率會增加成本或者受到技術的限制。鑒于此，通過改變采樣模式提高圖像分辨率的方法得到更多關注。將斜模式采樣(簡稱斜采樣)、高模式采樣和超模式采樣結(jié)合進行圖像后期處理，可以有效地提高圖像分辨率。斜采樣為單線陣，避開了兩排錯位排列探測器的難題，更具有實踐性。通過使線陣CCD 與推掃方向成一定的夾角來增大采樣密度的方式提高分辨率，同時也會產(chǎn)生混疊。按照Nyquist 采樣定理，當采樣頻率小于截止頻率2 倍時，圖像將產(chǎn)生混疊;當采樣網(wǎng)格由于微小抖動產(chǎn)生的欠采樣也會產(chǎn)生混疊;A/D 轉(zhuǎn)換或星地數(shù)據(jù)傳輸?shù)膲嚎s或解壓縮過程中也可能產(chǎn)生混疊;在后期處理圖像的抽取或插值操作等都可能產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。

國外學者［1］將混疊分為帶外和帶內(nèi)虛假響應。文獻［2］專門針對SPOT－5 成像系統(tǒng)，研究了混迭現(xiàn)象和去除混迭的方法，并應用到遙感圖像復原的模型當中。孟慶武［3］根據(jù)星載CCD 設備的成像機理，定義了衛(wèi)星圖像的混疊度，在超分辨率處理模型中聯(lián)合估計混疊度、運動參數(shù)和高分辨率圖像。范沖等［4］通過去除低分辨率影像中由于欠采樣產(chǎn)生的頻率中心的部分低頻進行圖像配準。張智等［5］將倒易晶胞與小波結(jié)合進行復原，同樣也考慮了混疊的因素。在斜采樣的混疊去除方面，鄭鈺輝等［6］分析了斜采樣條件下混疊現(xiàn)象的產(chǎn)生機理，用最佳倒易晶胞理論求出受混疊和噪聲影響最小的頻譜來提高分辨率。高陸云等［7］利用斜模式自適應倒易晶胞的非局部正則化模型來進行圖像超分辨率重建。對于斜采樣的傾斜角度，周峰［8］在試驗的基礎上提出，探測器陣列旋轉(zhuǎn)45°并且推掃方向采樣間距減半，相對常規(guī)線陣推掃采樣，圖像的空間分辨率可以提高1.64 倍左右。但是并沒有明確斜采樣的不同傾斜角度對混疊的影響;沒有比較常規(guī)采樣與斜采樣的混疊程度大小;也沒有說明分辨率提升與混疊之間的關系。

本文從采樣理論出發(fā)，分析了斜采樣的采樣網(wǎng)格，進而明確了混疊過程，根據(jù)倒易晶胞的理論和香農(nóng)采樣定理，把圖像由空域中轉(zhuǎn)換到頻域中，計算符合分辨率最高特定混疊閾值的倒易晶胞約束，通過倒易晶胞的面積與混疊程度的關系推出衡量混疊程度的指標——混疊指數(shù)。計算傾斜角度為1°～89°的混疊指數(shù)，得到混疊隨角度變化的規(guī)律。引入空間有效分辨率，研究了傾斜角度與空間有效分辨率的關系。深入研究了斜采樣的同一傾斜角度的空間有效分辨率與混疊的關系;利用最小二乘曲線擬合了混疊與空間有效分辨率的關系曲線。明確了傾斜角度與混疊及分辨率之間的關系，從而指導實際應用以滿足特定混疊和分辨率的需求。

1 圖像采集系統(tǒng)模型及六邊形采樣網(wǎng)格

1.1 圖像采集系統(tǒng)模型

通常情況下，一般的采樣系統(tǒng)由兩部分組成:一部分是在焦平面對入射光線對焦的光學系統(tǒng);另一部分是在一定時間內(nèi)，分布在焦平面的傳感元件計算滿足確定位置的光子數(shù)。整個系統(tǒng)在采集時可能是移動的，因此圖像采樣系統(tǒng)模型可表示成如下形式:

式中:H 為設備的傳遞函數(shù)，它由多個因素決定;ΔΓ表示基于傳感器陣列幾何形狀的采樣單元，Γ為傳感器的幾何形狀;g 為采集到的圖像;f 為原始理想圖像;n 為噪聲。

H 可以看成一個低通濾波器。大體可以看作三部分效應的乘積:

式中:Hsen為傳感器在其敏感區(qū)域(如正方形)獲得的光子數(shù):

式中:c 為探元尺寸;β 為系統(tǒng)參數(shù)。

Hmov(ξ，η)為傳感器在移動過程中采集的圖像:

式中:w=(ξ，η)，v=(cosθ，sinθ)為向量，θ 為斜采樣的傾斜角度，rad;d 為每一幀運動的距離。

式中:α 為系統(tǒng)參數(shù)。

理想系統(tǒng)中α=0，β=0，較理想的系統(tǒng)α=1.9，β=0.9;常規(guī)系統(tǒng)α=0.3，β=0.14。本文使用常規(guī)系統(tǒng)的兩個參數(shù)，將式(3)～(5)代入式(2)繪制出圖像和采樣網(wǎng)格如圖1 所示(斜采樣以60°傾斜角為例)。

圖1 常規(guī)采樣和傾斜角度為60°的斜采樣的系統(tǒng)調(diào)制傳遞函數(shù)和采樣網(wǎng)格Fig.1 MTF and sampling grids of regular sampling and the MTF and sampling grids of tilting angle 60°

1.2 六邊形采樣網(wǎng)格及混疊的本質(zhì)

本文從采樣的角度分析混疊的成因，對斜采樣的采樣網(wǎng)格進行分析。斜采樣模式如圖2 所示。θ 為線陣相機推掃的方向與線陣的夾角(后文提到的傾斜角度指的均為該角度)。一般認為離散圖像是規(guī)則的采樣網(wǎng)格:

式中:{e1，e2}是?2的基。每個采樣網(wǎng)格對應的傅立葉域的對偶網(wǎng)格為:

圖2 斜采樣模式示意圖Fig.2 Sketch map of tilting mode sampling

由于斜采樣可能產(chǎn)生四邊形或六邊形的網(wǎng)格，四邊形和六邊形也是最常見的采樣網(wǎng)格:

相應的對偶網(wǎng)格為:

傳感器陣列由一些形狀和性質(zhì)相同、中心位于規(guī)則的網(wǎng)格中的探元組成。這些網(wǎng)格無重疊地覆蓋了整個圖像平面，將這個覆蓋稱泰森晶胞單元。需要說明的是:采樣間距p 的不同產(chǎn)生的采樣網(wǎng)格的幾何形狀也不同。為了對比相同條件下角度對混疊的影響，在實際的斜采樣系統(tǒng)中，令采樣間距與常規(guī)采樣相同，都等于探元尺寸的大小c，即p=c。斜采樣的采樣模式和采樣網(wǎng)格中的泰森晶胞單元如圖3 所示，其中以θ=30°為例。

繪制出斜采樣的采樣網(wǎng)格情況，相應頻域的頻譜復制情況就明確了，混疊的本質(zhì)就是頻譜在周期延拓中譜帶的疊加，可以表示為［9］:

式中:F 為帶有混疊的圖像頻譜;G 為真實的圖像頻譜;Galias為混疊頻譜;N 為噪聲的頻譜。式(8)即為帶有混疊的圖像的組成。

圖3 傾斜角度為30°的斜采樣模式及其泰森晶胞單元Fig.3 θ=30°tilting mode sampling and its voronoi cell

2 混疊的衡量及分辨率的計算

2.1 混疊指數(shù)AI

混疊度的計算參考最佳倒易晶胞中的混疊相關項，計算滿足混疊系數(shù)閾值的最佳倒易晶胞，倒易晶胞的面積與原始圖像的面積比值的大小反應了混疊程度的大小?；殳B相關項為:

式(9)表示圖像不同像素位置混疊的程度。

本文假設圖像是屬于BV 空間［10－13］，因為Ω上的有界變分函數(shù)空間定義為:

式中:u=u(x，y);TV(u)=∫Ω|?u|dxdy;?u=(ux，uy);Ω∈?2。BV 空間是一種確定性圖像模型，允許跳躍或邊的存在，適用于非紋理圖像，能夠較好地保持圖像的邊緣信息［14－15］。Almansa 假設，獲得了傅立葉衰減系數(shù)大致服從，其中p=1.6，并經(jīng)過大量的圖像實驗組證明此假設是正確的［2］。這樣根據(jù)式(9)便可求得最小混疊范圍為:

將AI 作為衡量混疊程度的指標(AI 為混疊指數(shù));DHF為原圖像矩陣的面積積分。AI 是根據(jù)混疊相關項得出的，因此AI 能說明混疊程度的大小，可以作為衡量混疊程度的指標之一。AI 越大證明混疊越大。

2.2 空間有效分辨率

遙感圖像的分辨率一般通過GSD 和名義分辨率［16］計算，但是這兩種算法沒有突出混疊程度在分辨率中的作用，因此，本文引入考慮混疊和噪聲影響的空間有效分辨率。既需考慮噪聲的影響，又考慮混疊的影響才能稱為考慮混疊的分辨率，將噪聲和混疊分別設定一定的權重參與影響分辨率。

由式(8)可知，混疊是由真實圖像、混疊頻譜、噪聲頻譜的疊加形成的。則將混疊和噪聲作為一定的權重加入空間分辨率形成有效分辨率的形式如下:

式中:權重函數(shù)可以變換為:

必須對W 做一個限定，以便對高水平的混疊和噪聲作出懲罰:

式中:W(·，b)、W(a，·)分別相對于b、a 為非增函數(shù)。

基于以上特性，構造權重函數(shù)為:

式中:(s)+=max(0，s)也就是取非負值，θalias、θnoise分別為相對混疊、相對噪聲的閾值。當a ≥θalias或b ≥θnoise時，相對混疊系數(shù)或相對噪聲系數(shù)超出規(guī)定的閾值，1－a/θalias＜0 或1－b/θnoise＜0，則W(a，b)=0(式(15))。原則上應該設定θalias≈θnoise≈1 來表示當混疊或噪聲大于真實信號的情況，此時傅立葉系數(shù)基本不含有用信息。但是，由于人類的感知系統(tǒng)能夠容忍噪聲的水平遠高于混疊水平，應設定θalias=θnoise。本文試驗中設定θalias=0.2，θnoise=5［2］。

a 可以根據(jù)式(9)求出，b 的值可根據(jù)式(17)求得:

式中:N2為頻域噪聲的方差，由于f 為未知量;n噪聲未知，則式(13)可以表示為:

進一步將式(18)化簡［2］:

由于空間分辨率一般被定義為每英尺的點數(shù)(dpi)，或每英尺的采樣行數(shù)(lpi)，是采樣密度的度量。有效分辨率(式(13))為帶權重的空間分辨率(空間分辨率權重為1)，也就是表示單位面積的點數(shù)［17］，將它開根號就表示每行(列)的點數(shù)，這樣譜的微小差異就能反映出來。再對其取倒數(shù)，表示相鄰采樣點的距離所占的比例，用該比例來表示空間有效分辨率。那么，空間有效分辨率即為有效分辨率的－1/2 次方:

本文以式(20)作為衡量有混疊情況下圖像的空間有效分辨率?？臻g有效分辨率的值越大，分辨率越低。

3 傾斜角度對混疊程度的影響分析

對于斜采樣的不同傾斜角度，考慮混疊的影響，使用本文定義的混疊指數(shù)AI 進行衡量，在求AI 之前，要對僅考慮混疊的［18］最佳倒易晶胞進行求解。

圖4 為常規(guī)采樣和傾斜角度為60°時，滿足混疊系數(shù)閾值的最佳倒易晶胞示意圖(白色部分為倒易晶胞面積)。為了研究傾斜角度對混疊的影響，必須在其他條件都一致的情況下才能比較，因此，使圖像大小均為401×401，采樣間距均為c=1，采用相同的成像系統(tǒng)，假設采樣外界條件亦相同。經(jīng)過計算，常規(guī)采樣(傾斜角度為90°)的最佳倒易晶胞為∫D*1=23 364，對每隔1°的傾斜角度的倒易晶胞進行計算，1°～89°最佳倒易晶胞的面積(a ＜0.2)如圖5 所示，每幅的大小為401×401 像素。求出倒易晶胞面積是為了求混疊指數(shù)AI 做準備，經(jīng)過計算并繪制了混疊指數(shù)AI 與傾斜角度的關系，如圖6 所示。

圖4 常規(guī)采樣和傾斜角度為60°的最佳倒易晶胞Fig.4 Optimal reciprocal cell of regular sampling and tilting mode 60°

圖5 最佳倒易晶胞面積曲線圖Fig.5 Graph of optimal reciprocal cell area

圖6 混疊指數(shù)圖Fig.6 Aliasing index graph

分析圖5 的面積曲線可知:隨著傾斜角度的增大，斜采樣的最佳倒易晶胞面積整體呈上升趨勢，在傾斜角度為40°和85°附近呈下降趨勢，并略微波動。晶胞面積的最大值位于傾斜角度為78°處，圖中橫線表示常規(guī)采樣的最佳倒易晶胞面積，將常規(guī)采樣最佳倒易晶胞面積與斜采樣倒易晶胞面積置于同一坐標系下，可以看出比常規(guī)采樣晶胞面積大的傾斜角度為58°～87°。對于傾斜角度與最佳倒易晶胞面積的曲線不能直接看出混疊與傾斜角度的關系，由于相同大小圖像的倒易晶胞面積越大，說明滿足容忍限度的混疊面積越大;又因為在頻域中，高頻部分分布在外圍，這樣面積越大說明圖像細節(jié)的保持能力越好，混疊的程度就越小。因此繪制混疊指數(shù)AI 與傾斜角度的關系(見圖6)，可以直接反映混疊與傾斜角度的關系:隨著斜采樣傾斜角度的增大，混疊程度整體呈減小趨勢(在傾斜角度為41°和82°附近略有上升趨勢波動)，混疊最小值也在傾斜角度為78°處。經(jīng)過計算，常規(guī)采樣的混疊指數(shù)為0.8574(圖6 中橫線所示)，因此，斜采樣的混疊程度比常規(guī)采樣小的傾斜角度范圍為57°～89°。也就是說在采樣間距為p=c，其他條件都相同的情況下，常規(guī)采樣要比傾斜角度為1°～56°的混疊程度小。隨著傾斜角度的變化，系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)也發(fā)生變化，控制采樣間距不變可以看出傾斜角度對混疊的影響。從混疊指標與傾斜角度關系的分析可以看出，傾斜角度為57°～89°，傾斜角度對系統(tǒng)MTF 的變化產(chǎn)生的混疊影響較常規(guī)采樣小。在設計傾斜角度時，可以參考此范圍，并改變采樣間距來達到超分辨率的目的。

4 空間有效分辨率與混疊關系分析

斜采樣成像的最終目的還是為了提高圖像的分辨率。衡量遙感圖像的分辨率的方法主要是地面采樣間距(GSD)［19］，它僅與衛(wèi)星的軌道高度和相機的光學焦距有關系，沒有考慮成像質(zhì)量及采集模式改變的影響，空間有效分辨率能考慮噪聲及混疊的影響，更精確地計算斜采樣的分辨率。

4.1 傾斜角度與空間有效分辨率的關系

噪聲模型不會引起嚴重問題，通常選擇高斯白噪聲分布N(0，σ)就足夠精確，本文在計算時加入了均值為0，方差為0.01 的高斯噪聲。為了便于對比，將空間有效分辨率歸一化表示。圖7為斜采樣傾斜角度為1°～89°的空間有效分辨率。

圖7 空間有效分辨率隨傾斜角度變化曲線Fig.7 Curve of spatial effective resolution when tilting angle various

圖7 中，空間有效分辨率的值隨著傾斜角度的增大逐漸減小。驗證了理論上的“傾斜角度增大，采樣密度增大，分辨率就隨之增大”的原理?？臻g有效分辨率最高出現(xiàn)在傾斜角度為75°處?；殳B最小角度和分辨率最高角度未出現(xiàn)在同一角度，可能是因為噪聲和混疊共同作用于分辨率使混疊最小角度與空間有效分辨率最高角度略有差異，但是角度相差3°可以認為二者基本一致。經(jīng)過計算得出，比常規(guī)采樣的分辨率高的傾斜角度為58°～87°。此范圍也與混疊指數(shù)有小于±2°的偏差，范圍基本一致?；殳B最小角度與分辨率最高角度在一定程度上為同一角度，這樣又能說明混疊與分辨率之間是有一定的關系的，它們的關系在4.2 節(jié)中進行分析。

4.2 圖像混疊與分辨率的關系

將傾斜角度固定，把混疊指數(shù)AI 值與空間有效分辨率值置于同一坐標系下，并進行曲線擬合，可以得出相同傾斜角度的混疊程度與分辨率之間的關系，如圖8 所示。

圖8 混疊指數(shù)與空間有效分辨率的關系曲線Fig.8 Relationship curve between aliasing index and spatial effective resolution

使用最小二乘法對相同傾斜角度的混疊指數(shù)AI 與空間有效分辨率繪制的離散點進行曲線擬合，得到空間有效分辨率隨混疊程度增大的關系為冪指數(shù)關系，關系表達式為:y=0.0749x40.593，相關系數(shù)為0.851，可以說明這兩者之間是高度相關的，即隨著混疊程度的增大，有效分辨率是逐漸增大的，空間有效分辨率是逐漸降低的。這與常規(guī)理解的“混疊對分辨率起到降低的影響”相統(tǒng)一。在實際的斜采樣試驗設計中，可以選擇混疊最小的角度與分辨率最高的角度基本一致的75°～78°，能夠達到混疊最小和分辨率最高的統(tǒng)一，可以減小去混疊造成的誤差，又能使分辨率達到最高。

5 結(jié) 論

(1)斜采樣的混疊程度隨著傾斜角度的增大而減小;使混疊程度比常規(guī)采樣小的傾斜角度為57°～89°;使混疊最小的傾斜角度為78°。

(2)空間有效分辨率隨著傾斜角度的增大而增大。符合“傾斜角度增大，采樣密度增大，分辨率就隨之增大”的原理。分辨率最高出現(xiàn)在傾斜角度為75°時，比常規(guī)采樣的分辨率高的傾斜角度為58°～87°。

(3)經(jīng)過最小二乘曲線擬合，得出混疊程度與分辨率之間是冪指數(shù)關系，關系式為:y =0.0749x40.593。隨著混疊程度的增大，空間有效分辨率逐漸降低，這與常規(guī)理解的“混疊對分辨率是起到降低的作用”相一致。

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