陳愛平

【關(guān)鍵詞】模型思想 課堂教學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）05A-

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數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境進(jìn)行分析，從而獲得簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)模型，形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。但在實(shí)際教學(xué)中，由于受到應(yīng)試教育的約束，教師的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)能力不足，課堂教學(xué)缺乏建模思想的滲透，導(dǎo)致數(shù)學(xué)課堂教學(xué)高耗低效。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)有教師抱怨：為什么學(xué)生當(dāng)堂反饋出來的正確率很高，但一到了測(cè)評(píng)就頻頻出錯(cuò)呢？究其原因，主要是學(xué)生的學(xué)習(xí)還只是停留在概念的表象這個(gè)層面，對(duì)數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的模型建構(gòu)缺乏深刻的理解。如何突破這一教學(xué)困境呢？筆者認(rèn)為，教師要深入鉆研教材，對(duì)教材中隱含的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行深入挖掘，一方面教給學(xué)生解決問題的技巧和方法，另一方面要加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，建構(gòu)系統(tǒng)知識(shí)，滲透數(shù)學(xué)模型思想，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

一、感性滲透，培育數(shù)學(xué)模型

認(rèn)知心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一個(gè)信息加工整理的過程，容易受到含混模糊的信息干擾。因而，在新知建構(gòu)的過程中，教師要從學(xué)生熟悉的生活情境入手，加強(qiáng)感性滲透，引導(dǎo)學(xué)生積累豐富的感性認(rèn)知，從紛繁的信息加工中經(jīng)歷概念的抽象過程，從而有效滲透數(shù)學(xué)模型思想，培育數(shù)學(xué)模型。

例如，在教學(xué)人教版二年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《平均數(shù)》時(shí)，筆者先創(chuàng)設(shè)了學(xué)生非常熟悉的場(chǎng)景：學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，有男女生分組進(jìn)行跳繩比賽，怎樣才能判斷哪一組的水平高？你用什么方法來進(jìn)行比較？由此引發(fā)思考探究。有學(xué)生提出，可以根據(jù)男女生跳繩總數(shù)的多少進(jìn)行比較;也有學(xué)生認(rèn)為，可以根據(jù)男女生跳繩次數(shù)最高的人數(shù)多少來比較。根據(jù)這些想法，學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，但問題很快就出來了：男女生兩組總成績(jī)一樣。那么如何才能判斷男女兩組水平的高低呢？經(jīng)過討論后學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這兩種方法并不能代表男女生每組成員的平均水平。要知道男女生每一組的平均水平，就要求出每組隊(duì)員的平均數(shù)。由此學(xué)生提出了計(jì)算男女兩組成績(jī)的平均數(shù)。學(xué)生有了建構(gòu)平均數(shù)的認(rèn)知需求，對(duì)平均數(shù)這一數(shù)學(xué)模型的條件也有了充分感知，為下一步建構(gòu)平均數(shù)的建模思維做好了鋪墊。

鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)本身就是對(duì)生活情境的一種抽象，而數(shù)學(xué)模型則是對(duì)生活情境進(jìn)行多次抽象之后形成的一種數(shù)學(xué)思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于小學(xué)生的思維過于感性，因而和這種抽象模型存在一段較遠(yuǎn)的距離。在以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，通過對(duì)生活情境的創(chuàng)設(shè)，教師逐步縮短了形象思維和模型思想之間的距離，讓學(xué)生能夠在含糊的信息資源中，提取有用的數(shù)學(xué)資料進(jìn)行加工，從中抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)模型，從而有效提升課堂教學(xué)的效率，發(fā)展學(xué)生的思維。

二、自主探究，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)建構(gòu)

新課標(biāo)明確指出，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主探究，發(fā)揮學(xué)生的主體地位。根據(jù)這一要求，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以采用開放式的教學(xué)模式，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用猜想驗(yàn)證等數(shù)學(xué)思想，搭建數(shù)學(xué)模型思想的橋梁，將課堂還給學(xué)生，依靠學(xué)生的自主探索，幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

例如，在教學(xué)人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《圓的面積計(jì)算》時(shí)，根據(jù)學(xué)情調(diào)查，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等多種平面圖形的面積計(jì)算推導(dǎo)公式，也積累了猜想、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。此時(shí)筆者讓學(xué)生反思平行四邊形的面積推導(dǎo)過程，并設(shè)置問題：想一想，圓的面積計(jì)算可能會(huì)和我們學(xué)過的哪一個(gè)平面圖形有關(guān)？學(xué)生立刻進(jìn)行了猜想，有的認(rèn)為會(huì)與長(zhǎng)方形的面積有關(guān)，也有的認(rèn)為會(huì)與三角形的面積有關(guān)，還有的認(rèn)為會(huì)與平行四邊形的面積有關(guān)。根據(jù)猜想，學(xué)生展開探究，通過折、剪、拼等操作，發(fā)現(xiàn)把圓等分成若干份，就能夠得到一個(gè)近似的長(zhǎng)方形。這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓的半徑，由此推導(dǎo)出圓的面積=長(zhǎng)×寬=πr2。

通過這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生化圓為方，既能夠鞏固學(xué)過的長(zhǎng)方形、平行四邊形的面積公式及推導(dǎo)，又能夠運(yùn)用轉(zhuǎn)化、猜想的數(shù)學(xué)思想展開探究，系統(tǒng)地建構(gòu)面積推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

三、思維拓展，促進(jìn)模型生成

小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的滲透，其目的是要讓學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而構(gòu)建思維模式，有效解決數(shù)學(xué)問題。教學(xué)中，教師要借助思維拓展，最終揭示抽象的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生從表象的積累躍進(jìn)到抽象模型的生成，完成模型思維的建構(gòu)。

例如，在教學(xué)人教版四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《平行與相交》時(shí)，筆者進(jìn)行了兩個(gè)層次的思維拓展，讓學(xué)生深刻理解平行的模型思想。層次一，出示生活中平行的例子，火車鐵軌、窗戶、柜子、門等，這些例子可以讓學(xué)生形象感知平行，積累豐富的表象，但僅僅是表象而已，并不能讓學(xué)生建構(gòu)平行線的數(shù)學(xué)模型，因而也就沒有建模思想的滲透。層次二，讓學(xué)生思考：如何使兩條鐵軌保持平行？怎樣使兩條直線永不相交？學(xué)生經(jīng)過探究，認(rèn)為可以在兩條平行線間做垂線段。經(jīng)過測(cè)量，學(xué)生發(fā)現(xiàn)垂線段的長(zhǎng)度相等，由此得到結(jié)論“同一平面內(nèi)兩條直線間的距離相等”。在這一數(shù)學(xué)本質(zhì)的引導(dǎo)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種，一是平行，二是相交。

在以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生對(duì)平行的理解經(jīng)歷了形象直觀到抽象概括的過程，在豐富的表象積累中初步建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型，然后通過歸納、操作等思維拓展活動(dòng)，完成了平行線這一數(shù)學(xué)模型的抽象建構(gòu)。

又如在教學(xué)人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《圓柱體體積》時(shí)，為了讓學(xué)生建構(gòu)體積公式的模型，筆者注重了兩個(gè)層次的思維拓展：一是滲透轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件;二是滲透極限思想。通過這兩個(gè)層次的思想拓展，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思維，體會(huì)數(shù)學(xué)模型的根本價(jià)值所在。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，通過對(duì)學(xué)生思維的拓展，學(xué)生不但能夠豐富數(shù)學(xué)模型，而且能夠運(yùn)用建模思維分析數(shù)學(xué)問題，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，這是教師應(yīng)嘗試的有效途徑。

四、加強(qiáng)實(shí)踐，提升建模思維

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，教學(xué)過程就是通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，是一個(gè)抽象概括的過程，需要不斷實(shí)踐強(qiáng)化，才能內(nèi)化提升。因而，教師要加強(qiáng)實(shí)踐，讓學(xué)生充分參與建模活動(dòng)，運(yùn)用建模思想解決實(shí)際問題，提升建模思維。

例如，在教學(xué)人教版三年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《長(zhǎng)方形、正方形面積》時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生運(yùn)用面積模型解決實(shí)際問題：（1）小明家買了一套商品房，請(qǐng)你幫助小明一起計(jì)算這套房子各部分的面積。（2）如果要在客廳內(nèi)鋪一塊正方形地板，最大能鋪多少面積？（3）要在餐廳內(nèi)刷漆，最多能刷多少平方米？（4）如果要在餐廳四周墻壁上貼裝飾條，需要多少米？

學(xué)生運(yùn)用長(zhǎng)方形和正方形的面積模型，找到問題解決的策略：第（1）題只需要根據(jù)長(zhǎng)方形面積和正方形面積公式，即可算出結(jié)果;第（2）題則難度加大了，要讓學(xué)生在原有面積模型的基礎(chǔ)上，建構(gòu)新的面積模型——在長(zhǎng)方形中得到一個(gè)最大的正方形;第（3）題要讓學(xué)生建構(gòu)新的實(shí)用型面積模型，因?yàn)樵谒⑵岬臅r(shí)候，必須要去掉地板的面積，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用面積模型的能力。

以上教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際，熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，解決現(xiàn)實(shí)問題，讓數(shù)學(xué)建模思維內(nèi)化為數(shù)學(xué)技能，有效提升了數(shù)學(xué)課堂的思維含量。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，建模思想的滲透是一個(gè)不可忽視的環(huán)節(jié)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有十分重要的作用。教師要加強(qiáng)引導(dǎo)，幫助學(xué)生積累豐富的表象，培育建模思維。另外還要設(shè)置認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，讓學(xué)生展開自主實(shí)踐，建構(gòu)系統(tǒng)思維，將數(shù)學(xué)思想抽象出來。最后要幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)模思想，將其運(yùn)用在現(xiàn)實(shí)生活中，解決生活中的數(shù)學(xué)問題。這將有助于發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的能力，使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維，而這也正是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)所在。

（責(zé)編 林 劍）