孫衛(wèi)衛(wèi)

（青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東 青島 266106）

0 引 言

通過(guò)利用實(shí)對(duì)稱矩陣的一些特性可以有效地解決一般的二次曲面［1－3］方程圖形的推斷與二元以上多元函數(shù)極值［1－3］的求解問(wèn)題。現(xiàn)在就從上述兩個(gè)角度來(lái)闡述實(shí)對(duì)稱矩陣的具體應(yīng)用。

1 一般的二次曲面方程的圖形推斷

對(duì)于一些簡(jiǎn)單的二次曲面方程很容易推斷其形狀，而對(duì)于復(fù)雜的二次曲面方程推斷其形狀是比較困難的，例如z＝xy。而實(shí)對(duì)稱矩陣［4－5］的加入，使得這個(gè)問(wèn)題的解決變的容易許多，以下給出實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)一般的二次曲面方程圖形推斷的具體方法。

二次曲面的一般方程［6］

其中，aij，bi，c為實(shí)數(shù)（i，j＝1，2，3）。

設(shè)：

二次曲面可表示為：

由于A為實(shí)對(duì)稱矩陣，因此存在正交的矩陣P，有：

其中，λ1，λ2，λ3為特征值。

由正交變換X＝PY可得：

令（d1，d2，d3）＝BTP，整理得：

又因?yàn)檎蛔儞Q具有保持向量?jī)?nèi)積和長(zhǎng)度不變的性質(zhì)［4－5］，因此可得如下定理：

定理1 方程（1）所表示的曲面形狀與方程（2）所表示的曲面形狀相同。

定理1正是運(yùn)用了實(shí)對(duì)稱矩陣在正交矩陣的作用下可以對(duì)角化的性質(zhì)而得到的，所以，如果遇到非標(biāo)準(zhǔn)形式下的二次曲面方程，也可以通過(guò)這一性質(zhì)將其化簡(jiǎn)，從而推斷其圖形。下面通過(guò)具體例題來(lái)實(shí)現(xiàn)實(shí)對(duì)稱矩陣的具體運(yùn)用。

例1：推斷下列方程表示怎樣的圖形：

解：得實(shí)對(duì)稱矩陣：

存在：

有：

又：

因此式（3）表示橢球面。

2 多元函數(shù)極值的求法

二元函數(shù)z＝f（x，y）在（x0，y0）的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有一階、二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，又

令

則有：

1）AC－B2＞0，（x0，y0）是極值點(diǎn)，A＞0是極小值點(diǎn)，A＜0是極大值點(diǎn)；

2）AC－B2＜0，（x0，y0）不是極值點(diǎn)；

3）AC－B2＝0，無(wú)法判定。

設(shè)矩陣

又

1）D正定，（x0，y0）是極小值點(diǎn)；

2）D負(fù)定，（x0，y0）是極大值點(diǎn)；

3）D不定，（x0，y0）不是極值點(diǎn)（這一結(jié)論也可由泰勒公式進(jìn)行證明，詳見(jiàn)文獻(xiàn)［2－3］）。

將這一結(jié)論進(jìn)行推廣：

設(shè)：u＝f（P）＝f（x1，x2，…，xn），u＝f（x1，x2，…，xn）在P0（x10，x20，…，xn0）某鄰域內(nèi)連續(xù)，并具有一階、二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，又有，由于，2，…，n），因此引入實(shí)對(duì)稱矩陣：

則有結(jié)論2：

1）D正定，（x0，y0）是極小值點(diǎn)；

2）D負(fù)定，（x0，y0）是極大值點(diǎn)；

3）D不定，（x0，y0）不是極值點(diǎn)（這一結(jié)論也可由多元函數(shù)的泰勒公式進(jìn)行證明，詳見(jiàn)文獻(xiàn)［7］）。

將結(jié)論2運(yùn)用到三元函數(shù)，并根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性與順序主子式的關(guān)系可得如下定理：

定理2 三元函數(shù)u＝f（x，y，z）在（x0，y0，z0）的某鄰域內(nèi)連續(xù)并具有一階、二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且fx（x0，y0）＝fy（x0，y0）＝fz（x0，y0）＝0，又二階混合偏導(dǎo)相等，引入實(shí)對(duì)稱矩陣：

則有如下結(jié)論：

1）｜D｜＞0

（x0，y0，z0）為極小值點(diǎn)；

2）｜D｜＜0

（x0，y0，z0）為極大值點(diǎn)；

3）｜D｜＝0，無(wú)法判定；

4）不屬于上述3種情況，則不是極值點(diǎn)。

定理2正是運(yùn)用了實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性的判別方法而得到的，所以，如果三元函數(shù)的極值點(diǎn)的判定都可以根據(jù)｜D｜的順序主子式來(lái)進(jìn)行準(zhǔn)確的分析。

下面通過(guò)具體例題來(lái)實(shí)現(xiàn)這一具體應(yīng)用。

例2：求f（x，y，z）＝e2x（x＋y2＋2y）＋z3－3z極值。

解：求一階偏導(dǎo)得：

又

由定理2知，它是極小值點(diǎn)。

由定理2知，它不是極值點(diǎn)。

通過(guò)以上兩方面應(yīng)用，將實(shí)對(duì)稱矩陣抽象的特性進(jìn)行了運(yùn)用，更加體現(xiàn)了它的實(shí)用價(jià)值。

［1］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）［M］.6版.北京：高等教育出版社，2007.

［2］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010.

［3］ 徐森林.數(shù)學(xué)分析（第三冊(cè)）［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2007.

［4］ 吳贛昌.線性代數(shù)（理工類(lèi)）［M］.4版.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011.

［5］ 黃益生.高等代數(shù)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2014.

［6］ 楊文茂.空間解析幾何［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2004.

［7］ 紀(jì)躍芝.用矩陣的正定性判定多元函數(shù)的極值［J］.吉林工學(xué)院學(xué)報(bào)，1995，16（4）：71－75.