周忠寶，劉 佩，喻懷寧，馬超群，劉文斌,2

(1. 湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE)

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考慮交易成本的多階段投資組合評(píng)價(jià)方法研究

周忠寶1，劉 佩1，喻懷寧1，馬超群1，劉文斌1,2

(1. 湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE)

多階段投資組合評(píng)價(jià)是目前研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，本文將交易成本考慮進(jìn)去，構(gòu)建了考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化模型，基于真實(shí)前沿面定義了投資組合的效率并構(gòu)建了相應(yīng)的非線性模型進(jìn)行計(jì)算。針對(duì)非線性模型難以求解及真實(shí)前沿面解析解難以獲得等問(wèn)題，本文證明了前沿面函數(shù)為凹函數(shù)，進(jìn)而利用DEA模型的前沿面來(lái)逼近真實(shí)前沿面并估計(jì)多階段投資組合的效率，最后通過(guò)仿真分析驗(yàn)證了本文方法的有效性。

多階段投資組合；交易成本；績(jī)效評(píng)價(jià)；數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

1 引言

證券投資組合的主要任務(wù)是進(jìn)行有效的資產(chǎn)配置，從而實(shí)現(xiàn)最大化收益、最小化風(fēng)險(xiǎn)的投資目標(biāo)。1952年，Markowitz首次采用收益率的方差度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，并建立了均值-方差優(yōu)化模型[1]，為投資組合理論的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。Markowitz投資組合理論表明，投資者在進(jìn)行證券投資時(shí)可以根據(jù)收益和風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行權(quán)衡選擇，即在期望收益相同的情況下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的投資組合，在投資風(fēng)險(xiǎn)相同的情況下，選擇期望收益較高的投資組合。

在實(shí)際金融市場(chǎng)活動(dòng)中，投資者需要根據(jù)投資環(huán)境的變化適時(shí)地調(diào)整投資組合頭寸。因此，許多學(xué)者將Markowitz均值-方差模型擴(kuò)展到多階段的情形[2-4]。Li Duan和Ng[5]推導(dǎo)出了多階段均值-方差模型的解析最優(yōu)解。宿潔和劉家壯[6]將多階段投資組合優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為線性動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。Sun Jun[7]等學(xué)者提出運(yùn)用漂移粒子群算法來(lái)求解多階段投資組合優(yōu)化問(wèn)題，并將該算法與粒子群優(yōu)化算法和遺傳算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明漂移粒子群算法優(yōu)于其他幾種算法。Liu Yongjun等[8]學(xué)者研究了模糊多階段投資組合優(yōu)化問(wèn)題，并運(yùn)用模糊決策理論和多目標(biāo)規(guī)劃方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃，用一種改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法來(lái)對(duì)模型進(jìn)行求解。

上述多階段研究中并未考慮交易成本這一重要的市場(chǎng)摩擦因素，Kamin[9]將交易成本引入動(dòng)態(tài)投資組合優(yōu)化模型中，并說(shuō)明投資者的投資行為在有無(wú)交易成本的情形下完全不同。Yi Lan[10]通過(guò)引入一組輔助鞅，將考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化問(wèn)題與無(wú)交易成本的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了對(duì)比分析。Zhang Weiguo等[11]學(xué)者在考慮投資回報(bào)、風(fēng)險(xiǎn)、交易成本和投資組合的多元化程度等指標(biāo)的情況下，構(gòu)建了可能性均值-半方差-熵的多階段投資組合模型，并通過(guò)混合智能算法獲得最優(yōu)投資策略。Wang Zhen和Liu Sanyang[12]研究了考慮固定比例交易成本的多階段均值-方差投資組合優(yōu)化問(wèn)題，并通過(guò)引入拉格朗日乘子和定義間接效用函數(shù)來(lái)解決投資組合優(yōu)化問(wèn)題。上述多階段投資組合優(yōu)化模型雖然考慮了交易成本，但是，模型的推導(dǎo)過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，計(jì)算量也非常大，在實(shí)際應(yīng)用中有一定的難度。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(Data Envelopment Analysis, DEA)[13-14]作為一種經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的效率評(píng)價(jià)方法，近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于投資組合評(píng)價(jià)問(wèn)題。然而現(xiàn)有研究普遍將交易成本作為一個(gè)輸入指標(biāo)，直接構(gòu)建DEA模型進(jìn)行分析，缺乏理論依據(jù)和說(shuō)服力，而且研究也僅以單階段投資組合評(píng)價(jià)問(wèn)題為主，較少考慮投資組合的多階段動(dòng)態(tài)特征。

考慮投資組合交易成本和多階段動(dòng)態(tài)特征進(jìn)行評(píng)價(jià)，能夠更準(zhǔn)確地比較投資組合的優(yōu)劣，這不僅可以為投資者提供決策參考意見(jiàn)，而且可以為管理者提供投資組合優(yōu)化改進(jìn)方向。本文首先建立了考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化模型，基于真實(shí)前沿面定義了多階段投資組合的效率和非線性效率評(píng)價(jià)模型。考慮到真實(shí)前沿面的解析解難以獲得，非線性模型的求解也非常困難，本文在證明了優(yōu)化模型的前沿面為凹函數(shù)的基礎(chǔ)上，用DEA前沿面來(lái)逼近真實(shí)前沿面，進(jìn)而用DEA效率來(lái)估計(jì)真實(shí)效率。仿真分析的結(jié)果表明，在考慮交易成本的情況下，DEA模型可以較好地估計(jì)多階段投資組合的效率。

2 考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化和評(píng)價(jià)模型

2.1 考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化模型

對(duì)投資者而言，他們最關(guān)心的莫過(guò)于證券投資的收益回報(bào)率。然而，投資者進(jìn)行證券交易時(shí)所需繳納的委托費(fèi)、印花稅、傭金和過(guò)戶(hù)費(fèi)等是其證券投資過(guò)程中必不可少的支出，本文將證券交易過(guò)程中發(fā)生的這些費(fèi)用統(tǒng)稱(chēng)為交易成本。事實(shí)上，偏高的交易成本對(duì)投資者的收益具有嚴(yán)重的侵蝕作用，尤其是當(dāng)初始資金量較少時(shí)，資金的分散化投資可能導(dǎo)致偏高的交易成本。因此，交易成本是投資者進(jìn)行決策時(shí)不容忽視的一個(gè)重要因素。

本文以Calafiore[15]提出的Open-loop多階段投資組合優(yōu)化問(wèn)題為基礎(chǔ)。Open-loop控制策略也叫無(wú)反饋控制策略(Non-feedback control)，它假定投資者在投資期初就計(jì)算和固定了整個(gè)投資過(guò)程中各階段的最優(yōu)投資策略，其特點(diǎn)是計(jì)算輸入系統(tǒng)時(shí)只使用系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，而不使用反饋來(lái)確定輸出是否達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。根據(jù)Calafiore的研究，本文假定投資策略為確定型變量，采用Open-loop控制策略來(lái)尋求多階段投資組合優(yōu)化模型在平均意義下的最優(yōu)解。

maxE(RT)

(1)

需要特別說(shuō)明的是，模型(1)并沒(méi)有限定收益測(cè)度和風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的具體形式，從而使得其更具有一般性，如果收益測(cè)度為最終財(cái)富的期望、風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度為最終財(cái)富的方差，則對(duì)應(yīng)于常用的均值-方差模型。

類(lèi)似地，可以建立在給定收益水平下，最小化風(fēng)險(xiǎn)的優(yōu)化模型，進(jìn)而采用文中的思路構(gòu)建相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)向的評(píng)價(jià)模型，限于篇幅，不再贅述。

本文假定交易成本是一次性產(chǎn)生的，且不具有時(shí)間價(jià)值，接下來(lái)主要考慮三種常見(jiàn)的凸交易成本，即線性交易成本、V型交易成本和分段線性凸交易成本這三種情形：

分段線性凸交易成本假設(shè)第i種資產(chǎn)的交易成本是交易額的分段線性函數(shù)，且為凸函數(shù)。K段線性凸交易成本可表示為：

kj≥0,j=1,…,K-1

2.2 考慮交易成本的多階段投資組合效率的定義

根據(jù)優(yōu)化模型(1)，可以得到第T階段末最終收益-風(fēng)險(xiǎn)前沿面，根據(jù)經(jīng)典經(jīng)濟(jì)學(xué)中技術(shù)效率的定義，可以將待評(píng)價(jià)投資組合投影到該前沿面上，進(jìn)而根據(jù)投資組合與投影點(diǎn)的距離來(lái)評(píng)價(jià)投資組合的效率。在圖1中，橫坐標(biāo)為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，縱坐標(biāo)為收益測(cè)度，曲線AB為Open-loop多階段投資組合優(yōu)化模型的前沿面，P表示某一待評(píng)價(jià)的投資組合。

圖1 多階段投資組合的效率

根據(jù)上面的討論，我們可以基于多階段投資組合真實(shí)前沿面來(lái)定義兩種類(lèi)型的效率：

定義1：多階段投資組合的效率

2.3 考慮交易成本的多階段投資組合評(píng)價(jià)模型

根據(jù)優(yōu)化模型(1)，可以建立收益導(dǎo)向下的多階段投資組合效率評(píng)價(jià)模型：

maxφ

(2)

投資組合效率的計(jì)算依賴(lài)于投資組合優(yōu)化模型(1)的前沿面，然而，前沿面的解析解難以獲得。此外，模型(2)是隨機(jī)非線性規(guī)劃模型，求解異常困難。鑒于此，本文接下來(lái)將證明投資組合優(yōu)化模型(1)的前沿面為凹函數(shù)，以此為基礎(chǔ)，用DEA前沿面來(lái)逼近真實(shí)前沿面，進(jìn)而用DEA模型來(lái)估計(jì)投資組合的效率。

3 考慮交易成本的多階段投資組合DEA評(píng)價(jià)方法

3.1 考慮交易成本的多階段投資組合前沿面的凹性

在模型(1)中，et是定義在概率空間(Ω,F,P)上的實(shí)值隨機(jī)向量，表示資產(chǎn)在第t階段的收益率。xt為決策變量，表示資產(chǎn)在第t階段的投資比例，其構(gòu)成的集合Π為決策空間。由最終財(cái)富的產(chǎn)生過(guò)程可知，隨機(jī)向量泛函RT是關(guān)于xt和et的函數(shù)。在Open-loop投資組合優(yōu)化模型(1)中，隨機(jī)向量泛函RT的隨機(jī)性只與收益率et有關(guān)。一般假定et為連續(xù)型隨機(jī)變量，根據(jù)決策空間Π的凸性可知，從而可以假定隨機(jī)向量泛函RT為連續(xù)型隨機(jī)變量，且RT能取遍實(shí)數(shù)軸某段區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)點(diǎn)，即RT構(gòu)成的集合為凸集。

定義2： 風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度與收益測(cè)度的凸凹性

成立，則稱(chēng)Var為定義在Θ上的凸風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。如果有：

定理1：當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度Var(RT)為定義在Θ→R上實(shí)值可測(cè)的凸函數(shù)，收益測(cè)度E(RT)為定義在Θ→R上實(shí)值可測(cè)的凹函數(shù)，且隨機(jī)向量泛函RT構(gòu)成的集合Θ為凸集，則模型(1)所確定的前沿面是凹函數(shù)。

根據(jù)凹函數(shù)的定義可知f(v)是凹函數(shù)，即模型(1)確定的前沿面是凹函數(shù)。

3.2 考慮交易成本的多階段投資組合DEA評(píng)價(jià)模型

上一小節(jié)證明了考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化模型(1)的前沿面為凹函數(shù)，根據(jù)Banker等[14]的逼近性原理，當(dāng)前沿面為凹函數(shù)(生產(chǎn)可能集為凸集)時(shí)，隨著樣本量的增加，DEA模型的前沿面將逐漸逼近真實(shí)的前沿面。基于此，我們可以構(gòu)建相應(yīng)的DEA模型來(lái)評(píng)價(jià)考慮交易成本的多階段投資組合的效率。

考慮交易成本的多階段投資組合效率評(píng)價(jià)DEA模型(收益導(dǎo)向)可以表示為：

maxφj0

(3)

4 仿真分析

本文仿真分析將采用LiDuan和Ng[5]的數(shù)據(jù)，假定投資期間T=2，初始財(cái)富R0=1，并假設(shè)證券市場(chǎng)上有三種資產(chǎn)，資產(chǎn)在各階段的統(tǒng)計(jì)特性如下：

E(et)=[1.162,1.246,1.228]，t=1,2

在接下來(lái)的仿真分析中，我們以最終財(cái)富的期望為收益測(cè)度，以最終財(cái)富的方差為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。

當(dāng)交易成本為線性交易成本時(shí)，資產(chǎn)是不允許賣(mài)空的。假定買(mǎi)入時(shí)交易費(fèi)率為1%，即：

kt=[0.01, 0.01, 0.01]，t=1,2

當(dāng)交易成本為V型交易成本時(shí)，資產(chǎn)是允許賣(mài)空的，同樣假定資產(chǎn)買(mǎi)賣(mài)時(shí)交易費(fèi)率為1%，即：

當(dāng)交易成本為分段線性凸交易成本時(shí)，資產(chǎn)是不允許賣(mài)空的。假設(shè)交易成本分為兩段，交易費(fèi)率分別為：

圖2-圖4給出了不同類(lèi)型交易成本下，不同樣本量DEA前沿面的比較圖。由圖可知，當(dāng)投資組合樣本量逐漸增大時(shí)，DEA前沿面越來(lái)越靠近于真實(shí)前沿面。且樣本量為5000時(shí)的DEA前沿面與樣本量為2000時(shí)的DEA前沿面幾乎重合。因此，根據(jù)Banker等[14]學(xué)者的逼近性原理，我們可以用樣本量為5000時(shí)的DEA前沿面來(lái)近似地作為真實(shí)前沿面。

圖2 線性交易成本下的前沿面比較

圖3 V型交易成本下的前沿面比較

圖4 分段線性凸交易成本下的前沿面比較

以樣本量5000時(shí)的DEA前沿面作為近似前沿面，分別將100、200和500組投資組合作為待評(píng)價(jià)的決策單元，投影到該近似前沿面上，進(jìn)而根據(jù)定義1計(jì)算投資組合的效率。然后直接利用DEA模型(3)計(jì)算100、200和500組投資組合的效率。兩種方法計(jì)算出來(lái)的效率的相關(guān)系數(shù)和效率排名的相關(guān)系數(shù)如表1-表3所示。

表1 線性交易成本下的相關(guān)性分析(收益導(dǎo)向)

表2 V型交易成本下的相關(guān)性分析(收益導(dǎo)向)

表3 分段線性凸交易成本下的相關(guān)性分析(收益導(dǎo)向)

由表1-表3可知，基于近似前沿面計(jì)算的效率與DEA模型估計(jì)的效率之間的相關(guān)系數(shù)均在0.9以上，且效率排名的相關(guān)系數(shù)也比較高，表明采用DEA模型評(píng)價(jià)考慮交易成本的多階段投資組合的效率是可行的。

經(jīng)過(guò)多次仿真分析，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于線性交易成本、V型交易成本和分段線性凸交易成本，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，基于數(shù)據(jù)的DEA前沿面的變動(dòng)幅度越來(lái)越小，幾乎重疊。且樣本量越大，所形成的投資組合可能集越大。另外，基于數(shù)據(jù)的DEA模型計(jì)算的效率與依據(jù)多階段投資組合效率定義所計(jì)算的效率有很高的相關(guān)性。這都表明DEA模型可以較好地估計(jì)考慮交易成本的多階段投資組合的效率。

5 結(jié)語(yǔ)

本文假定投資策略為確定型變量，通過(guò)累積財(cái)富將各階段聯(lián)系起來(lái)，建立了最大化最終收益和最小化風(fēng)險(xiǎn)的Open-loop多階段投資組合優(yōu)化模型?；趦?yōu)化模型的真實(shí)前沿面，給出了多階段投資組合在收益導(dǎo)向和風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)向下效率的具體定義，并構(gòu)建了不同導(dǎo)向下的多階段投資組合效率評(píng)價(jià)模型?？紤]到真實(shí)前沿面的解析解難以獲取，效率評(píng)價(jià)模型的隨機(jī)非線性特征等實(shí)際應(yīng)用中的問(wèn)題，本文證明了優(yōu)化模型的前沿面為凹函數(shù)，以此為基礎(chǔ)用DEA前沿面來(lái)逼近真實(shí)前沿面，構(gòu)建了收益導(dǎo)向和風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)向的DEA模型來(lái)評(píng)價(jià)考慮交易成本的多階段投資組合的效率。由于DEA模型是線性規(guī)劃模型，因而可以大大降低求解的復(fù)雜度。仿真分析的結(jié)果表明，DEA模型可以較好地估計(jì)考慮交易成本的多階段投資組合的效率，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

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Performance Evaluation of Multi-period Portfolios on Considering Transaction Costs

ZHOU Zhong-bao1，LIU Pei1,YU Huai-ning1,MA Chao-qun1,LIU Wen-bin2,1

(1. School of Business Administration, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE, England)

Multi-period portfolio evaluation is a hot topic in financial studies. By taking transaction costs into consideration, a multi-period portfolio optimization model is proposed. Based on the real frontier, the definition of multi-period portfolio efficiency and the corresponding nonlinear model are constructed. Due to the lack of analytical solutions of frontier and difficulties in solving the nonlinear model, it is proved that the true portfolio frontier is concave, and then DEA model is used to approximate the frontier and estimate the efficiencies of multi-period portfolios with transaction costs. The validity of the proposed method is illustrated by simulation in the end.

multi-period portfolios; transaction costs; performance evaluation; data envelopment analysis

1003-207(2015)05-0001-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.05.001

2014-03-19；

2014-09-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71371067，71431008);國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(12CGL023)

周忠寶(1977-)，男(漢族)，山東齊河人，湖南大學(xué)工商管理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理、系統(tǒng)優(yōu)化與決策.

F830.59

A