張繼紅,鄭俊生

(1.大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.大連東軟信息學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)，遼寧 大連 116023)

多元再生核徑向基函數(shù)研究

張繼紅1,鄭俊生2

(1.大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.大連東軟信息學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)，遼寧 大連 116023)

通過(guò)研究多元再生核函數(shù)插值，發(fā)現(xiàn)再生核函數(shù)是一個(gè)徑向基函數(shù)，在對(duì)再生核函數(shù)進(jìn)行多元插值的時(shí)候，可以直接進(jìn)行徑向基插值，而不必像以往一樣只能進(jìn)行張量積展開(kāi). 徑向基插值方法簡(jiǎn)單，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，計(jì)算精度高. 通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，直接進(jìn)行插值比張量積精度要高，同時(shí)在與其他多元函數(shù)插值進(jìn)行比較后，獲得了理想的結(jié)果.

再生核；徑向基；多元插值

0 引言

由于再生核空間在數(shù)值計(jì)算方面的優(yōu)點(diǎn)，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.1970年 Larkin給出了具有再生核的Hilbert函數(shù)空間的最佳逼近規(guī)則. 1974年，Chawla給出了具有再生核的Hilbert函數(shù)空間中具有多項(xiàng)式精度的最佳逼近規(guī)則. 1986 年，崔明根首次給出了一個(gè)再生核空間，證明了這個(gè)空間是具有再生核的Hilbert空間，同時(shí)給出了再生核的表達(dá)式[1- 2]，這開(kāi)創(chuàng)了國(guó)內(nèi)再生核領(lǐng)域的研究. 吳勃英[3- 4]等人將再生核應(yīng)用于求解偏微分方程、熱傳導(dǎo)方程、中立型常延遲微分方程，建立了一個(gè)有再生核函數(shù)的Hilbert空間，提出一種易于計(jì)算的求再生核的卷積方法，避免了以往為了求再生核必須解高階微分方程的困難，得到了再生核的許多良好的計(jì)算性質(zhì).

徑向基函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，是多元函數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究及應(yīng)用的一個(gè)重要工具.大量的實(shí)際問(wèn)題都可以歸結(jié)為多元函數(shù)問(wèn)題，并最終通過(guò)徑向基函數(shù)插值法解決.在近代數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、信息技術(shù)、圖像處理、地球物理學(xué)，測(cè)繪學(xué)中也大量涉及到徑向基相關(guān)理論的知識(shí)，是實(shí)現(xiàn)散亂的數(shù)據(jù)處理和分析的一種有效工具，在工程計(jì)算中具有重要的實(shí)際意義.本文給出一種再生核徑向基函數(shù)，并且就二元問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，取得了比較好的結(jié)果，并且與雙三次樣條函數(shù)及MQ函數(shù)進(jìn)行了對(duì)比.

1 再生核徑向基函數(shù)

1.1 徑向基函數(shù)及其插值

任意一個(gè)滿(mǎn)足Φ(x)=Φ(‖x‖)特性的函數(shù)Φ都叫做徑向量函數(shù).

常用的徑向基函數(shù)有：

(1)Kriging方法的Gauss分布函數(shù)：φ(r)=e-c2r2；

(3)Duchon的薄板樣條：φ(r)=r2klogr,φ(r)=r2k+1.

徑向基函數(shù)插值法是逼近理論中的一個(gè)有利的工具，它最初是散亂數(shù)據(jù)插值的一種方法，具有計(jì)算格式簡(jiǎn)單、節(jié)點(diǎn)配置靈活、計(jì)算工作量小、精度相對(duì)較高等優(yōu)點(diǎn)，越來(lái)越引起人們的關(guān)注，應(yīng)用不斷拓展.

R.Franke[5]在其評(píng)論文章中指出：就精度，穩(wěn)定性，有效性，內(nèi)存需要和易于實(shí)現(xiàn)而言，MQ在所有的散亂數(shù)據(jù)插值格式中首屈一指.

(1)

滿(mǎn)足S(xj)=fj,j=1,2,…,m.

記fT=(f1,f2,…,fm)

φT(x)=(φ(‖x-x1‖),φ(‖x-x2‖),…,φ(‖x-x3‖))aT=(a1,a2,…am)

A=(φ(‖xj-xk‖)m×m

如果A非奇，那么式(1)可寫(xiě)成

(2)

1.2 再生核函數(shù)定義

定義 設(shè)H是Hilbert函數(shù)空間，其元素是某個(gè)抽象集合B上的實(shí)值或復(fù)值函數(shù).

內(nèi)積定義如下：

若對(duì)任何s∈B，存在一個(gè)K(t,s)作為t的函數(shù)是H中的元素，而且對(duì)任何s∈B及f∈H有：

稱(chēng)K(t,s)是Hilbert函數(shù)空間H的再生核，H是再生核空間.

記Hn(R)={u(x)|u(n-1)為R上的絕對(duì)連續(xù)實(shí)函數(shù)}，其中u,u′,…,u(n)∈L2(R),n為正整數(shù).

定義內(nèi)積

(3)

范數(shù)

(4)

可以證明Hn(R)為再生核空間，Kn(x-y)為其再生核，其中

1.3 再生核徑向基函數(shù)

2 多元再生核插值

2.1 均勻格子點(diǎn)插值

下面研究一下再生核徑向基函數(shù)Kn(x)的多元插值問(wèn)題：選取Franke曲面作為研究對(duì)象,首先在格子點(diǎn)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，{x,y}∈[0,1]×[0,1].圖1給出了Franke曲面以及用雙三次樣條插值所得的誤差圖；圖2給出了均勻格子點(diǎn)h=0.05,h1=0.01時(shí)(h,h1分別為x,y方向步長(zhǎng)),用再生核K1(x)張量積形式二元插值以及直接用再生核做二元徑向基插值所得的誤差圖，圖3給出了均勻格子點(diǎn)h=0.05,h1=0.01時(shí),用再生核K3(x)張量積形式以及直接二元插值所得的誤差圖，圖4給出了選取不同形狀參數(shù)c對(duì)應(yīng)的MQ徑向基二元插值所得的誤差圖.

由圖2、圖3我們可以看出,K1(x)直接用再生核做二元徑向基插值的絕對(duì)誤差最大值為9×10-3，張量積形式誤差為0.02；K3(x)直接用再生核做二元插值的絕對(duì)誤差最大值為1.5×10-4，張量積形式誤差為0.02；也就是說(shuō)用再生核直接做二元插值，比用再生核函數(shù)張量積形式誤差要小. 圖1中，雙三次樣條絕對(duì)誤差為8×10-4，經(jīng)過(guò)對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)K1(x)誤差沒(méi)有雙三次樣條誤差效果好，而K3(x)做二元徑向基插值要比雙三次樣條插值效果好. 由圖4我們注意到MQ徑向基插值的誤差跟形狀參數(shù)的選取有很大關(guān)系，當(dāng)形參c=0.1時(shí)，誤差為8×10-4；當(dāng)c=1時(shí)，誤差為0.025；形參選擇得好，則誤差比較小,選擇不好,效果就會(huì)很差,這直接導(dǎo)致使用上的不便.

(a)Franke曲面 (b)誤差圖

圖1 Franke曲面及雙三次樣條插值重構(gòu)的誤差圖

(a)K1張量積誤差 (b)K1徑向基插值誤差

圖2 再生核K1張量積和二元插值的誤差圖

(a)K3張量積誤差 (b)K3徑向基插值誤差

圖3 再生核K3張量積和二元插值的誤差圖

(a)c=0.1 (b)c=1

圖4 不同形參下MQ誤差圖

2.2 散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)插值

由于再生核函數(shù)Kn(x)是徑向基函數(shù)，還可以針對(duì)散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，當(dāng)我們的數(shù)據(jù)點(diǎn)是隨機(jī)生成的散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)雙三次樣條插值已不再適用，我們直接給出用再生核K3(x)進(jìn)行散亂數(shù)據(jù)插值的誤差圖(圖5).

(a)Franke曲面重構(gòu) (b)誤差圖

圖5 散亂數(shù)據(jù)下再生核插值Franke曲面及誤差圖

綜上，我們發(fā)現(xiàn)再生核函數(shù)Kn(x)直接做徑向基插值要比雙三次樣條插值效果好，比著名的MQ徑向基函數(shù)使用要方便.

3 結(jié)論

本文通過(guò)研究再生核函數(shù)Kn(x)的表達(dá)式，在重新定義其多元表達(dá)形式后，我們發(fā)現(xiàn)Kn(x)事實(shí)上是一個(gè)徑向基函數(shù)，這極大地方便了再生核函數(shù)的多元插值計(jì)算.通過(guò)二元函數(shù)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)直接用再生核做二元插值要比用張量積形式的插值誤差要小，實(shí)現(xiàn)起來(lái)很方便，而且還能夠針對(duì)散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，比雙三次樣條效果要好，比MQ函數(shù)使用方便.目前，再生核函數(shù)張量積形式插值在流體力學(xué)方程的數(shù)值求解中有很多應(yīng)用,比如Euler方程,Navier-Stokes方程,所以我們今后的重點(diǎn)可以放在這一類(lèi)微分方程的數(shù)值求解上面.

[1]CUIMINGGEN,DENGZHONGXING.Onthebestoperatorofinterpolation[J].Math.NumericalSinica，1986,8(2):207- 218.

[2]崔明根,鄧中興,吳勃英.再生核空間中的數(shù)值泛函方法[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社， 1988:34- 57.

[3]吳勃英，張欽禮. 計(jì)算再生核的卷積方法[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2003，32(5):635- 640.

[4]吳勃英.再生核和小波理論及應(yīng)用若干問(wèn)題研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2001.

[5]FRANKER.Scattereddatainterplation:testsofsomemethods[J].Math.Comp.，1982，38：181- 200.

Study of Multivariate Reproducing Kernel Radial Basis Function

ZHANG Jihong1,ZHENG Junsheng2

(1.School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China;2.Dept. of Computer Science and Technology,Dalian Neusoft University of Information,Dalian 116023,China)

By studying the multivariate reproducing kernel function interpolation,it is found that the reproducing kernel function itself is also a radial basis function.When the multivariate reproducing kernel function is interpolated,direct interpolate can be conducted rather than using its tensor product.This method is simple,easy to implement with high accuracy compared with direct tensor product interpolation by numerical experiments to gain more desired results than other multivariate function interpolation.

reproducing kernel;radial basis function;multivariate interpolation

1673- 9590(2015)01- 0109- 04

2014- 05- 12

遼寧省教育廳高等學(xué)?？茖W(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(L2012167)

張繼紅(1979-),女，講師,博士,主要從事數(shù)值逼近方面的研究

E-mail:iamzjh@126.com.

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