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        一類三角矩陣的特征值反問題

        2015-06-07 10:01:13李帥李志斌
        大連交通大學(xué)學(xué)報 2015年1期
        關(guān)鍵詞:理學(xué)院特征值學(xué)報

        李帥,李志斌

        (大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028)

        一類三角矩陣的特征值反問題

        李帥,李志斌

        (大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028)

        對一類奇階上三角矩陣的特征值反問題進(jìn)行研究,通過兩個給定特征對(λ,x),(μ,y)對矩陣的存在性及唯一性的條件進(jìn)行討論,在滿足條件的前提下進(jìn)行求解并給出表達(dá)式,通過數(shù)值例子驗證算法的可行性.

        三角矩陣;特征值;反問題

        0 問題提出

        矩陣的特征值反問題不僅在數(shù)值代數(shù)理論上是有意義的,而且在解決實際應(yīng)用問題方面,也有舉足輕重的地位[1- 4].

        本文主要對如下形式的矩陣進(jìn)行研究

        其中,ai,bi,ci(i=1,2,…,n)∈R且ci=bi-1(i=1,2,…,n-2),c1=b0=0,n=2m-1.

        問題A 給出兩個非零互異實數(shù)λ,μ以及兩個非零向量x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,求n階實矩陣J使Jx=λx,Jy=μy.

        做如下約定:

        (1)

        (2)

        (3)

        (4)

        (5)

        (6)

        (7)

        1 問題A求解

        1.1 當(dāng)1≤i≤m-1時

        由于(λ,x),(μ,y)為J的特征對,從而有

        (8)

        (9)

        由式(8)和(9)消去ai,得

        (10)

        又因為

        ci=bi-1,(i=1,2,…,n-2),結(jié)合式(2)、(3)、(10)可得

        (11)

        當(dāng)i=1時,由b0=0得

        (12)

        當(dāng)i=2時

        (13)

        (14)

        對于式(14),若Di≠0(i=1,2,…,n-1),則xi,yi(i=1,2,…,m-1)不能同時為零,則ai,bi,ci(i=1,2,…,m-1)有唯一值.由式(14)解得

        (15)

        (16)

        (17)

        1.2 當(dāng)m≤i≤n-2時

        (18)

        (19)

        由式(18)和(19)消去ai,得

        (20)

        又因為ci=bi-1(i=1,2,…,n-2),結(jié)合式(2),(4)和(20)可變?yōu)?/p>

        (21)

        當(dāng)i=m時,得

        (22)

        當(dāng)i=m+1時,得

        (23)

        (24)

        (25)

        類似情況2.1,當(dāng)Di≠0(i=1,2,…,n-1)時,ai,bi,ci(i=m,m+1,…,n-2)有唯一值,由式(25)解得

        (26)

        (27)

        (28)

        1.3 當(dāng)i=n-1時

        (29)

        (30)

        若Dn-1≠0,則an-1,bn-1有唯一值,由式(29)和(30)解得

        (31)

        (32)

        1.4 當(dāng)i=n時

        ①若xn≠0,yn=0,anxn=λxn則an=λ;

        ②若yn≠0,xn=0,anyn=μyn則an=μ;

        ③若xn≠0,yn≠0,anxn=λxn,從而an=λ;anyn=μyn,從而an=μ,就有λ=μ,這與λ與μ互異矛盾,從而須有xnyn=0;

        ④若xn=yn=0,則an解不唯一,為確保解的唯一性,需要求xn,yn不同時為零.

        綜上,當(dāng)xnyn=0且xn,yn不同時為零時,an有唯一解,解得:

        (33)

        綜上所述,對問題A,給出如下定理:

        定理 如果以下條件滿足:

        (Ⅰ)Di≠0,(i=1,2,…,n-1);

        (Ⅱ)xnyn=0且xn,yn不同時為零.

        則問題A有解,且

        (34)

        (35)

        (36)

        (37)

        (38)

        (39)

        (40)

        (41)

        2 數(shù)值例子

        c1=b0=0,c2=b1=2,c3=b2=1;

        [1]李志斌,趙鑫鑫,李偉.廣義Jacobi矩陣特征值反問題[J].大連交通大學(xué)學(xué)報, 2008,29(4):6- 10.

        [2]戴華,姚承勇.Jacobi矩陣逆特征問題解存在的條件[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報,2003,25(1):40- 49.

        [3]哈里曼.關(guān)于矩陣特征值正反問題的應(yīng)用背景[J].新疆大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1997(4):26- 35.

        [4]WEIWEIGU,ZHIBINLI.GeneralizedInverseEigenvalueProblemforGeneralizedSnow-LikeMatrices[C].2012InternationalConferenceonComputationalandInformationSciences(ICCIS2012),Chongqing,2012:662- 664.

        Inverse Eigenvalue Problem for a Class of Triangular Matrices

        LI Shuai,LI Zhibin

        (School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

        The eigenvalue of the a class of upper triangular matrix of odd order is studied,and the feature of existence and uniqueness of matrix via two given two characteristic pairs (λ,x),(μ,y)isdiscussed.Furthermore,thesolutionisbuilt,andexpressionisprovidedundersatisfiedconditions.Thefeasibityofthecalculationisexanimatedbyanumericalexample

        triangular matrix;eigenvalue;inverse problem

        1673- 9590(2015)01- 0112- 03

        2014- 03- 10

        國家自然科學(xué)基金資助項目(61273022)

        李帥(1988-),男,碩士研究生;李志斌(1960-),教授,碩士,主要從事矩陣特征值反問題的研究

        E-mail:lishuai1988214ky@163.com.

        A

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