沙智華，劉延輝，宿崇，馬付建，劉宇，張生芳

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

面向末端剛度提升的機(jī)器人手臂關(guān)節(jié)角路徑優(yōu)化

沙智華，劉延輝，宿崇，馬付建，劉宇，張生芳

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

針對(duì)六自由度串聯(lián)關(guān)節(jié)機(jī)器人手臂，采用D-H法對(duì)手臂的操作空間進(jìn)行了描述，得到了正、逆解運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，建立了機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.在各運(yùn)動(dòng)角度優(yōu)化指標(biāo)下，優(yōu)選末端關(guān)節(jié)角度來增加手臂的剛度和穩(wěn)定性，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂路徑規(guī)劃的優(yōu)化.引入目標(biāo)函數(shù)和遺傳算子，提出了一種基于遺傳算法的多目標(biāo)機(jī)械臂路徑規(guī)劃算法.通過Matlab工具箱進(jìn)行仿真驗(yàn)證，證明了該算法的有效性與可行性.

機(jī)器人制造系統(tǒng)；末端剛度；路徑規(guī)劃；遺傳算法；多目標(biāo)優(yōu)化

0 引言

在航空航天、高鐵、造船等制造領(lǐng)域，大型構(gòu)件的裝配連接中多采用螺接和鉚接的機(jī)械連接方式，這就需要在這些大型構(gòu)件上加工大量的精密裝配連接孔.由于這些構(gòu)件整體尺寸巨大，難以裝夾在機(jī)床上進(jìn)行加工，因此機(jī)器人制孔系統(tǒng)以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、效率高、柔性高、適應(yīng)場(chǎng)合廣泛等突出優(yōu)點(diǎn)，成為國(guó)內(nèi)外大型構(gòu)件孔群加工領(lǐng)域最為廣泛的制孔方式[1].由于這些大型構(gòu)件上連接孔的數(shù)量巨大，機(jī)械臂的路徑規(guī)劃問題就成為影響加工效率的首要問題，所以需要對(duì)連接孔加工路徑進(jìn)行規(guī)劃.

目前，針對(duì)機(jī)械人機(jī)械臂路徑規(guī)劃的方法非常多，主要有全局路徑規(guī)劃和局部路徑規(guī)劃.全局路徑規(guī)劃有自由空間法、可視圖發(fā)和柵格法，這些方法計(jì)算量大和實(shí)時(shí)性差等缺點(diǎn).在局部路徑規(guī)劃中，賈慶軒等[2]采用基于A*算法的機(jī)械臂路徑規(guī)劃算法，在機(jī)械臂的空間進(jìn)行路徑搜索.徐海黎等[3]采用EGICA算法對(duì)機(jī)器人的關(guān)節(jié)進(jìn)行了軌跡，同時(shí)以最優(yōu)能量和最優(yōu)時(shí)間為目標(biāo)的路徑優(yōu)化.Duguleanam等[4]提出了一種基于Q-learning雙神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)械臂路徑規(guī)劃算法，這種方法具有良好的平均速度和目標(biāo)達(dá)成率.這些路徑規(guī)劃方法從時(shí)間、能量、效率、空間避障等進(jìn)行研究，但是缺乏對(duì)機(jī)器人末端剛度的考慮.

在機(jī)械孔加工過程中，多關(guān)節(jié)串聯(lián)工業(yè)機(jī)器人本身剛性較差，加上末端執(zhí)行器的重量，會(huì)進(jìn)一步降低整個(gè)制孔系統(tǒng)的剛度，這會(huì)直接影響制孔的形位精度和加工質(zhì)量.因此，在孔加工過程中如何保證機(jī)器人制孔系統(tǒng)的末端剛度十分重要.本文以六自由度機(jī)器人手臂為研究對(duì)象，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，基于遺傳算法提出一種優(yōu)選關(guān)節(jié)角的機(jī)械臂路徑規(guī)劃方法，增加機(jī)器人的末端剛度.

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方程建立

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

機(jī)械臂采用6自由度工業(yè)機(jī)器人機(jī)械臂(如圖1所示)，該機(jī)械臂是關(guān)節(jié)式串聯(lián)結(jié)構(gòu)，它由一個(gè)固定底座和六個(gè)活動(dòng)旋轉(zhuǎn)連桿組成.

為了方便運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，采用傳統(tǒng)的D-H法[5]對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行描述.建立了各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系(如圖1中)，從X0-Z0到X6-Z6為機(jī)械臂基礎(chǔ)坐標(biāo)系、機(jī)械臂各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系、機(jī)械臂末端坐標(biāo)系.用矩陣變換可以實(shí)現(xiàn)第i-1坐標(biāo)系和第i坐標(biāo)系之間的關(guān)系，用矩陣Ai表示其關(guān)系式為：

(1)

圖1 機(jī)器人機(jī)械臂示意圖和坐標(biāo)系

根據(jù)式(1)，依次建立各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系相對(duì)于前一關(guān)節(jié)坐標(biāo)系變化矩陣Ai， 再按順序右乘各關(guān)節(jié)變化矩陣，就能夠得出機(jī)械臂末端相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位姿矩陣：

(2)

根據(jù)圖1機(jī)械臂的物理參數(shù)和坐標(biāo)系的定義可以得到D-H參數(shù)表如表1所示.

表1 D-H參數(shù)

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

機(jī)器人末端實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)是通過控制機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的，為了保證機(jī)械臂末端的位姿能夠達(dá)到指定待加工孔和按照一定軌跡運(yùn)動(dòng)，必須進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解計(jì)算.逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解過程是根據(jù)已知的機(jī)械臂末端相對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿，求各關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)變量.運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的求解過程要比正解求解過程復(fù)雜得多，在求解時(shí)需要考慮可解性、解的存在性和多重解等問題.

采用D-H法建立的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通常利用解析法進(jìn)行求解，解析法求解機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的過程就是依次求解各運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)變量.求解關(guān)節(jié)變量θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6的逆運(yùn)算過程較多也比較成熟，在這里不在進(jìn)行闡述.

應(yīng)用機(jī)械臂逆解的求解過程，求解各個(gè)方程的參數(shù)θn1，θn2，θn3，θn4，θn5，θn6，θn7,θn8，產(chǎn)生8組不同的關(guān)節(jié)變量值的可行解(超出關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍舍去)，從解集中將選擇一組解作為機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的逆解.逆解的求解過程為接下來的路徑規(guī)劃工作奠定了基礎(chǔ).

為實(shí)現(xiàn)機(jī)器人末端剛度優(yōu)化，本文在各個(gè)關(guān)節(jié)界限的約束下，求取機(jī)械臂各連桿從初始關(guān)節(jié)角變化到終點(diǎn)關(guān)節(jié)角時(shí)的一系列中間關(guān)節(jié)角[6]，在得到中間關(guān)節(jié)角的同時(shí)，需要滿足機(jī)械臂末端的剛度要求，實(shí)現(xiàn)路徑的最優(yōu)化.

2 面向末端剛度的優(yōu)選關(guān)節(jié)角

機(jī)器人機(jī)械臂主要有機(jī)械臂桿和關(guān)節(jié)組成，具有高負(fù)載自重比、結(jié)構(gòu)緊湊、功耗低、操作靈活的特點(diǎn).但是，在具有諸多優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，機(jī)械臂在加工中也有著明顯缺陷，機(jī)械臂剛度低、易產(chǎn)生變形，從而嚴(yán)重限制了機(jī)械臂的加工應(yīng)用，這就需要通過角度的優(yōu)化提升機(jī)械臂的剛度.

機(jī)械臂在材料和構(gòu)型確定的情況下，其剛度與部件的體積和質(zhì)量正相關(guān).由于空間機(jī)械臂的受力大小和自重的限制，機(jī)械臂臂桿的橫截面面積從基座到末端依次變小，從而使得機(jī)械臂末端剛度最小，也因此影響機(jī)械臂的整體剛度.

根據(jù)靜力學(xué)的要求，這里假設(shè)全部的連桿為剛性體.為了簡(jiǎn)單表述，這里將各個(gè)關(guān)節(jié)的剛度用彈簧系數(shù)ki進(jìn)行表示，因此機(jī)械臂的剛度矩陣K就可以表示為：

K=diag(k1,k2,k3,k4,k5,k6)

由機(jī)械壁正解運(yùn)動(dòng)學(xué)末端執(zhí)行器相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)的變換矩陣為A，則可以得到機(jī)械臂末端剛度矩陣Ke：

這就是機(jī)械臂的靜剛度模型[7].

在機(jī)械臂靜剛度模型中可以看出，機(jī)械臂的末端剛度取決于各個(gè)連桿之間的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的剛度和機(jī)械臂相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣，機(jī)械臂在各關(guān)節(jié)剛度一定的情況下，調(diào)整機(jī)械臂末端變化矩陣(也就是機(jī)械臂形位)增加機(jī)械臂的剛度.

為提升末端剛度，這里通過優(yōu)選關(guān)節(jié)角，面向末端剛度的優(yōu)選關(guān)節(jié)角算法流程圖如圖2所示.

圖2 優(yōu)選關(guān)節(jié)變量流程圖

已知機(jī)械臂在初始位置時(shí)的各關(guān)節(jié)角度(如表1所示) 和目標(biāo)點(diǎn)X的空間位置.

首先設(shè)定機(jī)械臂末端在X處的期望姿態(tài).根據(jù)目標(biāo)點(diǎn)的空間位置和機(jī)械臂末端期望姿態(tài)，利用多關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解公式(3～8)獲得各關(guān)節(jié)終點(diǎn)角,結(jié)果為多解，有些解會(huì)超出關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍，需要舍去.

再次通過關(guān)節(jié)角優(yōu)化提升末端臂桿剛度和增加穩(wěn)定性.根據(jù)本文機(jī)械臂的選型，優(yōu)選第3和第5關(guān)節(jié)角，使它們相對(duì)初始關(guān)節(jié)角度變化最小，從而提升機(jī)械臂末端臂桿的剛度.

計(jì)算公式如下：

式中：n=1,2,3,4,5,6,7,8.

最后在滿足整體角度變化最小的情況下，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂對(duì)孔群進(jìn)行加工路徑的優(yōu)化.在3和5關(guān)節(jié)局部?jī)?yōu)化解集中，采用1、2、4、6關(guān)節(jié)總變化量為最小選出最優(yōu)解.這樣就使得機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)中消耗更低的能量.

3 關(guān)節(jié)角路徑規(guī)劃算法

在機(jī)械加工中，有很多路徑規(guī)劃的方法，連續(xù)空間多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題多使用傳統(tǒng)的路徑規(guī)劃方法，而機(jī)械臂路徑規(guī)劃問題主要解決的是離散空間組合優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的方法難以解決這類存在“組合爆炸”空間解的問題.而遺傳算法[8]則提供了系統(tǒng)通用框架來解決這類復(fù)雜的問題.本文通過使用遺傳算法中的TSP(旅行商問題)對(duì)加工路徑進(jìn)行優(yōu)化.TSP優(yōu)化求解過程需要編碼、初始化孔群、確定適應(yīng)度函數(shù)和遺傳操作等.TSP算法流程圖如圖3所示.

圖3 TSP算法流程圖

(1)編碼

在讀入孔群信息之前，需要確定變量的編碼方式，在遺傳算法TSP問題[9]中不適合二進(jìn)制表達(dá)，這里以待加工孔坐標(biāo)點(diǎn)的遍歷次序作為算法編碼，給每一個(gè)孔分配一個(gè)1到n的序列，這種編碼方式在滿足TSP問題約束條件下，還能保證每一個(gè)待加工孔只經(jīng)過一次，同時(shí)還也能保證不形成回路.

(2)初始化孔群

選擇N個(gè)孔作為規(guī)模大小，隨機(jī)選取N個(gè)孔組成的初始化孔群，生成初始解空間.在實(shí)際孔加工中，有些孔與孔之間存在特定的加工順序，以滿足特定要求的解中再選取孔群，這使得算法具有更快的收斂性.

(3)適用度函數(shù)

機(jī)械臂在三維空間中進(jìn)行路徑規(guī)劃,各關(guān)節(jié)在工作空間做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),所有關(guān)節(jié)的累積轉(zhuǎn)動(dòng)角度應(yīng)在滿足優(yōu)選末端關(guān)節(jié)角最優(yōu)解下盡可能小.因而把累積轉(zhuǎn)動(dòng)角作為優(yōu)化目標(biāo)[10].最小累積轉(zhuǎn)動(dòng)角度可用f(θ)表示：

(4)遺傳算子的選擇

算法操作類型包括三種：選擇(復(fù)制)操作、交叉操作和變異操作.

選擇操作采用與適應(yīng)度函數(shù)值成正相關(guān)的概率方法，從孔群中選擇優(yōu)良個(gè)體，優(yōu)先參加下一代的優(yōu)化，即使優(yōu)選孔復(fù)制到路徑中，產(chǎn)生新的路徑.

交叉操作是在具有相交點(diǎn)的兩條路徑上，把交點(diǎn)處后邊的子路徑串相互交換，形成兩個(gè)新的路徑.

變異操作是在已經(jīng)形成的路徑中隨機(jī)選擇幾個(gè)孔(2～N-1)進(jìn)行交換，從中選擇最優(yōu)的路徑作為新的路徑.

(5)確定終止條件

優(yōu)化過程需要反復(fù)執(zhí)行(3)和(4)，直到路徑轉(zhuǎn)動(dòng)角度最小，實(shí)現(xiàn)路徑最優(yōu)化.

4 算法驗(yàn)證

利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件Matlab[11]，構(gòu)建機(jī)械手臂的實(shí)體模型，并讀取模擬程序所產(chǎn)生的各臂桿的關(guān)節(jié)角度資料，以進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模擬.由Matlab的繪圖的功能，可清晰地展現(xiàn)出優(yōu)化的結(jié)果.

本路徑規(guī)劃仿真有40個(gè)孔，其坐標(biāo)值如圖4(a)所示，孔的加工尺寸相同、加工精度也相同，在孔的加工過程中，不需要進(jìn)行換刀等操作，只要找到它行走的一條角度變化值最小的路徑.

遺傳算法參數(shù)為孔的坐標(biāo)40個(gè)、進(jìn)化迭代為1 000代、交叉概率為0.7、變異概率為0.4，進(jìn)行Matlab仿真，仿真結(jié)果如圖4所示.

(a)待加工孔坐標(biāo) (b)優(yōu)化前路徑

(c)優(yōu)化后路徑 (d)算法收斂過程

圖4 仿真優(yōu)化

采用TSP算法，對(duì)40個(gè)孔群進(jìn)行迭代優(yōu)化，最終找到最優(yōu)路徑.在如圖4(a)所示可以看到，這個(gè)孔群分布是沒有規(guī)律的，對(duì)稱性也很差，用一般傳統(tǒng)的處理方法難以得到最優(yōu)路徑.如果采用隨機(jī)產(chǎn)生路徑的方法，得到的路徑轉(zhuǎn)動(dòng)角很大，空行程浪費(fèi)也很多.從如圖4(b)所示，隨機(jī)產(chǎn)生路徑得到的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為89.134 9，而采用TSP算法轉(zhuǎn)動(dòng)角度相對(duì)較小，角度變化值只有53.189 5(如圖4(c)所示)，轉(zhuǎn)動(dòng)角度優(yōu)化接近60%，優(yōu)化結(jié)果明顯.如圖4(d)所示，是遺傳算法運(yùn)行過程中得到的總變化角度隨遺傳進(jìn)度的變化趨勢(shì).一般而言，運(yùn)用遺傳算法求解路徑優(yōu)化問題時(shí)，優(yōu)化結(jié)果總是先變化快最后趨于平緩.本文的仿真結(jié)果也是一樣，在遺傳算法開始運(yùn)行時(shí)，優(yōu)化效果顯著，之后趨于平緩.

通過Matlab仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，TSP算法在考慮優(yōu)選末端角度的情況下，采用轉(zhuǎn)動(dòng)角度最小進(jìn)行路徑優(yōu)化，具有有效性與可行性.

5 結(jié)論

針對(duì)六自由度串聯(lián)關(guān)節(jié)型機(jī)械臂進(jìn)行正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，為機(jī)械臂路徑優(yōu)化提供理論基礎(chǔ).

機(jī)械臂末端臂桿在進(jìn)行加工過程中承受負(fù)載和自重的作用，其剛度較低，影響加工質(zhì)量.為解決這個(gè)缺陷，提出采用優(yōu)選關(guān)節(jié)角的方法，解決機(jī)械手臂末端的剛度和穩(wěn)定性的問題.同時(shí)以最小轉(zhuǎn)動(dòng)角為優(yōu)化目標(biāo)下，采用遺傳算法對(duì)路徑進(jìn)行規(guī)劃，能夠大幅度提高孔群加工的效率.

基于TSP的模型，建立了孔群多目標(biāo)路徑優(yōu)化模型，采用Matlab工具對(duì)隨機(jī)產(chǎn)生的孔群進(jìn)行優(yōu)化求解，多次迭代找到最優(yōu)路徑，優(yōu)化結(jié)果明顯，優(yōu)化過程收斂性強(qiáng)，實(shí)現(xiàn)了路徑優(yōu)化.證明方法在面向末端剛度提升的關(guān)節(jié)型機(jī)械臂路徑規(guī)劃中具有可行性、通用性和有效性.

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End Stiffness Lifting Oriented Path Planning for Manipulator Joint Angle Optimization

SHA Zhihua，LIU Yanhui，XU Chong，MA Fujian，LIU Yu，ZHANG Shengfang

(School of Mechanical Engineering， Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

To ensure the end stiffness of the robot during the holing process,the 6-FOD series joint manipulator is studied,and the manipulation space of the manipulator with D-H method is described to obtain its positive solution and inverse solution kinematic model and equations.Taking the movement angle as optimization index,the end joint angles are selected to increase the manipulator stiffness and stability.With suitable objective function and genetic operators,a multi-objective manipulator path planning algorithm is proposed based on genetics algorithms.According to the simulation result with the help of MATLAB toolbox,the effectiveness and feasibility are verified.

robotic manufacturing system;end stiffness;path planning;genetic algorithm;multi-objective

1673- 9590(2015)01- 0038- 05

2014- 03- 29

遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助項(xiàng)目(LJQ2012039)；遼寧省“百千萬(wàn)人才工程”資助項(xiàng)目(2012921053)；大連市科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目(2013J21DW011K);中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013M530901)

沙智華(1973-)，女，教授，博士，主要研究方向?yàn)樘摂M制造與網(wǎng)絡(luò)制造

E-mail:zhsha@djtu.edu.cn.

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