胡 靜，王成會，李 錦

（陜西師范大學物理學與信息技術學院，陜西西安710119）

耦合超聲振動系統(tǒng)的輻射特性

胡 靜，王成會，李 錦

（陜西師范大學物理學與信息技術學院，陜西西安710119）

研究了一種用于液體中的由縱向夾心式換能器和縱徑尺寸接近的金屬圓柱輻射器構成的新型大功率超聲振動系統(tǒng)。通過表觀彈性法獲得金屬圓柱縱徑耦合振動的機電等效電路及共振頻率方程。對耦合振動系統(tǒng)的輻射特性進行了理論和數(shù)值分析，并通過實驗進行驗證。研究表明：該振動系統(tǒng)的圓柱輻射器的耦合振動可等效為一維徑向振動和一維縱向振動的復合，其通過耦合系數(shù)相互作用；適當選擇輻射圓柱的幾何尺寸，振動系統(tǒng)產生強烈的縱徑耦合振動，從而有效地輻射大功率超聲波。

耦合；機電等效電路；共振頻率

PACS：43.35.+d；43.38.+n

在功率超聲和水聲應用領域，常需要使用大功率的輻射器?？v向夾心換能器由于具有機械強度高，輸出功率大，電聲轉換系數(shù)大以及結構簡單等優(yōu)點被廣泛應用［1－5］。然而，隨著如聲化學、超聲清洗以及超聲液體處理等大功率超聲技術的發(fā)展，對大功率超聲換能器及具有大輻射表面的大功率輻射器的需求在增加。同時超聲處理的液體容器的容積也在增大，需要具有多維輻射能力的超聲波輻射器。在這種情況下采用傳統(tǒng)的縱向夾心超聲換能器存在兩個方面的不足：縱向夾心式換能器的設計是基于一維設計理論，即換能器的橫向尺寸要小于輻射聲波波長的1／4，因此換能器的聲波輻射面積受到限制，很大程度上限制了此類換能器輻射功率；另外，縱向夾心式超聲換能器輻射能量基本上是沿著換能器的縱軸方向輻射，不能實現(xiàn)超聲能量的空間輻射，使得在大容器超聲液體處理中超聲波作用范圍受到了限制。

為了克服以上困難，本文將研究由傳統(tǒng)的縱向夾心壓電換能器和大尺寸金屬圓柱復合而成的超聲振動系統(tǒng)。其中大尺寸金屬圓柱與傳統(tǒng)的一維縱向輻射器（徑向尺寸小于1／4波長）不同，該圓柱具有較大的徑向尺寸，由于泊松效應將在徑向和縱向產生復雜的耦合振動，從而提高輻射功率及超聲作用范圍。

本文對金屬圓柱的耦合振動模態(tài)、位移分布和機電等效電路以及產生強烈耦合振動的條件進行分析，同時用數(shù)值方法研究輻射器的耦合振動。通過優(yōu)化金屬圓柱尺寸使其產生大功率和多維超聲輻射，最后通過實驗驗證理論與數(shù)值分析的正確性。

1 大尺寸金屬圓柱耦合振動分析

圖1為大功率耦合超聲振動系統(tǒng)的結構示意圖，由傳統(tǒng)的縱向夾心式換能器和縱徑尺寸相當?shù)慕饘賵A柱構成，由于縱向夾心式換能器的橫向尺寸遠小于1／4波長，換能器的縱向振動是主要的，而當大尺寸金屬圓柱被縱向夾心式換能器激勵時，由于泊松效應金屬圓柱將會產生復雜的耦合振動。圖中H和R分別表示大尺寸金屬圓柱的高和半徑。

圖1 大功率耦合超聲振動系統(tǒng)結構示意圖Fig.1 Geometrical diagram of a high power coupled ultrasonic vibrating system

1.1 金屬圓柱耦合振動的機電等效電路

許多學者采用二階近似理論、數(shù)值方法以及等效彈性等方法來研究各向同性的金屬圓柱的耦合振動［610］。本文擬采用表觀彈性法來研究大尺寸金屬圓柱輻射體的耦合振動。根據表觀彈性法，金屬圓柱的耦合振動可簡化為兩個等價的一維振動：一維徑向振動和一維縱振動，它們各自的等效彈性系數(shù)為

Er和Ez分別為徑向等效彈性系數(shù)和縱向等效彈性系數(shù)，E和v分別是金屬圓柱的楊氏模量和泊松比。定義彈性圓柱徑向與縱向振動的機械耦合系數(shù)n＝－Tz／Tr，基于表觀彈性法與一維振動理論，可得到耦合振動的縱向及徑向機電等效電路，如圖2及圖3所示。

圖2 耦合振動圓柱的徑向振動等效電路Fig.2 Equivalent circuit of the radial vibration of the cylinder in coupled vibration

圖3 耦合振動圓柱的縱向振動等效電路Fig.3 Equivalent circuit of the longitudinal vibration of the cylinder in coupled vibration

在圖2中zr是圓柱的徑向等效負載阻抗，Vr、Fr分別表示輻射金屬圓柱外表面的徑向振動速度和徑向力，，其中Kr、Sr、Vr分別為等效徑向波數(shù)、圓柱側面積、以及徑向振動速度，J0（KrR）和J1（krR）是貝塞爾函數(shù)。

圖3中，ZL是圓柱輸出端的等效縱向負載阻抗，Vz1、Fz1和Vz2、Fz2分別表示圓柱輸入端與輸出端的縱向振動速度和縱向力，Z1z＝Z2z＝jZz0tan（kzH／2），Z3z＝jZz0／sin（kzH／2），Zz0＝ρVzSz，Sz＝πR2，kz＝ω／Vz，Vz＝，其中Sz、kz、Vz分別為圓柱的截面積、波數(shù)和縱向振動速度。

根據機械耦合系數(shù)的定義，可得到如下關系

圖4 圓柱耦合振動的機電等效電路Fig.4 Electro－mechanical equivalent circuit of the cylinder in coupled vibration

1.2 耦合振動的共振頻率方程

從圖4中可得到圓柱耦合振動的輸入阻抗

其中縱向等效輸入阻抗ZiL＝Z1z+，徑向等效輸入阻抗ZiR＝Zr+Z0，當輸入阻抗等于零得耦合振動的共振頻率方程：

在式（5）、（6）中等效負載阻抗ZiL和ZiR由幾何參數(shù)、振動位移分布以及處理的負載媒介決定，在實際應用中很難確定。因此在設計振動系統(tǒng)中，通常忽略負載阻抗的作用，因此耦合振動的共振頻率方程可簡化為

方程（7）和（8）中，共振頻率和縱徑耦合系數(shù)是未知的。因此，當材料參數(shù)和幾何尺寸給定，圓柱的共振頻率就能求出來，設方程（7）的根為M，也就是說kra＝M，結合方程（8）可得到以下方程：

方程（9）和（10）是二次方程，存在兩個解，基于表觀彈性法，從方程（10）得到的兩個共振頻率分別為圓柱耦合振動的徑向與縱向共振頻率。

1.3 縱徑尺寸對耦合振動的影響

當耦合振動的共振頻率f＝20kHz時，由耦合振動頻率方程（9）和方程（10），可得到幾何尺寸間的相互關系以及幾何尺寸對耦合程度的影響，如圖5、圖6所示。從圖中可看出，當共振頻率不變時，隨著縱向尺寸的增大，徑向尺寸逐漸減小而耦合系數(shù)n逐漸增大，說明當縱向尺寸逐漸增大時，圓柱逐漸趨于圓棒的振動，縱向應力逐漸增大，縱向振動增強。

圖5 圓柱縱徑尺寸關系Fig.5 Analytical relationship between length－radius geometrical dimension

圖6 圓柱尺寸與縱徑耦合系數(shù)關系Fig.6 Analytical relationship between the coupling coefficient and the geometrical dimension of the cylinder

徑向和縱向輻射阻抗在高頻下可近似表示為

ρ和c為負載介質的密度和聲速，將（12）、（13）式代入（11）式得

1.4 耦合振動的輸入機械阻抗

在實際應用中，彈性圓柱體常作為超聲輻射器，超聲波輻射到周圍的介質中，在這種情況下，負載阻抗不能被忽視。為簡單起見，假設負載阻抗是電阻性的，即：ZL＝RL和Zr＝Rr，由圖4可知，共振時圓柱的輸入阻抗為

根據式（9）、式（14），可得圓柱的歸一化輸入阻抗與縱徑尺寸比之間的關系，如圖7所示，其中χ的歸一化方式為χ＝Zm／（ρcSr）。

從圖7中可看出，輻射圓柱的等效輸入機械阻抗與幾何尺寸有關，當縱向與徑向尺寸比值接近臨界值（H／R約為2）時，輸入阻抗最大，此時，圓柱輻射器輻射出的聲能也是最大。主要原因是：當圓柱幾何尺寸接近臨界值時，其縱向與徑向的耦合最強，在徑向和縱向都產生振動而輻射出聲能。當幾何尺寸遠離臨界值時，圓柱變?yōu)楸A盤或細棒，在這種情況下，它主要在徑向或縱向輻射超聲能量。

圖7 歸一化輸入阻抗與圓柱縱徑比關系Fig.7 Relationships between the normalized input mechanical impedance and the length－radius ratio of the cylinder

2 超聲振動系統(tǒng)的數(shù)值仿真

有限元是分析耦合振動常用的分析方法，它能夠分析復雜耦合振動系統(tǒng)的振動模態(tài)和共振頻率。本文用有限元軟件ANSYS來模擬仿真圓柱輻射體的耦合振動。圖8是金屬圓柱的振動模態(tài)變形圖，圖9和圖10分別為圓柱輻射體在側面和底面的振動位移分布，從仿真結果可看出，當縱徑尺寸可比擬時，振動位移分布比較復雜，既有徑向振動，也有縱向振動。

圖8 金屬圓柱的振動模態(tài)振型Fig.8 Coupled vibrational modal shape of the cylinder

圖9 圓柱側面沿高度方向位移分布曲線Fig.9 Displacement distribution curve on the outer side surface of the cylinder

圖10 圓柱底面沿半徑方向位移分布Fig.10 Displacement distribution curve on the end surface of the cylinder

用ATILA仿真軟件模擬仿真了振動系統(tǒng)圓柱輻射端在水中的聲場分布，由于換能器振動系統(tǒng)是軸對稱圖形，為了計算簡化，在“Problem Data”選項中，“CLASS”和“GEOMETRY”分別被設置成“2D”和“AXISYMMETRIC”，即在分析建模時，采用一半模型來建立二維模型。對換能器振動系統(tǒng)進行了諧響應分析，提取換能器振動系統(tǒng)在水中諧振時（共振頻率為19 758Hz）的輻射聲場分布。圖11是振動系統(tǒng)圓柱輻射端在水中的輻射聲場聲壓幅值，從圖中可看出圓柱輻射端在徑向和縱向都能輻射聲波。

圖11 超聲振動系統(tǒng)輻射聲壓的幅值Fig.11 Magnitude of the radiated sound pressure for the ultrasonic vibrating system

3 復合振動系統(tǒng)的實驗研究

實際應用中，大尺寸輻射圓柱往往通過夾心式縱振換能器激勵，復合振動系統(tǒng)的大功率輻射性能由以下幾個方面決定：首先，縱向夾心式換能器的共振頻率應與輻射圓柱相同；其次，輻射圓柱應與縱向夾心式換能器牢牢地貼合在一起；第三，輻射圓柱應能產生強烈的縱向與徑向振動。根據以上分析，設計了一個共振頻率f＝20kHz的大功率硬鋁圓柱，材料參數(shù)為：ρ＝2 700kg／m3，v＝0.34，C＝5 100 m／s；幾何尺寸為：R＝56.3mm，H＝115mm。根據圖12的實驗裝置測試了它的共振頻率。ET和RT分別為共振頻率高于圓柱輻射器共振頻率的收發(fā)換能器，且?guī)缀纬叽绾苄。虼耸瞻l(fā)換能器對輻射體的影響可以忽略，改變正弦信號發(fā)生器的頻率，當毫伏表的值達到最大時，信號頻率就是圓柱的共振頻率。測量值fm＝20 014Hz，ANSYS模擬值fn＝20 047Hz，理論值f＝20 000Hz，三者的結果一致。

圖12 圓柱共振頻率測試實驗裝置原理圖Fig.12 The experiment device diagram for the resonant frequency measurement of the cylinder

用螺栓將鋁圓柱與大功率夾心換能器緊緊連在一起，如圖13所示，對其振動性能進行測試。用激光測振儀測量了圓柱輻射體的振動位移分布，分別測量了圓柱側面及底面的位移分布，如圖14和圖15所示，與圖9和圖10相比較，實驗測量與數(shù)值仿真的位移分布一致。

圖13 耦合振動系統(tǒng)的實物照片F(xiàn)ig.13 The photograph of the coupled vibrational system

圖14 圓柱側面徑向位移的測量圖Fig.14 Measured radial displacement on the outer side surface of the cylinder

圖15 圓柱端面縱向位移的測量圖Fig.15 Measured longitudinal displacement on the end surface of the cylinder

進一步觀察了復合振動系統(tǒng)在大功率激勵下的輻射性能。實驗中，縱向夾心式換能器的輸入電功率為300W，工作頻率為換能器的共振頻率，約為20kHz。圖16是輻射體在水下輻射聲波的照片。從照片中可看出，圓柱在水中產生劇烈的超聲波輻射，在圓柱周圍及底面形成大量氣泡群，由此可看出圓柱在徑向與縱向都能輻射超聲波，與模擬仿真結果圖11結果一致。

圖16 耦合功率超聲振動系統(tǒng)水中輻射聲波的照片F(xiàn)ig.16 Photograph of power ultrasonic vibrational system radiate acoustic wave in water

4 結論

本文對應用于液體中的大功率超聲波振動系統(tǒng)進行了研究。由表觀彈性法得到了大尺寸輻射圓柱耦合振動的機電等效電路和頻率方程，獲得縱向與徑向產生強烈耦合振動的條件，利用有限元數(shù)值模擬仿真了圓柱的耦合振動特性，并通過實驗測量進行驗證。綜合分析，可得出以下結論：（1）金屬圓柱的耦合振動可等效為兩個一維振動，它們通過機械耦合系數(shù)相互作用；（2）圓柱耦合振動的機電等效電路由兩條支路構成，一條支路等效為細棒縱向振動，另一條支路等效為薄圓盤的徑向振動，兩支路由決定耦合程度的機械轉力換系數(shù)N來耦合；（3）圓柱耦合振動的等效輸入機械阻抗的大小由幾何尺寸決定，當圓柱縱向與橫向尺寸比接近于1時，輸入阻抗具有最大值，此時，圓柱在徑向與縱向都能輻射出強烈的超聲波；（4）通過適當選擇圓柱的幾何尺寸，大尺寸輻射圓柱能夠有效地輻射大功率超聲波。

此種振動系統(tǒng)可應用于功率超聲，如超聲液體處理、聲化學、超聲萃取等領域。

［1］林書玉.夾心式壓電陶瓷功率超聲換能器的優(yōu)化設計［J］.壓電與聲光，2003，25（3）：199－202.

［2］Parrini L.New technology for the design of advanced ultrasonic transducers for high－power applications［J］.Ultrasonics，2003，41（4）：261－269.

［3］林書玉.鮮小軍.功率超聲換能振動系統(tǒng)的優(yōu)化設計及其研究進展［J］.陜西師范大學學報：自然科學版，2014，42（6）：31－39.

［4］Dewulf J，Langenhove H V，Visscher A D，et al.Ultrasonic degradation of trichloroethylene and chlorobenzene at micromolar concentrations：Kinetics and modelling［J］.Ultrasonics Sonochemistry，2001，8（2）：143－150.

［5］Heikkola E，Miettinen K，Nieminen P.Multiobjective optimization of an ultrasonic transducer using NIMBUS［J］.Ultrasonics，2006，44（4）：368－380.

［6］Gazis D C，Mindlin R D.Extensional vibrations and waves in a circular disk and a semi－infinite plate［J］. Journal of Applied Mechanics，1960，27（3）：541－547.

［7］Gladwell G M L，Tahbildar U C.Finite element analysis of the axisymmetric vibrations of cylinders［J］.Journal of Sound and Vibration，1972，22（2）：143－157.

［8］Lin Shuyu.Analysis of the sandwich piezoelectric ultrasonic transducer in coupled vibration［J］.Journal of the Acoustical Society of America，2005，117（2）：653－661.

［9］周光平，梁召峰.縱徑耦合振動管形振子的特性研究［J］.聲學技術，2007，26（2）：320－325.

［10］Lin Shuyu.Coupled vibration of isotropic metal hollow cylinders with large geometrical dimensions［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，305（1／2）：308－316.

〔責任編輯 李 博〕

The radiant properties of the coupled ultrasonic vibration system

HU Jing，WANG Chenghui，LI Jin
（School of Physics and Information Technology，Shaanxi Normal University，Xi'an 710119，Shaanxi，China）

A new kind of high power ultrasonic vibration system used in liquid is investigated. The vibration system is composed of a longitudinal sandwich transducer and a large metallic cylinder which has the equivalent size.Using the apparent elastic theory，the electro－mechanical equivalent circuit and frequency equations of the cylinder in radial－axial coupled vibration are obtained. The radiation characteristics of the coupling vibration system are analyzed and simulated，then they are verified in experiment.The results show that the coupled vibration of the cylinder can be equivalent to one－dimension radial and longitudinal vibrations which interact each other with coupling coefficient.As choosing the appropriate geometry size of the cylinder，the vibration system has a strong radial－axial coupled vibration，and the vibration system can effectively radiates high power ultrasound.

coupling；electro－mechanical equivalent circuit；resonant frequency

O426.2

：A

1672－4291（2015）06－0030－06

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.06.262

2014－11－08

國家自然科學基金（11474192，11474191）；陜西省自然科學基金（2013JQ1017）

胡靜，女，講師，博士，研究方向為超聲工程。E－mail：hjwlx＠snnu.edu.cn